CNAM – Paris f´ evrier 2009

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MVA101

Analyse et Calcul Matriciel Premi` ere session d’examen Tous documents autoris´ es. Calculatrices interdites.

Exercice 1 (? points)

La fonction y(x) est d´ eveloppable en s´ erie enti` ere au voisinage de 0 : (S) y(x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + · · ·

On pose : u(x) = (1 + 2x) y ⁰⁰ (x) − 4(1 + x) y ⁰ (x) + 4 y(x) et on d´ eveloppe : u(x) = b ₀ + b ₁ x + b ₂ x ² + · · ·

1. Calculer b n en fonction des a n . Expliciter b n quand 0 6 n 6 2.

On suppose dor´ enavant que y(x) v´ erifie l’´ equation diff´ erentielle : (E) (1 + 2x) y ⁰⁰ (x) − 4(1 + x) y ⁰ (x) + 4 y(x) = 0 2. Que peut-on en d´ eduire pour b _n ?

3. Quand a 0 = a 1 = 1, que vaut a n avec n > 2 ? En d´ eduire y(x) dans ce cas.

4. Si a 0 = 1 et a 1 = 2, montrer par r´ ecurrence que a n = 2 ⁿ n! . En d´ eduire y(x) dans ce cas.

5. Donner une expression de y(x) quand a 0 = α et a 1 = β.

(on utilisera les r´ esultats des deux questions pr´ ec´ edentes et le fait que la solution g´ en´ erale de (E) est une combinaison lin´ eaire de deux solutions particuli` eres ind´ ependantes).

6. D´ eterminer le rayon de convergence de la s´ erie enti` ere (S).

Exercice 2 (? points)

Soient x(t), y(t), z(t), trois fonctions inconnues qui v´ erifient le syst` eme diff´ erentiel :

(D)



 

 

x ⁰ (t) = 2x(t) − 2z(t) y ⁰ (t) = x(t) +y(t) + z(t) z ⁰ (t) = − x(t) +y(t) − z(t) et les conditions initiales x(0) = 8, y(0) = 0, z(0) = 0.

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1. En ´ ecrivant la transform´ ee de Laplace de chaque ´ equation de ce syst` eme, et en notant X(p), Y (p), Z (p) les transform´ ees de Laplace de x(t), y(t), z(t), d´ eterminer le syst` eme lin´ eaire v´ erifi´ e par X(p), Y (p), Z (p).

2. R´ esoudre ce syst` eme.

3. D´ ecomposer X(p), Y (p) et Z (p) en ´ el´ ements simples.

4. En d´ eduire x(t), y(t), z(t).

Exercice 3 (? points) On consid` ere la matrice : A =





0 0 1

1 1 1

−1 −1 −1



.

1. Calculer A ⁿ pour 1 6 n 6 5.

2. La matrice A est-elle inversible ? (on pourra faire un raisonnement par l’absurde utilisant la valeur trouv´ ee pour A

)

3. Comment sont li´ ees A ⁿ et A ⁿ⁺⁴ ? 4. Calculer A ⁶⁰ + A ³⁰ .

Exercice 4 (? points) Soit f (x) = 2

sin πt cos πt.

1. Quelle est la parit´ e de f ?

Repr´ esenter graphiquement f sur [−1, +1] (on rappelle que sin 2x = 2 sin x cosx)

Quelle est la plus petite p´ eriode strictement positive de f ? 2. Pourquoi f est-elle d´ eveloppable en s´ erie de Fourier ?

3. Calculer les coefficients de Fourier. On pourra admettre que : Z 1

0

sin 2πt cos nπt dt =



 

  2 π

cos nπ − 1 n ² − 4

quand n 6= ±2

0 quand n = ±2

4. Quelle est la somme de la s´ erie de Fourier ? 5. En d´ eduire U =

∞

X

p=1

1

(2p + 1) ² − 4 . O O O O O O

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