Partie V. Adjoint et image d'un produit vectoriel.

Partie I. Condition d'alignement.

1. Notonstrucle produit des quatres vecteurs. Rappelons la formule du double produit vectoriel :

(u∧v)∧w= (u/w)v−(v/w)u

On peut l'utiliser de deux manières pourtrucen faisant jouer àa₂∧b₁ou àa₁∧b₂le rôle dew.

truc=(a1∧b2)∧w∈Vect(a1, b2) truc=(b1∧a2)∧w∈Vect(a2, b1) )

⇒truc∈Vect(a1, b2)∩Vect(a2, b1) Les droites(a₁b₂)et (a₂b₁) sont respectivement les intersections deP avec les plans Vect(a₁, b₂)etVect(a₂, b₁). On en tire la relation demandée.

2. Les trois points d'intersection sont alignés si et seulement si ils sont dans une même droite. cela se produit si et seulement si les trois vecteurs sont dans un même plan ce qui se traduit par la nullité du déterminant.

3. Les points ci de la gure ?? sont d'après la question 1 les points d'intersection deP avec les droites vectorielles engendrées par les triples produits vectoriels. D'après la question 2, ces points sont alignés si et seulement si leur déterminant est nul.

Partie II. Condition de coconicité .

1. Par dénition :

s(u) =



 x y z



 x y z

=





x² xy xz yx y² yz zx zy z²



 Les coordonnées des(u)dansBS se lisent directement :

(x², xy, xz, y², yz, z²)

2. Les pointsui sont sur une même conique si et seulement si il existe des réelsA,· · ·F non tous nuls tels que























Ax²₁+Bx₁y₁+Cx₁+Dy²₁+Ey₁+F= 0 Ax²₂+Bx2y2+Cx2+Dy²₂+Ey2+F= 0 Ax²₃+Bx3y3+Cx3+Dy²₃+Ey3+F= 0 Ax²₄+Bx4y4+Cx4+Dy²₄+Ey4+F= 0 Ax²₅+Bx₅y₅+Cx₅+Dy²₅+Ey₅+F= 0 Ax²₆+Bx6y6+Cx6+Dy²₆+Ey6+F= 0

Cela se produit si et seulement si le système linéaire d'équations aux inconnues (A, B, C, D, E, F) admet une solution autre que (0,0,0,0,0,0). C'est à dire lorsque la matrice de ce système n'est pas inversible. Or cette matrice est la transposée de la matrice des coordonnées de la famille(s(u₁),· · ·, s(u₆)). La condition de non inversi- bilité est donc la nullité du déterminant :

µ(u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆) = 0

Partie III. Démonstration par force brute .

Le code suivant permet de réaliser en Maple le calcul des deux déterminants. Il utilise la bibliothèque LinearAlgebra.

> with(LinearAlgebra):

a1:=<x1,y1,z1>:

a2:=<x2,y2,z2>:

a3:=<x3,y3,z3>:

b1:=<u1,v1,w1>:

b2:=<u2,v2,w2>:

b3:=<u3,v3,w3>:

C3:=CrossProduct(CrossProduct(a1,b2),CrossProduct(a2,b1)):

C1:=CrossProduct(CrossProduct(a2,b3),CrossProduct(a3,b2)):

C2:=CrossProduct(CrossProduct(a3,b1),CrossProduct(a1,b3)):

#calcul du lambda

dd:=Determinant(<C1|C2|C3>):

lign:= V -><V[1]^2|V[1]*V[2]|V[1]*V[3]|V[2]^2|V[2]*V[3]|V[3]^2>:

#calcul du mu

DD:=Determinant(<lign(a1),lign(a2),lign(a3),lign(b1),lign(b2),lign(b3)>):

dd-DD;

Les expressions des déterminants sont trop importantes pour que leur achage apporte quelque chose. La dernière instruction seulement ache un résultat et celui ci est0. Une implémentation en Python (utilisant le module de calcul formel sympy est aussi pro- posée.

import sympy as smp

## déclaration des symboles

x1, y1, z1 = smp.symbols('x1 y1 z1') x2, y2, z2 = smp.symbols('x2 y2 z2') x3, y3, z3 = smp.symbols('x3 y3 z3') u1, v1, w1 = smp.symbols('u1 v1 w1') u2, v2, w2 = smp.symbols('u2 v2 w2') u3, v3, w3 = smp.symbols('u3 v3 w3')

## initialisation

a1 = smp.Matrix([x1, y1, z1]) a2 = smp.Matrix([x2, y2, z2]) a3 = smp.Matrix([x3, y3, z3]) b1 = smp.Matrix([u1, v1, w1]) b2 = smp.Matrix([u2, v2, w2]) b3 = smp.Matrix([u3, v3, w3])

## produits vectoriels

X12 = a1.cross(b2) ; X13 = a1.cross(b3) X21 = a2.cross(b1) ; X23 = a2.cross(b3) X31 = a3.cross(b1) ; X32 = a3.cross(b2) C1 = X23.cross(X32)

C2 = X31.cross(X13) C3 = X12.cross(X21)

## calcul du lambda C = C1.col_insert(1,C2) C = C.col_insert(2,C3) dlambda = C.det()

## calcul du mu def li(L):

return [L[0]**2, L[0]*L[1],L[0]*L[2],L[1]**2,L[1]*L[2], L[2]**2]

M = smp.Matrix([li(a1),li(a2),li(a3),li(b1),li(b2),li(b3)]) mu = M.det()

## vérification print(dlambda - mu)

De l'égalité des deux déterminants, on déduit évidemment que la nullité de l'un est équivalente à la nullité de l'autre. Ceci démontre le théorème de l'hexagramme de Pascal.

Les trois points c₁, c₂, c₃ de la conguration de la gure ?? sont alignés si et seulement si les six points donnés sont situés sur une même conique.

Partie IV. Étude d'un endomorphisme de S .

1. a. La fonctionc_M est bien à valeurs dansS. En eet,

∀S∈ S : ^t(M S^tM) = ^t(^tM)^tS^tM =M S^tM

carS est symétrique. De plusc_M est linéaire à cause de la linéarité du produit matriciel.

b. SoitM etM⁰ deux matrices3×3. Pour touteS symétrique :

c_M⁰◦c_M(S) =c_M⁰(M S^tM) =M⁰M S^tM^tM⁰= (M⁰M)S^t(M⁰M) On en déduitc_M⁰◦c_M =c_M⁰_M.

c. Il est évident que cI est l'identité deM3(R). On en déduit que, lorsque M est inversible,cM est bijective de bijection réciproquec_M−1.

Montrons maintenant la contraposée de la réciproque. SupposonsM non inver- sible. Il existe une colonne X non nulle telle que M X est la colonne nulle. En répétant la colonne X, on peut former une matrice M⁰ telle que M M⁰ est la matrice nulle. On en déduit que cM ◦cM⁰ est l'application identiquement nulle de S dans lui même. Cette application n'est évidemment pas surjective ce qui montre quecM n'est pas bijective. Ceci montre bien quecM bijective entraineM inversible.

2. a. On reconnait une matrice d'opération élémentaire.

A^tM est obtenue à partir deA en permutant les colonnes1 et2. M Aest obtenue à partir deAen permutant les lignes1et 2.

b. La matricecM(S)est obtenue par les opérations élémentaires décrites en a. (on commence par les colonnes)

S=





a b c b d e c e f



→





b a c d b e e c f



→





d b e b a c e c f



=cM(S)

c. Le calcul précédent permet d'écrire la matrice decM dansBS. Cette matrice est :

















0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

















Cette matrice est obtenue à partir deI6 en permutant les colonnes 1et 4 puis3 et5. Son déterminant est donc1.

detCP_1,2 = 1 3. a. On reconnait une matrice d'opération élémentaire.

A^tM est obtenue à partir deA en ajoutantλfois la colonne2 à la colonne1. M Aest obtenue à partir deAen ajoutantλfois la ligne2à la ligne1. b. La matricecM(S)est obtenue par les opérations élémentaires décrites en a. (on

commence par les colonnes)





a b c b d e c e f



→





a+λb b c b+λd d e c+λe e f



→





a+ 2λb+λ²d b+λd c+λe

b+λd d e

c+λe e f





c. Le calcul précédent permet d'écrire la matrice decM dansBS. Cette matrice est :

















1 2λ 0 λ² 0 0

0 1 0 λ 0 0

0 0 1 0 λ 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

















Cette matrice est triangulaire supérieure avec des1 sur la diagonale, son déter- minant est donc1.

detC_A1,2(λ)= 1

4. a. On reconnait une matrice d'opération élémentaire.

A^tM est obtenue à partir deA en multipliant parλla colonne1. M Aest obtenue à partir deAen multipliant parλla ligne1.

b. La matricecM(S)est obtenue par les opérations élémentaires décrites en a. (on commence par les colonnes)





a b c b d e c e f



→





λa b c λb d e λc e f



→





λ²a λb λc

λb d e

λc e f





c. Le calcul précédent permet d'écrire la matrice dec_M dansBS. Cette matrice est :

















λ² 0 0 0 0 0

0 λ 0 0 0 0

0 0 λ 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

















Cette matrice est diagonale avecλ², λ, λ sur la diagonale, son déterminant est doncλ⁴.

detC_D1(λ)=λ⁴

5. Remarquons d'abord que la formule proposée par l'énoncé est valable pour les matrices élémentaires des questions précédentes.

SoitM une matrice inversible xée. En utilisant l'algorithme du pivot partiel, on peut trouver des matrices M1,· · ·Ms élémentaires de la forme Pi,j ou Ai,j(λ) avec j > i telles que

Ms· · ·M1M =U :matrice triangulaire supérieure

si on s'autorise maintenant les Ai,j(λ) avec i > j on peut trouver de nouvelles ma- trices élémentairesMs+1,· · · , Mt permettant de nettoyer la partie supérieure de la matrice.

Mt· · ·M1M =D:matrice diagonale

Les termes de la diagonale sont non nuls, cette matrice diagonale est clairement un produit de trois matricesDi(λ). Les matrices élémentaires considérées sont inversibles avec des inverses de même forme :

P_i,j⁻¹=P_i,j A_i,j(λ)⁻¹=A_i,j(−λ) D_i(λ)⁻¹=D_i(1 λ)

La matriceM est donc le produit de matrices élémentairesP1,· · · , Pq. M =P₁· · ·P_q ⇒c_M =c_P1◦ · · · ◦c_Pq

⇒detcM = detcP₁· · ·detcP_q = (detP1)⁴· · ·(detPq)⁴

= (det(P1· · ·Pq))⁴= (detM)⁴

Partie V. Adjoint et image d'un produit vectoriel.

1. Question de cours

a. Le terme i, j de la matrice de f dans une base orthonormée (u1, u2, u3) est (ui/f(uj)).

b. Par dénition du déterminant d'une application linéaire :

∀(a, b, c)∈E³: det

U (g(a), g(b), g(c)) = detgdet

U (a, b, c)

2. a. SoitU une base orthonormée quelconque. La matrice de passage P deB_E dans U est alors orthogonale. Écrivons les formules de changement de base :

Mat_U(^tf) =P⁻¹Mat_BE(^tf)P= ^tP^tMat_BE(f)P (carP est orthogonale)

= ^{t t}PMat_BE(f)P

= ^t P⁻¹Mat_BE(f)P (carP est orthogonale)

= ^t(Mat_U(f)) b. La relation que l'énoncé demande de vérier est la dénition même de ^tf lorsque

xetysont deux vecteurs de la baseBE. On étend cette formule à tous les vecteurs par linéarité.

c. Pour une matrice carrée, comme le déterminant d'une matrice carrée est égal au déterminant de sa transposée, l'inversibilité d'une matrice est équivalente à celle de sa transposée. De plus :

AA⁻¹=A⁻¹A=I⇒ ^tA^−1tA= ^tA^tA⁻¹=I

Ce qui montre que l'inverse de la transposée est la transposée de l'inverse.

3. On utilise la dénition du produit vectoriel avec le déterminant dans une base ortho- normée quelconque (produit mixte). Pour tout vecteurc∈E :

(f(a)∧f(b)/c) = det(f(a), f(b), c) = det(f(a), f(b), f(f⁻¹(c)))

= (detf) det(a, b, f⁻¹(c)) = (detf)(a∧b/f⁻¹(c)) = (detf)(^tf⁻¹(a)∧b/c)

Comme ceci est valable pour tous lesc, on obtient bien : f(a)∧f(b) = (detf)^tf⁻¹

4. Dans le cours gure une expression de l'inverse d'une matrice à l'aide de la transposée de la matrice des cofacteurs. On en déduit que, siAest la matrice def dans une base orthonormée, la matrice de(detf)^tf⁻¹ est la matrice des cofacteurs deA.

Partie VI. Démonstration classique.

1. Comme l'énoncé nous y invite, on développe chaque déterminant suivant la première colonne.

w2u1 u3u2 u1v3

v2w1 u3v2 v1v3

w2w1 w3u2 v1w3

=w2u1u3v2v1w3 N

−w2u1w3u2v1v3 H

−v2w1u3u2v1w3

+v2w1w3u2u1v3 F

+w2w1u3u2v1v3

♠

−w2w1u3v2u1v3

♣

u1v1 u2v2 u3v3

v1w1 v2w2 v3w3

u1w1 u2w2 u3w3

=u1v1v2w2u3w3 N

−u1v1u2w2v3w3 H

−v1w1u2v2u3w3

+v1w1u2w2u3v3

♠

+u1w1u2v2v3w3 F

−u1w1v2w2u3v3

♣

On en déduit l'égalité.

2. Leλdesf(ui)est un déterminant de trois vecteurs. Examinons le premier : truc₁= (f(a₁)∧f(b₂))∧(f(a₂)∧f(b₁))

Notonsg= ^tf⁻¹ et appliquons plusieurs fois la question V.3 et la linéarité : f(a1)∧f(b2) =(detf)g(a1∧b2)

f(a₂)∧f(b₁) =(detf)g(a₂∧b₁) )

⇒truc₁= (detf)²g(a₁∧b₂)∧g(a₂∧b₁)

= (detf)²(detg)^tg⁻¹((a1∧b2)∧(a2∧b1)) = (detf)f





(a1∧b2)∧(a2∧b1)

| {z }

=c1







car detg= 1

detf et ^tg⁻¹=f

On obtient des formules analogues pour les autres vecteurs. Par trilinéarité et dénition du déterminant d'un endomorphisme, il vient enn :

λ(f(a1), f(a2), f(a3), f(b1), f(b2), f(b3)) = (detf)³det

BE

(f(c1), f(c2), f(c3))

= (detf)⁴det

BE

(c1, c2, c3) = (detf)⁴λ(a1, a2, a3, b1, b2, b3)

3. Soit f un automorphisme de matrice M dans B_E. Soit u un vecteur de E dont la matrice colonne des coordonnées est notéeX. Examinonss(f(u).

s(f(u)) = Mat_BE(f(u))^tMat_BE(f(u)) = (AX)^t(AX) =AX^tX^tA=c_A(s(u)) On en déduit :

λ(f(a1), f(a2), f(a3), f(b1), f(b2), f(b3))

= det

BS

(c_A(s(a₁)), c_A(s(a₂)), c_A(s(a₃)), c_A(s(b₁)), c_A(s(b₂)), c_A(s(b₃)))

= detc_Adet

BS

(s(a₁), s(a₂), s(a₃), s(b₁), s(b₂), s(b₃))

= (detA)⁴λ(a1, a2, a3, b1, b2, b3) 4. a. On calcule les coordonnées des produits vectoriels dans la baseB= (i, j, k). On

trouve :

Mat_B(i∧b2) =



 0

−w2

v2





Mat_B(j∧b1) =



 w1

0

−u1























⇒Mat_B((i∧b2)∧(j∧b1)) =



 w2u1

v2w1

w2w1





Mat_B(j∧b3) =



 w3

0

−u3





Mat_B(k∧b2) =





−v2

u2

0























⇒Mat_B((j∧b3)∧(k∧b2)) =



 u3u2

u3v2

w3u2





Mat_B(k∧b1) =





−v1

u1

0





MatB(i∧b3) =



 0

−w3

v₃























⇒MatB((k∧b1)∧(i∧b3)) =



 u1v3

v₁v₃ v₁w₃





On en déduit :

λ(i, j, k, b1, b2, b3) =

w2u1 u3u2 u1v3

v2w1 u3v2 v1v3

w2w1 w3u2 v1w3

b. Par dénition deµ:

µ(i, j, k, b₁, b₂, b₃) =

1 0 0 u²₁ u²₂ u²₃ 0 0 0 u₁v₁ u₂v₂ u₃v₃ 0 0 0 u₁w₁ u₂w₂ u₃w₃ 0 1 0 v₁² v²₂ v²₃ 0 0 0 v1w1 v2w2 v3w3

0 0 1 w₁² w²₂ w₃²

=

1 0 0 u²₁ u²₂ u²₃ 0 1 0 v₁² v²₂ v²₃ 0 0 1 w₁² w²₂ w₃² 0 0 0 u1v1 u2v2 u3v3

0 0 0 v1w1 v2w2 v3w3

0 0 0 u1w1 u2w2 u3w3

en permutant les lignes 2 et 4 puis 3 et 6. On en déduit :

µ(i, j, k, b1, b2, b3) =

u1v1 u2v2 u3v3

v₁w₁ v₂w₂ v₃w₃ u₁w₁ u₂w₂ u₃w₃

On en déduit, d'après la question 1. que ces deux déterminants sont égaux.

5. Considérons six vecteursa1,· · · , a6 dont les trois premiers forment une famille libre.

Il existe un unique automorphismef qui envoie respectivement a1, a2,a3 suri, j,k. Notonsb1,b2,b3les images parf des vecteurs suivants etM la matrice def dansBE. On peut alors écrire :

λ(a1, a2, a3, a4, a5, a6) = (detf)⁻⁴λ(i, j, k, b1, b2, b3)

= (detM)⁻⁴µ(i, j, k, b1, b2, b3) =µ(a1, a2, a3, a4, a5, a6) 6. a. La bilinéarité est évidente, la symétrie vient du caractère symétrique des matrices

et de l'invariance de la trace par transposition. La positivité vient de ce que

< S/S >est la somme des carrés des termes deS.

b. Notons respectivement X et Y les colonnes de coordonnées de xet y dans BE. Par dénition :

< s(x)/s(y)>= tr





X^tXY

| {z }

∈R tY





= (^tXY) tr(X^tY) = (^tXY)²= (x/y)²

après examen de la matriceX^tY.

c. En calculant les< Si/Sj>, on vérie facilement que la baseB_S est orthogonale.

Elle n'est pas orthonormée carS1,S4 etS6 sont de norme 1 mais les autres sont de norme2.

d. Considérons six vecteurs a1,· · · , a6 de E et notons P la matrice dans B_S des images de ces vecteurs parS. D'après b. :

< s(ai)/s(aj)>= (ai/aj)² mais c'est aussi le termei, jde la matrice

tP DP

où D est la matrice du produit scalaire < ./. > dans BS. Cette matrice est diagonale avec trois 1 et trois 2. L'égalité des déterminants obtenue à partir de cette égalité matricielle conduit à la relation demandée.