TD de Mathématiques, PT

(1)

TD de Mathématiques, PT

1 Espaces vectoriels 3

1.1 Indication . . . 7 1.2 Corrections des exercices . . . 7

2 Déterminants 15

3 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 28

3.1 Correction . . . 31

4 Fonction dérivable 43

5 Intégration sur un segment 46

6 Séries numériques 50

7 Espace préhilbertien 54

8 Intégrales impropres 65

9 Courbes planes 76

10 Enveloppe, développée, développantes 78

11 Equation différentielle 88

12 Séries entières 97

13 Espace euclidien 105

13.1 Indication . . . 109 13.2 Correction . . . 109

14 Série de Fourier 114

15 Intégrales à paramètre 116

(2)

16 Forme quadratiques, coniques, quadriques 123 16.1 Correction . . . 124

17 Topologie euclidienne 128

18 Calcul différentiel 131

(3)

TD 1 – Espaces vectoriels

■ Établir qu’une famille est libre, génératrice

Exercice 1

Pour toutx∈, on posef (x) = x cos(x)etg(x) = x sin(x). Montrer que la famille(cos,sin,f,g)est libre dans le-espace vectorielF(,).

Exercice 2

Justifier que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels, puis préciser leur dimension : 1. E =

( a b b a

!

,(a,b)∈² )

;

2. F =

















Ó a 0

0 a b 0 c d







,(Ó,a,b,c,d)∈⁵









 . Exercice 3

Vérifier que les parties suivantes sont des sous-espaces vectoriels de ⁴. Déterminer pour chacun d’eux sa dimension, et une de ses bases.

1. F =n

(x,y,z,t)∈⁴|x + y−z + t = 0o . 2. G =n

(x,y,z,t)∈⁴|x + y = z + t = 0o . Exercice 4

SoitE un-espace vectoriel de dimensionn etu un endomorphisme deE. On suppose qu’il existe un entierp>1tel que

u^p⁻¹,0 et u^p= 0.

1. Justifier l’existence d’un vecteurxdeEtel queu^p⁻¹(x),0.

2. Montrer que la famille

x,u(x),u²(x),... ,u^p−1(x)

est libre.

3. En déduire quep6n, puis queuⁿ= 0.

Exercice 5

SoitEun-espace vectoriel de dimensionn, on noteE^∗=L(E,)l’ensemble des formes linéaires sur E.

1. Quelle est la dimension deE^∗? 2. Soit(e₁,... ,e_n)une base deE.

a) Soitk∈~1,n. Justifier l’existence d’une unique forme linéaireïktelle que :

∀i∈~1,n, ïk(e_i) =











1 sii = k 0 sinon.

b) Montrer que la famille(ï₁,... ,ïn)est une base deE^∗.

c) Soitèune forme linéaire surE, déterminer les coordonnées deèdans la base(ï₁,... ,ïn).

Exercice 6

Soitf_pla fonction définie sur parf_p(x) = sin(px).

1. Soitpetqdeux entiers. CalculerI(p,q) = Z _á

0

f_p(x)f_q(x)dx. 2. Montrer que la famille

f_p)_p_∈∗ est libre dans le-espace vectoriel des fonctions de dans.

(4)

■ Justifier que deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires

Exercice 7

SoitEun-espace vectoriel de dimension3. On considère la baseB= (e₁,e₂,e₃)deE.D désigne la droite vectorielle engendrée par le vecteurê1=e₁+ 3e₂−e₃ etP le plan engendré par les vecteurs ê2=e₁−e₃etê3= 2e₁−e₂.

1. Montrer queD etPsont supplémentaires dansE.

2. Soitpla projection surPparallèlement àD. DéterminerMat_B(p).

3. On poseq = Id−p, justifier queqest un projecteur. Déterminer son image et son noyau.

Exercice 8

Soit E le -espace vectoriel constitué des fonctions à valeurs réelles, de classe∞ sur . On pose F =n

f : x7→Ýcos(x) +Ôsin(x)|(Ý,Ô)∈²o

etG =n

g∈E,g(0) = g(á/2) = 0o . 1. Montrer queFetGsont des sous-espaces vectoriels deE.

2. Justifier qu’ils sont supplémentaires dansE.

Exercice 9 Soitn>1un entier.

1. Montrer queM_n() = Vect(I_n)⊕ker(Tr).

2. Soitple projecteur surVect(I_n)parallèlement àker(Tr). Pour toute matriceMdeM_n(), détermi- nerp(M).

3. SoitM∈M_n(). Quelle est la projection deMsurker(Tr)parallèlement àVect(I_n)?

■ Étudier une application linéaire

Exercice 10

Soitn>2un entier. On désigne parul’application définie surM_n()par :

∀A∈M_n(), u(A) = A + Tr(A)I_n. 1. Montrer queuest un endomorphisme deM_n().

2. Établir queu est un isomorphisme.

3. Montrer queu²−(n + 2)u + (n + 1) IdM_n()= 0.

4. En déduire une expression deu⁻¹en fonction deu,netId_E. 5. On suppose dans cette question quen = 2.

a) Déterminer la matrice deudans la base(E₁₁,E₁₂,E₂₁,E₂₂)deM₂().

b) Justifier que cette matrice est inversible, puis déterminer son inverse.

Exercice 11

Soit E un -ev de dimension 4de base B = (e₁,e₂,e₃,e₄) et soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans la baseBest

A =







0 −1 −1 0

−1 0 0 −1

1 0 0 1

0 1 1 0





 .

1. Montrer quef est de rang2.

2. Déterminer, en fonction des vecteurs deB, une base dekerf et une base deImf.

(5)

TD 1 – Espaces vectoriels 3. En déduire queImf = ker f. Sans calculs, déterminerA².

4. On poseF = Vect(e₁,e₂). Montrer queFetkerf sont supplémentaires dansE.

5. Déterminer une baseCadaptée à la décompositionE = F⊕kerf. Donner la matrice def dans cette base.

6. Déterminer la matrice de passagePentre la baseBetC. ExprimerP⁻¹. Que vautP⁻¹AP? Exercice 12 (Ensam PT)

On poseE =_n[X],n>3. Soita,betcdes réels. Pour tout polynômeP deE, on pose : æ(P) = Q où Q(X) = aP(X + 2) + bP(X + 1) + cP (X).

1. Montrer queæest un endomorphisme deE. Que peut-on dire de sa matrice dans la base canonique deE?

2. Montrer queæest un automorphisme deE si et seulement sia + b + c,0.

3. SoitP∈E, on poseæ(P) = Q. Montrer que : Q(X) = (a + b + c)P (X) +

¼n

k=1

(a2^k+b)P^(k)(X) k! . 4. On suppose quea + b + c = 0.

Montrer queImæ=_n

−1[X]si et seulement si2a + b,0.

Exercice 13

SoitE un espace vectoriel de dimension finie, f un endomorphisme deE. Montrer que les proposi- tions suivantes sont équivalentes :

(i) kerf etImf sont supplémentaires dansE; (ii) f etf²ont même rang ;

(iii) f etf²ont même noyau.

■ Effectuer un calcul matriciel

Exercice 14

Une matriceAdeM₂()est ditenilpotentes’il existe un entierktel queA^k= 0. On noteN l’ensemble des matrices nilpotentes deM₂().

1. SoitM∈M₂(). Montrer queM²−Tr(M)M + det(M)I₂= 0.

2. Montrer queA∈ N si et seulement sidet(A) = 0etTr(A) = 0.

3. Établir queVect(N) =n

A∈M₂()|Tr(A) = 0o . Exercice 15

Soita₁,... ,a_n nréels non tous nuls etA =







a₁ a₁ ··· a₁ a₂ a₂ ··· a₂ ... ... ... a_n a_n ··· a_n





 .

1. Quel est le rang deA? 2. DéterminerA². 3. Soits = ´ⁿ

k=1

a_ketB = 2A−sI_n. DéterminerB², en déduire une une condition nécessaire et suffisante pour queB soit inversible. Dans ce cas, déterminerB⁻¹.

(6)

Exercice 16 Soitn>1un entier.

1. SoitA∈M_n(). DéterminerTr(AE_{i j}).

2. SoitAetB deux matrices deM_n()vérifiant la propriété :

∀M∈M_n(), Tr(AM) = Tr(B M).

Établir queA = B.

3. Pour toute matriceAdeM_n(), on considère l’applicationïAdéfinie surM_n()par :

∀M∈M_n(), ïA(M) = Tr(AM).

a) Justifier queïAest linéaire.

b) Montrer que l’application

ï: M_n() −→ L

M_n(), A 7−→ ïA

est un isomorphisme.

■ Vrai/Faux

SoitEun-espace vectoriel,F,G etH des sous-espaces vectoriels deE,uun endomorphisme deE, AetBdeux matricesM_n().

Vrai Faux 1 -L’ensemblen

(x,y)∈²,x + 2y = 3o

est un-espace vectoriel.

2 -L’ensemble n

(x,y,z,t)∈⁴,x = yo

est un-espace vectoriel de di- mension3.

3 -L’ensemble des suites réelles qui convergent vers0est un-espace vectoriel.

4 -SiF⊕G = F⊕HalorsG = H.

5 -On suppose que E = F⊕G. Six est un élément deE n’appartenant pas àF alorsxappartient àG.

6 -F∪G est sous-espace vectoriel deE.

7 -On suppose queEest de dimension finie. Siuest un automorphisme deE, alorsdimu(F) = dim F.

8 -SoientD₁,D₂,D₃des droites de³deux à deux distinctes. Alors³ est somme directe deD₁,D₂,D₃.

9 -Siu²= Id_E, alorsu = Id_E ouu =−Id_E.

10 -Si

u(e₁),... ,u(e_p)

est une famille libre de E, alors(e₁,... ,e_p)est une famille libre.

11 - Si

u(e₁),... ,u(e_p)

est une famille génératrice de E, alors (e₁,... ,e_p)est une famille génératrice.

12 -Si (e₁,... ,e_p) est une famille libre, alors

u(e₁),... ,u(e_p)

est une famille libre deE.

13 -Le rang deAest le même que le rang deA².

14 -SiTr(A) = Tr(B)alorsA = B.

(7)

TD 1 – Espaces vectoriels

1.1 Indication

Exercice1

On pourra utiliser les développements limités.

Exercice4

3. Déterminer le cardinal de la famille

x,u(x),u²(x),... ,u^p⁻¹(x) . Exercice10

2. Pour toute matriceAdeker(u), déterminerTr u(A)

. Exercice12

2. Un rappel : une matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux ne sont pas nuls.

3. Établir la formule pour les vecteursX^p,p∈~0,npuis généraliser.

4. Raisonner sur le rang de la matrice deædans la base canonique deE.

Exercice14

2. Justifier, en utilisant l’exercice 4, que siA^k = 0alorsk62.

3. Déterminer une base deker(Tr)constituée de matrices nilpotente.

1.2 Corrections des exercices

Corrigé de l’exercice 1 SoitÝ,Ô,ÓetÕdes réels tels que :

∀x∈, Ýf (x) +Óg(x) +Ôcos(x) +Õsin(x) = 0.

La fonction h : x 7→ Ýf (x) +Óg(x) +Ôcos(x) +Õsin(x) est de classe C³ sur , elle admet donc un développement limité en0à l’ordre3:

h(x) =Ô+ (Õ+Ý)x +

Ó−Ô 2

x²− Õ

6+Ý 2

x³+o x³

. Puisquehest nulle, l’unicité du développement limite entraîne que :











Ô= 0 Õ+Ý= 0 Ó−Ô

2= 0 Õ

6+Ý 2= 0

⇐⇒ Ô=Õ=Ó=Ý= 0.

La famille(f,g,cos,sin)est libre dansE. ❏

Corrigé de l’exercice 2 1. E = Vect I₂, 0 1

1 0

!!

etdim(E) = 2.

2. F = Vect(E₁₁,E₂₂+E₁₂,E₂₃,E₃₂,E₃₃)etdimF = 5.

(8)

❏ Corrigé de l’exercice 3

1. F est un hyperplan de⁴: c’est un sous-espace vectoriel de⁴ de dimension3. Pour déterminer une base deF, il suffit de déterminer une famille libre de vecteurs deF comportant3éléments. Par exemple(1,−1,0,0),(1,0,1,0)et(1,0,0,−1).

2. G est l’intersection de deux hyperplans de⁴, d’équations respectivesx + y = 0etz + t = 0. On sait donc queG est un sous-espace vectoriel de⁴ etdim(G )>4−2 = 2. CependantG n’est pas un hyperplan de⁴ car les vecteurs(1,1,0,0)et(0,0,1,1)ne sont pas proportionnels . Par conséquent G est de dimension2. Une base deG est par exemple la famille constituée des vecteurs(1,−1,0,0)et (0,0,1,−1).

1. Puisqueu^p−1 n’est pas l’application nulle, il existe un vecteurxdeEtel queu^p−1(x),0 2. Soit(Ýk)_k_∈_~0,p₋₁ une famille de réels telle que :

Ý0x +Ý1u(x) +···+Ý_p−1u^p−1(x) = 0. (∗) On compose l’égalité(∗)parId_E,u,u²,... ,u^p⁻¹. Puisque pour tout entierk>p,u^k(x) = 0, il vient :











Ý0x +Ý1u(x) +···+Ýp−1u^p⁻¹(x) = 0 Ý0u(x) +Ý1u²(x) +···+Ýp−2u^p⁻¹(x) = 0

... Ý₀u^p⁻²(x) +Ý₁u^p⁻¹(x) = 0

Ý0u^p−1(x) = 0 .

Puisqueu^p⁻¹(x),0, le système précédent conduit successivement àÝ0 = 0,Ý1= 0,... ,Ýp−1 = 0. La famille

x,u(x),... ,u^p⁻¹(x)

est libre.

3. La famille

x,u(x),u²(x),... ,u^p⁻¹(x)

est de cardinalp, elle est libre dans un-espace vectoriel de dimensionndoncn>p. Puisqueu^p= 0, on a donc :

uⁿ=uⁿ⁻^p◦u^p= 0.

1. dim(E^∗) =n.OOdimL(E,) = dim(E) dim().

2. a) Une application linéaire est entièrement déterminée par l’image d’une base.

b) Puisque(ï1,... ,ïn)est de cardinaln = dim(E^∗), il suffit d’établir qu’elle est libre pour justifier qu’elle forme une base deE^∗. Soit(Ý1,... ,Ýn)des scalaires tels que :

∀x∈E, Ý1ï1(x) +···+Ýnïn(x) = 0.

En particulier pourx = e_k,k∈~1,n, il vientÝk= 0.

c) Il existe une unique famille(Ý₁,... ,Ýn)de scalaires telle que :

∀x∈E, è(x) =Ý1ï1(x) +···+Ýnïn(x) = 0.

En particulier pourx = e_k,k∈~1,n, il vientÝk=è(ek).

(9)

1. Montrons que la famille (ê₁,ê₂,ê₃) est une base de E. Pour cela, il suffit de montrer qu’elle est libre. On a :

detB (ê1,ê2,ê3) =

1 1 2

3 0 −1

−1 −1 0

=−6,0.

La famille(ê1,ê2,ê3)est une base deE. Elle est formée d’une base deD et d’une base deP:E = D⊕P. 2. Soit x un vecteur deE de coordonnées (x₁,x₂,x₃)dans B. On sait qu’il existe un unique triplet (Ý1,Ý2,Ý3)∈³tel que :

x =Ý1ê1+Ý2ê2+Ý3ê3.

Par définition, on sait que p(x) = Ý2ê2+Ý3ê3. Deux vecteurs de E sont égaux s’ils ont les mêmes coordonnées dansBet par conséquent on a :











x₁=Ý1+Ý2+ 2Ý3

x₂= 3Ý1−Ý3

x₃=−Ý₁−Ý₂

⇐⇒











Ý₁= x₁ 6 +x₂

3 +x₃ 6 Ý2=−x₁

6 −x₂ 3 −7x₃

6 Ý3= x₁

2 +x₃ 2

.

Pour tout vecteurxdeE, on a : Mat_B(p(x)) =

−x₁ 6 −x₂

3 −7x₃ 6





 1 0

−1





 +

x₁ 2 +x₃

2





 2

−1 0







= 1 6







5x₁−2x₂−x₃

−3(x₁+x₃) x₁+ 2x₂+ 7x₃





 . On en déduit que :

P =1 6







5 −2 −1

−3 0 −3

1 2 7





 .

3. On sait queqest le projecteur surD parallèlement àP. On a doncImq = D etkerq = P.

1. PuisqueF = Vect(cos,sin),Fest un sous-espace vectoriel deE.OOdim(F) = 2

⊲Les applicationsï:g7→g(0)etè:g7→g(á/2)sont des applications linéaires deEdans. Puisque G = ker(ï)∩ker(è),G est un sous-espace vectoriel deE.

2. Soith∈E.

⊲ Analyse –On suppose qu’il existe un couple(f,g)∈F×G tel queh = f + g, c’est-à-dire tel que :

∀x∈, h(x) = f (x) + g(x).

En particulier pourx = 0etx =á/2, on obtient :

h(0) = f (0) et h(á/2) =f (á/2).

Puisquef∈F, il existe deux réelsÓetÔtels que :

∀x∈,f (x) =Ócos(x) +Ôsin(x).

Pourx = 0, puisx =á/2, il vientÓ=h(0)etÔ=h(á/2). On vient de prouver quef etg = h−f, étaient uniques.

(10)

⊲ Synthèse –Soitf etg les fonctions définies sur par :

f (x) = h(0) cos(x) + h(á/2) sin(x) et g(x) = h(x)−f (x).

(i) On a bienh = f + g.

(ii) Puisquef est une combinaison linéaire des fonctionscosetsin,f appartient àF. (iii) Puisqueg(0) = g(á/2) = 0,gappartient àG.

⊲ F etG sont supplémentaires dansE.

1. SoitM = (m_{i j})∈M_n(). On a :

M∈ker(Tr) ⇐⇒ m₁₁+m₂₂+···+m_nn= 0.

Ainsiker(Tr)est un hyperplan deM_n()et on a donc dim

ker(Tr)

+ dim Vect(I_n) =n².

⊲SoitM∈Vect(I_n)∩ker(Tr). On aTr(M) = 0et il existe un réelÝtel queM =ÝIn. AinsiTr(ÝIn) = 0soit Ý= 0. DuThéorème ??, on déduit queVect(I_n)etker(Tr)sont supplémentaires dansM_n().

2. Il existe un unique couple(Ý,H)∈ ×ker(Tr)tel que :M =ÝI_n+H.PuisqueTr(H) = 0, la linéarité de la trace entraîne queÝ= Tr(M)

n et par conséquent :p(M) =Tr(M) n I_n. 3. Notonsqla projection surker(Tr)parallèlement àVect(I_n).

Puisquep + q = IdM_n(), il vient :

q(M) = M−Tr(M) n I_n.

1. M_n()est stable paru.uest linéaire car l’application trace l’est.

2. SoitA∈keru. On a doncTr u(A)

= 0soit(n + 1) Tr(A) = 0. PuisqueA + Tr(A)I_n = 0, on a nécessai- rementA = 0. L’applicationu est un endomorphisme injectif d’un-espace vectoriel de dimension finie, il est donc bijectif.

3. SoitA∈M_n(), on a par linéarité deu :

u²(A) = u(A) + Tr(A)u(I_n)

=A + (n + 2) Tr(A)I_n

=A + (n + 2)

u(A)−A)

= (n + 2)u(A)−(n + 1)A.

On en déduit que pour toute matrice :

u²−(n + 2)u + (n + 1) IdM_n()

(A) = 0 et donc queu²−(n + 2)u + (n + 1) IdM_n()= 0.

(11)

4. On vient de prouver queu²−(n + 2)u + (n + 1) Id_E= 0ce qui s’écrit sous la forme : u◦(n + 2) Id_E−u

n + 1 = Id_E. Et par conséquent on a :

u⁻¹= (n + 2) Id_E−u n + 1

a) On a :u(E₁₁) =E₁₁+I₂,u(E₁₂) =E₁₂, u(E₂₁) =E₂₁ etu(E₂₂) =E₂₂+I₂.PuisqueI₂=E₁₁+E₂₂, la matrice deudans la baseBest :

M =







2 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 2





 .

b) Cette matrice est inversible puisque c’est la matrice d’un isomorphisme. De plus, on a prouvé que

M⁻¹= 4I₄−M

3 = 1

3







2 0 0 −1

0 3 0 0

0 0 3 0

−1 0 0 2





 .

1. Pour tout réelh, l’applicationP7→P(X + h)est un endomorphisme deE. Ainsiæest une combinaison linéaire d’endomorphismes deE, c’est donc un endomorphisme deE.

Soit P ∈ E et Q =æ(P). Puisquedeg(Q)6deg(P), la matrice deæ dans la base canonique de E est triangulaire supérieure de la forme :







a + b + c ∗ ··· ∗

0 ... ... ...

... ... ... ∗

0 ··· 0 a + b + c





 .

2. æest un automorphisme si et seulement si la matrice précédente est inversible. Elle est triangulaire supérieure, ses coefficients diagonaux sont égaux àa + b + c. Ainsiæest un automorphisme si et seulement sia + b + c,0.

3. Soitp∈~1,n. D’après la formule du binôme du Newton, on a : (X + 2)^p=X^p+

¼p

k=1

2^kp(p−1)···(p−k + 1)X^p⁻^k

k! .

NotonsD l’endomorphisme deE défini par :D(P ) = P^′. On a pourk>1: D^k(X^p) =p(p−1)···(p−k + 1)X^p⁻^k. Puisque pourk>non aD^k(X^p) = 0, on peut écrire :

(X + 2)^p=X^p+

¼n

k=1

2^kD^k(X^p) k! .

(12)

On calcule de même(X + 1)^pet on a :

æ(X^p)(X) = (a + b + c)X^p+

¼n

k=1

(a2^k+b)D^k(X^p) k! . Les endomorphismesæet(a + b + c) Id_E+´ⁿ

k=1

(a2^k+b)D^k

k! coïncident sur une base deE, ils sont donc égaux. Ce qui établit la formule annoncée.

4. L’endomorphismeæn’est plus bijectif et on a æ(P) = (2a + b)P^′+

¼n

k=2

(2a^k+b)P^(k) k!

soitæ(P)∈_n

−1[X].On vient d’établir queIm(æ)⊂_n

−1[X].

⊲Supposons2a + b,0. La matrice deædans la base canonique deEest :







0 2a + b ··· ∗ 0 . .. . .. ...

... . .. . .. (2a + b)n

0 ··· 0 0







;

en effet on a pourk>1:

æ(X^k)(X) = (2a + b)kX^k⁻¹+P_k(X) avecdeg(P_k)<k−1.

C’est une matrice de rangn, doncIm(æ)est de dimensionn. De l’inclusion précédente, on déduit que Im(æ) =

n−1[X].

⊲ Supposons que Im(æ) = _n

−1[X], alors d’après le théorème du rang ker(æ) est de dimension 1.

Puisquea + b + c = 0, on aæ(1) = 0et par conséquentker(æ) =.

En particulier, on aæ(X),0. Puisqueæ(X) = 2a + b, on a nécessairement2a + b,0.

⊲(i)=⇒(ii) – PuisqueImf²⊂Imf, il suffit de vérifier l’inclusion réciproque. Soity∈Im(f ), il existe un vecteurx∈Etel quey = f (x). D’après(i), il existe(z,t)∈ker(f )×Etel que :

x = z + f (t).

On en déduit quey = f²(t), soity∈Im(f²).

⊲ (ii)=⇒(iii) – Du théorème du rang, on déduit que dim ker(f )

= dim

ker(f²)

. D’autre part, on a toujoursker(f )⊂ker(f²); ce qui établit (iii).

⊲(iii)=⇒(i) – Puisquedim(E) = dim(ker f ) + rg(f ), il suffit d’établir queIm(f )∩ker(f ) =n 0o

.Soity ∈E vérifiant :

∃x∈E, f (x) = y et f (y) = 0.

On en déduit quex∈ker(f²)et par conséquent quex∈ker(f ), d’après (iii) ; ce qui établit (i). ❏ Corrigé de l’exercice 14

(13)

TD 1 – Espaces vectoriels 1. SoitM = a b

c d

!

. NotonsB = M²−Tr(M)M + det(M)I₂, un calcul matriciel conduit à :

B = a²+bc b(a + d) c(a + d) d²+bc

!

−(a + d) a b c d

!

+ (ad−bc) 1 0 0 1

!

soitB = 0.

2. ⊲Sidet(A) = Tr(A) = 0, alors de la question précédente on déduit queA²= 0soitA∈ N.

⊲Réciproquement, supposons queA∈ N. SiA = 0, on a évidemmentdet(A) = Tr(A) = 0. Supposons A,0. On noteu l’endomorphisme de² canoniquement associé àA. PuisqueAest nilpotente non nulle, il existe un entier p >2tel que u^p⁻¹ ,0 etu^p = 0. De l’exercice 4, on déduit que p 62et u²= 0. AinsiA² = 0, puisque An’est pas inversible, la question précédente nous donneTr(A)A = 0 soitTr(A) = 0.

3. ⊲La linéarité de l’application trace et la question précédent impliquent que : Vect(N)⊂ker(Tr).

⊲ D’autre part, on sait que ker(Tr) est de dimension 3; en effet il s’agit de l’hyperplan de M₂() d’équation cartésienne relative à la base canonique deM₂():a₁₁+a₂₂= 0.Ainsi on a :

ker(Tr) = Vect 0 1

0 0

! , 0 0

1 0

!

, 1 −1 1 −1

!!

.

On vient de trouver une base deker(Tr)constituées de matrices sont nilpotentes et par conséquent : ker(Tr)⊂Vect(N).

1. Toutes les colonnes deAsont identiques et non nulles :rg(A) = 1.

2. A²= Tr(A)A.Aest la matrice d’une projection si et seulement siTr(A) = 1.

3. On aB²= 4A²−4sA+s²I_n=s²I_n.Best inversible si et seulement sis,0et dans ce casB⁻¹= 1 s²B.

1. Désignons par (C₁,... ,C_n) les colonnes de la matrice E_{i j} : elles sont toutes nulles sauf la j^ième. PuisqueAE_{i j} est la matrice formée des colonnesAC₁,... ,AC_n, seule laj^ièmeest non nulle :

AE_{i j} =

0 ··· 0 AC_j 0··· 0 .

D’autre part, tous les coefficients de C_j sont nuls sauf le i^ième et par conséquent AC_j est la i^ième colonne deA:

AC_j=





 a_1i

... a_ni





 .

La trace d’une matrice est la somme des coefficients diagonaux de cette matrice et par conséquent : Tr(AE_{i j}) =

AC_j

j =a_ji.

(14)

2. Soit(i,j)∈~1,n². PourM = E_{i j}, il vient d’après la question précédente : a_ji =b_ji.

Les matricesAetB ont les mêmes coefficients, elles sont égales.

a) L’application trace est linéaire doncïAl’est.

b) ⊲ Soit(A,B)∈M_n()²etÝ∈. Pour toute matriceMdeM_n(), on a par linéarité de la trace : ï_A+ÝB(M) = Tr

(A +ÝB)M

= Tr(AM) +ÝTr(B M) =

ï_A+Ýï_B (M).

On en déduit donc queï_A+ÝB =ïA+ÝïB; l’applicationïest linéaire.

⊲ PuisquedimM_n() = dim L

M_n(),

, pour montrer queïest isomorphisme il suffit de prouver queïest injectif. SoitA∈ker(ï). Pour toute matriceMdeM_n()on a :Tr(AM) = 0.De la question précédente, on déduit alors queA = 0.

❏

(15)

TD 2 – Déterminants

■ Calculer un déterminant de petites tailles

Exercice 1

Calculer les déterminants suivants :

D₁=

a b c c a b b c a

,D₂=

1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 2 3 1 1

,D₃=

1 0 3 0 0 0 1 0 3 0 a 0 a 0 3 b a 0 a 0

0 b 0 0 a

.

Exercice 2

Soita,betc trois réels. Exprimer le déterminant

É=

b + c c + a a + b b²+c² c²+a² a²+b² b³+c³ c³+a³ a³+b³

en fonction du déterminant

a b c

a² b² c² a³ b³ c³ .

En déduire la valeur deÉ. Exercice 3

Développer le déterminant suivant sous la forme d’un produit de facteurs linéaires enx:

x + 2 2x + 3 3x + 4 2x + 3 3x + 4 4x + 5 3x + 5 5x + 8 10x + 17

.

Exercice 4

Soita∈, on posee₁= (1,1,1),e₂= (1,2,3)ete₃= (1,4,a). Déterminer les valeurs deatelles que la famille(e₁,e₂,e₃)soit une base de³.

Exercice 5

Soitvl’endomorphisme de³canoniquement associé à la matrice

A =







1 2 −3

0 1 0

−1 0 3





 .

1. Quel est le rang dev?

2. Déterminer une équation cartésienne deImvdans la base canonique de³. Exercice 6

SoitM =







0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0







. Déterminer les valeurs deÝtelles que la matriceM−ÝI₄ne soit pas inversible.

(16)

■ Calculer un déterminant de dimension n

Exercice 7

Calculer les déteminants d’ordrensuivants :

1.

1 n ··· n

n 2 ... ...

... . .. ... n n ··· n n

. 2.

a₁ a₂ a₃ ··· a_n a₂ a₂ a₃ ··· a_n a₃ a₃ a₃ ··· a_n ... ... ... ... ...

a_n a_n a_n ··· a_n .

3.

1 1 1 ··· 1 1 1 0 ··· 0 ... ... ... ... ...

1 0 0 ... 0 1 0 0 ··· 1

. 4.

a b ··· b

b a ... ...

... ... ... b b ··· b a .

Exercice 8

Soita₁,a₂,... ,a_n des réels. Calculer le déterminant

D_n =

0 a₂ ··· a_n−1 a_n a₁ 0 ... ... ...

... a₂ ... a_n₋₁ ... ... ... ... 0 a_n a₁ a₂ ··· a_n₋₁ 0

Exercice 9

Soitr₁,... ,r_n,aetbdes complexes, aveca,b.

1. Montrer que

P_n(x) =

x + r₁ x + b ··· x + b x + a x + r₂ . .. ...

... . .. . .. x + b x + a ··· x + a x + r_n

est un polynôme enxde degré au plus égal à1. En déduire la valeur deP_n(x).

2. Déterminer les valeurs des déterminants suivants :

É₁=

r₁ b ··· b a r₂ . .. ...

... . .. ... b a ··· a r_n

puis É₂=

0 b ··· b

a 0 ... ...

... ... ... b a ··· a 0

Exercice 10 (Déterminant de Vandermonde)

Pour toutn-uplet(Ó1,... ,Ón)deⁿ, on noteV_n(Ó1,... ,Ón)le déterminant d’ordrensuivant :

V_n(Ó1,... ,Ón) =

1 1 ··· 1

Ó₁ Ó₂ ··· Ó_n

Ó²₁ Ó²₂ ··· Ó²_n

... ... ...

Óⁿ₁⁻¹ Óⁿ₂⁻¹ ··· Óⁿ_n⁻¹ .

(17)

TD 2 – Déterminants

1. Soit(Ó1,... ,Ón)∈ⁿ, on suppose que les éléments de cette famille ne sont pas deux à deux distincts. DéterminerV_n(Ó₁,... ,Ó_n)dans ce cas.

2. Soitn>2etÓ1,... ,Ón−1 des complexes deux à deux distincts. On pose, pour toutx∈ :P_n(x) = V_n(Ó1,... ,Ón−1,X).

a) Montrer queP_n est un polynôme de_n

−1[x].

b) ExprimerP_n(X)en fonction deV_n₋₁(Ó1,... ,Ón−1).

3. Pour tout(Ó1,... ,Ón)∈ⁿ, déterminer l’expression deV_n(Ó1,... ,Ón)en fonction deÓ1,... ,Ón. Exercice 11

Soitn >1, on noteD_n()l’ensemble des matrices diagonales de M_n(). Soit(Ý₁,... ,Ý_n)∈ⁿ, pour touti∈~1,non définit la matriceD_i deD_n()par :

D_i= diag(1,Ýi,Ý²_i,... ,Ýⁿ_i⁻¹).

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que la famille (D₁,... ,D_n)soit une base de D_n().

Exercice 12 (Ensam-CCP PT)1. Montrer que

¼n

k=1

k²= n(n + 1)(2n + 1)

6 .

2. On poseD₁= 1et pourn>2on noteD_n le déterminant d’ordrensuivant :

D_n =

1 0 ··· 0 n−1

0 1 ... ... n−2

... ... ... 0 ...

0 ··· 0 1 1

n−1 n−2 ··· 1 1 .

ExprimerD_nen fonction den Exercice 13

SoitA∈M_n()une matrice de rang1. Montrer quedet(A + I_n) = 1 + TrA.

Exercice 14

SoitAune matrice non nulle deM_n()etu l’endomorphisme deM_n()défini par :

∀M∈M_n(), u(M) = M + Tr(M)A.

Calculerdet(u). En déduire une condition nécessaire et suffisante pour queusoit bijective.

Exercice 15

Soit u l’application de _n[X] dans_n[X] définie par u(P) = P + P^′. Calculer detu. Même question lorsqueu(P) = XP^′+P(1).

■ Questions diverses

Exercice 16 (Banque PT)

SoitA∈M₂()une matrice à coefficients dans. Montrer que la matriceAest inversible et queA⁻¹ est, elle aussi, un élément deM₂()si et seulement sidetA∈n

−1,1o . Exercice 17

On suppose qu’il existe deux matrices inversiblesA etB deM_n()telles queAB + B A = 0. Montrer quenest pair.

(18)

■ Vrai-faux

SoitA,B deux matrices deM_n(),u un endomorphisme d’un-espace vectorielE de dimensionn.

Vrai Faux

1 -Pour tout scalaireÝ∈,det(ÝA) =Ýdet(A).

2 -SiAest inversible, alorsdet(A),0.

3 -Une matrice diagonale est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux ne sont pas nuls.

4 -Siuest une symétrie deE, alorsdet(u)∈n

−1,1o

.

5 - det(A + B) = det(A) + det(B).

6 - det(AB) = det(A) det(B).

7 -SiAetBsont semblables, alorsdet(A) = det(B).

8 -Sidet(A) = det(B), alorsAetB sont semblables.

9 -Sidet(A) = det(B), alorsAetB ont même rang.

10 -Si Sidet(A) = det(B),0, alorsAetB ont même rang.

11 -

1 2 1 1 0 1 0 1 0

= 0.

12 -

1 2 3 4 5 6 1 2 3

= 3

1 2 1 4 5 2 1 2 1

.

(19)

TD 2 – Déterminants

■ Indications

Exercice9

1. N’essayer pas de calculer P_n(x); mais à l’aide d’opérations élémentaires, conserver la variable x uniquement dans une ligne (ou une colonne).

Exercice10

2. b) Calculer P_n(Ók)pour k ∈~1,n−1et en déduire une expression factorisée du polynômeP_n (n’oublier pas le coefficient dominant).

Exercice11

Remarquer que B = (E₁₁,... ,E_nn) est une base de D_n(), puis calculer det

B (D₁,... ,D_n). On pourra, pour ce faire, utiliser l’exercice 10.

Exercice13

Justifier queAest semblable à la matrice







0 ··· 0 Ó1

0 ... ... ... ... ... 0 Ón−1

0 ··· 0 Tr(A)







,oùÓ1,... ,Ón−1sont des réels que l’on ne

cherchera pas à déterminer.

Exercice14

Déterminer la matrice deudans une base du type(A,A₂,... ,A_n2).

Exercice16 PourM = a b

c d

!

inversible, vérifier queM⁻¹= 1 det(M)

d −b

−c a

! . Exercice17

Remarque queAB =−B A, puis utiliser le déterminant.

■ Corrigés des exercices

Corrigé de l’exercice 1

D₁=

a b c c a b b c a

C₁←C₁+C₂+C₃

−−−−−−−−−−−−−→ D₁= (a + b + c)

1 b c 1 a b 1 c a

L₃←L₃−L₁

−−−−−−−−−→

L₂←L₂−L₁ D₁= (a + b + c)

1 b c

0 a−b b−c 0 c−b a−c

= (a + b + c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)

D₂=

1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 2 3 1 1

C₄←C₄−C₁

=

1 0 0 0

0 1 0 0

1 0 1 0

2 3 1 −1

=−1

D₃=

1 0 3 0 0 0 1 0 3 0 a 0 a 0 3 b a 0 a 0

0 b 0 0 a

L₃←L₃−aL₁ L₄←L₄−bL₁

=

1 0 3 0 0

0 1 0 3 0

0 0 −2a 0 3 0 a −3b a 0

0 b 0 0 a

.

(20)

En développant par rapport à la première colonne :D₃=

1 0 3 0

0 −2a 0 3 a −3b a 0

b 0 0 a

.

D₃

L₃←L₃−aL₁ L₄←L₄−bL₁

=

1 0 3 0

0 −2a 0 3

0 −3b −2a 0

0 0 −3b a

=

−2a 0 3

−3b −2a 0 0 −3b a

=−2a

−2a 0

−3b a + 3

−3b −2a 0 −3b

= 4a³+ 27b². ❏

Corrigé de l’exercice 2

NotonsBla base canonique de³:É= det

B (B +C,C +A,A+B)si on poseA =





 a a² a³





 ,B =





 b b² b³





 etC =





 c c² c³





 Par linéarité par rapport à la première colonne, on a :

É= det

B (B,C + A,A + B) + det

B (C,C + A,A + B).

La linéarité par rapport à la seconde colonne nous donne ensuite : É= det

B (B,C,A + B) + det

B (B,A,A + B)

| {z }

=0

+ det

B (C,C,A + B)

| {z }

=0

+ det

B (C,A,A + B).

En effet, les familles(B,A,A + B)et(C,C,A + B)sont liées donc leur déterminant dansBest nul. On fait de même avec la troisième colonne et on obtient :É= det

B (B,C,A) + det

B (C,A,B).On a : detB (B,C,A) =−det

B (B,A,C) = det

B (A,B,C).

De même on montre quedet

B (C,A,B) = det

B (A,B,C)et ainsi on a : É= 2 det

B (A,B,C).

⊲On a :

É= 2abc

1 1 1

a b c

a² b² c²

É= 2abc(b−a)(c−a)

1 0 0

a 1 1

a² b + a c + a

C_i ←−C_i−C₁ D = 2abc(b−a)(c−a)(c−b)

NotonsBla base canonique de³. On sait que :

(e₁,e₂,e₃)est une base de³ ⇐⇒ det

B (e₁,e₂,e₃),0.

(21)

TD 2 – Déterminants On a

detB (e₁,e₂,e₃) =

1 1 1 1 2 4 1 3 a

=

1 0 0

1 1 3

1 2 a−1

C_i ←C_i−C₁

=a−7 développement par rapport à la ligne1

La famille(e₁,e₂,e₃)est une base de³si et seulement sia,7. ❏ Corrigé de l’exercice 5

1. On remarque que(C₁,C₂)est libre et queC₃=−3C₁; ainsiAest de rang2et doncrg(v) = 2.

2. On désigne parC₁,C₂,C₃les colonnes deAet parBla base canonique de³. On sait que(C₁,C₂) forme une base deIm(v). SoitX = (x,y,z)un vecteur de³. On a :

X∈Im(v) ⇐⇒ (X,C₁,C₂)est liée ⇐⇒ det

B (X,C₁,C₂) = 0

⇐⇒

x 1 2

y 0 1

z −1 0

= 0 ⇐⇒ −x + 2y + z = 0.

Im(v)est le plan d’équation−x + 2y + z = 0.

La matriceM−ÝI₄n’est pas inversible si et seulement sidet(M−ÝI₄) = 0. Un développement suivant la première colonne nous donne :

det(M−ÝI4) =−Ý

−Ý 1 0

0 −Ý 1

0 0 −Ý

−

1 0 0

−Ý 1 0 0 −Ý 1

=Ý⁴−1.

On a donc :

M−ÝI4non inversible ⇐⇒ Ý∈n

−1,1,i,−io .

1.

1 n ··· n n 2 ... ...

... . .. ... n n ··· n n

C_i←C_i−C_n

=

1−n 0 ··· n 0 2−n . .. ...

... . .. ... n

0 ··· 0 n

= (−1)ⁿ⁻¹n!.

(22)

2.

a₁ a₂ a₃ ··· a_n a₂ a₂ a₃ ··· a_n a₃ a₃ a₃ ··· a_n ... ... ... . .. ...

a_n a_n a_n ··· a_n

L_i←L_i−L₁

=

a₁ a₂ a₃ ··· a_n₋₁ a_n

a₂−a₁ 0 0 ··· 0 0

a₃−a₁ a₃−a₂ 0 ··· 0 0

... ... ... . .. ...

a_n−a₁ a_n−a₂ a_n−a₃ ··· a_n−a_n₋₁ 0 En développant par rapport à la dernière colonne, on obtient :

(−1)ⁿ⁺¹a_n

a₂−a₁ 0 0 ··· 0

a₃−a₁ a₃−a₂ 0 ··· 0

... ... . .. ... ...

a_n−a₁ a_n−a₂ a_n−a₃ ··· a_n−a_n₋₁

= (−1)ⁿ⁺¹a_n

n−1

½

i=1

(a_i+1−a_i)

3.

1 1 1 ··· 1 1 1 0 ··· 0 ... ... ... ... ...

1 0 0 ... 0 1 0 0 ··· 1

C₁←C₁−´n j=2C_j

=

2−n 1 1 ··· 1

0 1 0 ··· 0

... ... . .. ... ...

0 0 0 . .. 0

0 0 0 ··· 1

= 2−n.

4.

a b ··· b b a . .. ...

... ... ... b b ··· b a

C₁←C₁+´n j=2C_j

=

a + (n−1)b b ··· b a + (n−1)b a . .. ...

... . .. ... b a + (n−1)b ··· b a

L_i←L_i−L₁

=

a + (n−1)b b ··· b 0 a−b . .. ...

... ... ... 0

0 ··· 0 a−b

= (a + (n−1)b) (a−b)ⁿ⁻¹.

Pour touti∈~1,non factorise la colonneC_i para_i et il vient :

D_n =a₁···a_n

0 1 ··· 1 1 ... ... ...

... ... ... 1 1 ··· 1 0 .

(23)

TD 2 – Déterminants On effectue ensuite l’opération élémentaireC₁←C₁+´ⁿ

j=2

C_j, ce qui permet de factoriserC₁parn−1 et ainsi :

D_n= (n−1)a₁···a_n

1 1 ··· 1 1 0 ... ...

... ... ... 1 1 ··· 1 0 .

Pour touti>2, on effectue l’opération élémentaireL_i ←L_i−L₁et ainsi :

D_n= (n−1)a₁···a_n

1 1 ··· 1

0 −1 . .. ...

... . .. ... 0 0 ··· 0 −1

= (−1)ⁿ⁻¹(n−1)a₁...a_n.

1. Pouri∈~1,n, on effectue les opérationsL_i←L_i−L₁, on obtient un déterminant dont la première ligne est constitué de polynôme de degré1enxet les autres sont constituées de constantes :

P_n(x) =

x + r₁ x + b ··· ··· x + b a−r₁ r₂−b 0 ··· 0

... a−b . .. ... ...

... ... . .. ... 0

a−r₁ a−b ··· a−b r_n−b .

En développant ce déterminant suivant la première ligne, on obtient une combinaison linéaire de polynômes enxde degré1.P_n(x)est donc un polynôme enxde degré au plus1.

⊲Puisquea,b,(X + a,X + b)est une famille libre de₂[X] de cardinal2 = dim

₂[X]

: c’est donc une base. Il existe deux complexesÝetÔtels que :P_n(x) =Ý(x + a) +Ô(x + b).Pourx =−aetx =−b, on obtient :

Ô= P_n(−a)

b−a et Ý= P_n(−b) a−b . P_n(−a)etP_n(−b)sont des déterminants triangulaires et par conséquent :

P_n(−a) =

½n

i=1

(r_i−a) et P_n(−b) =

½n

i=1

(r_i−b).

On en déduit que :

P_n(x) = µn i=1

(r_i−b)

a−b (x + a) + µn i=1

(r_i−a)

b−a (x + b).

2. On aÉ₁=P_n(0)et du résultat précédent on déduit : É₁= 1

a−b





a

½n

i=1

(r_i−b)−b

½n

i=1

(r_i−a)





. Pour obtenirÉ₂, on particulariseÉ₁avecr_i = 0pour touti et on obtient :

É₂= (−1)ⁿ a−b

abⁿ−baⁿ .