LM270 UPMC 2010–2011 TE4b
Universit´ e Pierre et Marie Curie 2010–2011 LM270, TE4b Groupes 4,5,6 (20/5/2011)
Aucun document n’est autoris´e. L’utilisation de tout appareil ´electronique de calcul et des t´el´ephones portables est interdite. Lorsqu’un calcul est demand´e, d´etaillez les ´etapes en indiquant les op´erations effectu´ees ; un r´esultat final correct mais non justifi´e par les ´etapes du calcul qui y m`enent, ne donnera qu’une partie des points.
D’autre part, les correcteurs tiendront compte de la qualit´e de la r´edaction et de la pr´ecision des raisonnements. Ce devoir comporte5exercices et est not´e sur60
Exercice 1 (15 pts). Soit E l’espace affine euclidien R3, muni du rep`ere orthonorm´e canonique R0 = (O,B), o`u O d´esigne le point (0,0,0) etBla base canonique (e1, e2, e3). Soient Ale point (1,1,1),wle vecteure1+ 2e2−e3, etf le vissage d’axeD=A+Rw, de vecteur de vissagew, et d’angleπ/2 (la droiteD=Rw´etant orient´ee parw).
1. (2 pts) D´eterminer la nature g´eom´etrique et les caract´eristiques de la partie lin´eaire−→ f def. 2. (4 pts) D´eterminer un vecteuruorthogonal `aw0 = 1
kwkw, puis un vecteur unitaire v0 orthogonal `au0 = 1 kuku et `aw0; on choisirav0 de fa¸con que la base orthonorm´eeC= (u0, v0, w0) soit directe. D´eterminerP−1.
3. (1 + 3 = 4 pts) ´Ecrire les matricesC= MatC(−→
f) etB= MatB(−→
f) (on ´ecriraBsous la formeB =1
6A, o`u tous les coefficients deAsont de la forme a+b√
6, aveca, b∈Z).
4. (5 pts) Soitgla rotation affine d’axeD=A+Rwet d’angleπ/2 (la droite D=Rw´etant orient´ee parw). Pour tout pointM = (x, y, z) deE, exprimer le vecteur−−−−→
Ag(M) puis le vecteur −−−−−→
Of(M) en fonction de (x, y, z).
Exercice 2(7 pts). SoitP le plan affine euclidienR2, muni du rep`ere orthonorm´e canonique (O, e1, e2), o`uOd´esigne le point (0,0). PourA, B ∈ P, on noteAB=k−−→
ABk. SoientF = (−1,0) etF0= (1,0) et soit C={M = (x, y)∈ P | M F+M F0= 4}.
1. (4 pts) ´Ecrire l’´equation de Csous la formeq(x, y) = 1, o`uq est une forme quadratique que l’on d´eterminera.
2. (1,5 pts) Quelle est la nature deC?
3. (1,5 pts) Faire un dessin repr´esentantC(on rappelle que√
3 = 1,732. . .).
Exercice 3(10 pts). 1. (3pts) SoitA∈Mn(C). Montrer, en utilisant des r´esultats du cours, qu’il existeP∈GLn(C)
telle queP−1AP =D+N, o`u D est une matrice diagonale
λ1 0 · · · 0 0 λ2 . .. ...
... . .. ... 0 0 · · · 0 λn
(les λi n’´etant pas n´ecessairement
distincts), etN une matrice triangulaire sup´erieure stricte (i.e. avec des z´eros sur la diagonale) qui commute avecD.
2. (4 pts) En d´eduire que d´et(exp(A)) = exp(Tr(A)). (On rappelle que exp(P−1AP) =P−1exp(A)P.)
3. (3pts) On rappelle que pour toutA∈Mn(C), on a exp(tA) =texp(A). Soit alors A∈Mn(R) telle quetA=−A.
Montrer que exp(A)∈SO(n).
Exercice 4 (19 pts). Soient Qune forme quadratique surRn, φsa forme polaire etA= (aij)1≤i,j≤n la matrice de φ dans la base canonique B = (e1, . . . , en). Pour toutd = 1, . . . , n, on note Ad la sous-matrice A = (aij)1≤i,j≤d et
∆d= d´et(Ad). (On a doncA1= (a11) etAn=A).
1. (3 pts) On suppose que ∆n−16= 0. Montrer qu’il existe un unique (n−1)-uplet (x1, . . . , xn−1)∈Rn−1 tel que le vecteur fn =en−x1e1− · · · −xn−1en−1 v´erifie φ(ei, fn) = 0 pour i= 1, . . . , n−1. (On ne demande pas de calculer les xi).
2. (1 + 3 = 4pts) ´Ecrire la matriceP= MatB(e1, . . . , en−1, fn) et calculer son d´eterminant. En ´ecrivant la matrice deφdans la baseC= (e1, . . . , en−1, fn), en d´eduire queQ(fn) = ∆n/∆n−1.
3. (3 pts) On suppose que ∆p6= 0 pour tout p= 1, . . . , n. D´eterminer en fonction de (∆1,∆2/∆1,· · · ,∆n/∆n−1) la signature deQ.
4. (4 pts) On supposen≥4 etA=
2 −3 0 0 · · · 0
−3 2 −1 0 · · · 0 0 −1 2 . .. ... ...
... . .. ... ... −1 0 0 · · · 0 −1 2 −3 0 · · · · · · 0 −3 2
, c.-`a.-d.,aii= 2,a12=a21=−3 =an−1,n=
an,n−1,ai,i+1=ai+1,i=−1 pouri= 2, . . . , n−2, et tous les autresai,jsont nuls. Calculer ∆1et ∆2. Puis, pour
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d= 3, . . . , n−1, montrer en d´eveloppant ∆p par rapport `a la d-`eme colonne, que ∆d =a∆d−1−b∆d−2 pour deux entiersa, b∈N∗ que l’on d´eterminera. En utilisant cette formule calculer ∆3, ∆4, ∆5.
5. (2 pts) Les calculs pr´ec´edents vous sugg`erent-ils une formule pour la valeur de ∆d, pourd= 1,2, . . . , n−1 ? Si oui, d´emontrez cette formule par r´ecurrence surd.
6. (3 pts) Calculer ∆n (en le d´eveloppant par rapport `a la derni`ere colonne) puis d´eterminer la signature deφ.
Exercice 5 (9 pts). Soitφ la forme bilin´eaire sym´etrique sur R5 dont la matrice dans la base canonique est A =
1 0 1 0 1
0 0 0 1/2 −1/2
1 0 1 0 1/2
0 1/2 0 0 0
1 −1/2 1/2 0 1
. Soitqla forme quadratique associ´ee.
1. (1 pt) Exprimezq(x1, . . . , x5) en fonction des coordonn´ees (x1, . . . , x5) dans la baseB.
2. (6 pts) ´Ecrivezqcomme somme de carr´es de formes lin´eaires ind´ependantes.
3. (2 pts) D´eterminez la signature et le rang deq.
