Leçon 28 La formule du binôme

(1)

5. FONCTION LOGARITHME | 108

Leçon 28 La formule du binôme

1. Théorème

Soit a et bdeux nombres complexes et n un entier, n1. On a :

( )

ⁿ ⁿ ^p ^p

p p n

n C a b

b

a ⁻



=

= +

0

(

a+b

)

ⁿ=C_n⁰aⁿb⁰ +C_n¹aⁿ⁻¹b¹+C_n²aⁿ⁻²b²+...+C_n^paⁿ⁻^pb^p+...+C_nⁿ⁻¹a¹bⁿ⁻¹+C_nⁿa⁰bⁿ

▪ Cette formule explique le nom de coefficients binomiaux donnés aux C_n^p.

▪ La formule du binôme est parfois utile avec a=x et b=1 :

(

x+1

)

ⁿ=xⁿ +C¹_nxⁿ⁻¹+ ... +C_n^px^p + ... +C_nⁿ⁻¹x+1.

▪ Il est intéressant de mémoriser la formule du binôme pour les petites valeurs de n par exemple n=2,3 (identités connues)

Exemples :

.

(

^a⁺^b

)

²⁼^C₂⁰â²^b⁰⁺^C¹₂â²⁻¹^b¹⁺^C₂²â²⁻²^b²⁼â²⁺²âb⁺^b²

.

( )

3³ ³ ³ ³ ³ ² ² ³

2 2 3 2 3 1 1 3 1 3 0 3 0 3

3 C a b C a b C a b C a b a 3a b 3ab b

b

a+ = + ⁻ + ⁻ + ⁻ = + + +

.

( )

4 3 2

2 3

4

4 0 4 4 3 3 4 3 4 2 2 4 2 4 1 1 4 1 4 0 4 0 4 4

4 6

4a b a b ab b

a

b a C b a C b a C b a C b a C b a

+ +

=

+ +

=

+ ⁻ ⁻ ⁻

.

( )

5 4 3

2 2

3 4

5

5 0 5 5 4 4 5 4 5 3 3 5 3 5 2 2 5 2 5 1 1 5 1 5 0 5 0 5 5

5 10

10

5a b a b a b ab b

a

b a C b a C b a C b a C b a C b a C b a

+ +

+

=

+ +

+

=

+ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻

.

( )

6 5 4

2 3

3 2

4 5

6

6 0 6 6 5 5 6 5 6 4 4 6 4 6 3 3 6 3 6 2 2 6 2 6 1 1 6 1 6 0 6 0 6 6

6 15

20 15

6a b a b a b a b ab b

a

b a C b a C b a C b a C b a C b a C b a C b a

+ +

=

+ +

=

+ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻

2. La relation de Pascal

Pour tous entiers n et p vérifiant 1 pn−1, on a : C_n^p =C_n^p₋₁+C_n^p₋⁻₁¹. Le triangle arithmétique de Pascal

La relation de Pascalpermet de calculer C_n^p connaissant C_n^p₋₁ et C_n^p₋⁻₁¹.

On peut donc calculer tous les C_n^p dans le tableau ci-contre, en bordant de 1 la première colonne et la diagonale, et en utilisant le schéma :

− +

−1 1 p

Cn C_n^p₋₁

p

Cn

=

(2)

5. FONCTION LOGARITHME | 109 n

p 0 ₁ ₂ 3 4 5 6 7 …

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 ₄ ₁

5 1 5 10 10 5 1

6 ₁ 6 15 20 15 6 ₁

7 1 7 21 35 35 21 7 1

 

Ce tableau est appelé triangle de Pascal en hommage à Blaise PASCAL qui écrivit en 1654 son « Traité du triangle arithmétique » dans lequel il expose d’innombrables applications du « triangle », déjà connu de TARTAGLIA (1556), STIEFEL (1543) et des chinois (1303).

3. Calcul des coefficients binomiaux

On suppose : T_k, le k−ièmede

( )

ⁿ ⁿ ^p ^p

p p n

n C a b

b

a ⁻



=

= +

0

( )

nⁿ ⁿ

n n n p

p n p n n

n n

n

n C a b C a b C a b C a b C a b C a b

b

a+ = ⁰ ⁰+ ¹ ⁻¹ ¹+ ² ⁻² ²+...+ ⁻ +...+ ⁻¹ ¹ ⁻¹+ ⁰

On a donc :

0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 _n ⁿ , 2 _n ⁿ , 3 _n ⁿ , 4 _n ⁿ

T =C a b T =C a ⁻b T =C a ⁻ b T =C a ⁻ b T₅=C a_n⁴ ⁿ⁻⁴b⁴,... ,T_k =C_n^k⁻¹aⁿ^{− −}⁽^k ¹⁾b^k⁻¹ et T_k₊₁ =C a_n^k ^{n k}⁻ b^k

Exemple 1 : Trouver le terme constant de

9

2 1

x x

 + 

 

 

Solution

Le terme constant est le terme où la puissance est égale à zéro

( )

^x⁰

D’après

( )

ⁿ ⁿ ^p ^p

p p n

n C a b

b

a ⁻



=

= +

0

On a : a x², b ¹

= = x et n=9

D’après T_k₊₁ =C a_n^k ^{n k}⁻ b^k

On obtient donc :

( )

^k ^k ^k ^k ^k ^k ^k

k

k C x x C x

x x C

T ₁ ₉ ² ⁹⁻ 1 ₉ ¹⁸₋² ₋ ₉ ¹⁸₋³

+  = =



 



= 

On cherche le terme où x⁰ cela veut dire que :

6 0

3

3 18

18

0 =x ⁻  − k = k =

x ^k

(3)

On adonc bien :

( )

² ⁹ ³ ⁶ ₉⁶ ⁰ ₉⁶

9 1 6

1 C x C

x x C

T ^k  = =



 



= ⁻ 

+

(

⁹ ⁹⁶^!

)

^!⁶^! ⁹³ ⁸² ¹⁷ ⁸⁴

6 9

7 =



= 

= −

=C T

Exemple 2 : Trouver le terme contenant x¹⁶ de ⁽^x²⁻^{2 )}^x¹⁰. Solution

D’après

( )

ⁿ ⁿ ^p ^p

p p n

n C a b

b

a ⁻



=

= +

0

On a : a=x², b= −2x et n=10

D’après T_k₊₁ =C a_n^k ^{n k}⁻ b^k On a :

( )

^k

( )

^k ^k ^k ^k ^k ^k ^k

k

k C x x C x x C x

T₊₁ = ₁₀ ² ¹⁰⁻ −2 = ₁₀ ²⁰⁻² (−2 ) =(−2) ₁₀ ²⁰⁻ x16 =x²⁰⁻^k 20−k=16k=4

On adonc bien :

16 16

4 10 4 1

4 6!4!

! 16 10 )

2

( C x x

T₊ = − = 

10 16

16

5 16 10 3 7 3360

1 2 3 4

7 8 9 10

16 x x x

T =     =



= 

Exemple 3 : Établir S =C_n⁰+C¹_n+C_n²+  +C_nⁿ avec nN

Solution On a :

S =Cn⁰

( )

¹¹+Cn¹

( ) ( )

¹ ⁿ⁻¹ ¹ +Cn²

( ) ( )

¹ ⁿ⁻² ¹ ²+  +Cnⁿ

( )

¹ ⁿ ^{ = +}^S

(

^{1 1}

)

ⁿ ⁼²ⁿ On obtient donc S=C_n⁰+C¹_n+C_n²+  +C_nⁿ =2ⁿ

Activités 1. Si ⁵

 =4 et ³

 =4 alors combien vaut

12

12 12 0

k k k

k

C   ⁻



= ^?

2. Calculer le coefficient du terme qui contient x¹² de

8

3 1

x 2 x

 + 

 

  .

(4)

Exercices

1. Calculer le coefficient du terme qui contient x⁷ de (x²+2 )x ⁶. 2. Calculer le coefficient du terme qui contient x¹⁵ de (x²+2 )x ⁹. 3. Calculer le terme constant de

12

2 1

2x x

 + 

 

 

4. Calculer le coefficient du terme qui contient x⁵ de (1−x)(1+x)⁶.

5. Quel est le coefficient du terme qui contient x²+ y² de

(

^xy⁻²^y⁻³

)

⁸^{tel que}

2 4

2+y =−

x ?

6. Étant donné ₁ ^{log 3}⁴

4

log 1 4

 = 256− et

1 1 1 1 4

1 2 2 3 3 4 8 9

n  

= + + + + + ++ +  Calculer le coefficient du terme qui contient y⁶de

(

^y⁺^

)

ⁿ^.

7. Si  et  sont deux solutions de 3x+ = +5 x 2alors combien vaut ⁸−C₈¹ ⁷ +C₈² ⁶ ² −...−C₈⁷⁷ +⁸ ?

8. Calculer C_n⁰+ 2 C_n¹+2²C_n²+ 2³ C_n³+  +2ⁿC_nⁿ, nZ⁺ 9. Montrer que : C¹_n+C_n² +C_n³+...+C_nⁿ⁻¹=2(2ⁿ⁻¹−1).