dans l’espace

(1)

5. FONCTION LOGARITHME | 108 x

Leçon 37 Plan

dans l’espace

1. Équation cartésienne d’un plan

1) Plan passant défini par un point et un vecteur normal

Le plan passant par A

(

x₀,y₀,z₀

)

, et admet le vecteur non nul n

(

a,b,c

)

comme vecteur normal, peut être défini comme l’ensemble des points M

(

x,y,z

)

tels que AMn=0

.

(

0

) (

0

) (

0

)

⁰

0 0 0

=

− +

−

=































−

=

 a x x b y y c z z

c b a

z z

y y

x x n AM 

Théorème

Soit ⁿ^

(

^a^,^b^,^c

)

un vecteur non nul.

Les plans admettant ⁿ^

(

^a^,^b^,^c

)

comme un vecteur normal sont les plans dont une équation cartésienne est de la forme :

d z c y b x

a + + = où d=ax₀+by₀+cz₀.

➢ Les plans de coordonnées.

Avec la notation habituelle, nous avons :

plans

(

^xOy

) (

^yOz

) (

^zOx

)

équations

0 0

= + +

=

d by ax z

0 0

= + +

=

d cz by x

0 0

= + +

= d cz ax

y A

A

(2)

5. FONCTION LOGARITHME | 109

➢ Les plans parallèles aux axes des coordonnées.

Exemple : Quelle est l’équation cartésienne du plan P passant par A

(

2,0,−3

)

et de vecteur normal n= 1, 2,1− .

Solution

Soit M

(

x,y,z

)

un point du plan, on a :

=0

n AM 

















−















 +

−

=



1 2 1 3 0 2 z y x n AM 

(

−²

)

¹+

(

−⁰

) ( ) (

 −² + +³

)

¹= −²−² + +³

=

n x y z x y z

AM 

Donc l’équation cherchée est : x−2y+z+1=0

2) Plan défini par trois points

Soit trois points ^{A x}

(

_A^,^y_A^,^z_A

)

^, ^{B x}

(

_B^,^y_B^,^z_B

)

et C x

(

C^,yC^,zC

)

^.

On se ramène à l’équation cartésienne d’un plan dont on connait un point et un vecteur normal, en notant que ABAC =n est normal au plan.

Le plan passant par trois points A,B et C est donc l’ensemble des points

(

x y z

)

M , , tels que ^AM^

(

^AB^^AC

)

⁼⁰^.

Plan parallèle au plan

(3)

Exemple : Déterminer l’équation du plan

(

ABC

)

avec A

(

1,0,−1

)

, B

(

2,2,1

)

et C

(

4,1,2

)

. Solution

( ) ( ) ( ( ) )

2 1 , 2 0 , 1 1 1, 2, 2 4 1 , 1 0 , 2 1 3,1, 3 AB

AC

= − − − − =

1 2 2 4 3 5 4, 3, 5

3 1 3

i j k

n= AB AC = = +i j− k= −

Soit M

(

x,y,z

)

un point du plan

(

ABC

)

; on a :

(

^

)

⁼⁰

 AB AC AM

( )

















−















 +

−

=



5 3 4 1

0 1 z y x AC AB AM

( ) ⁽ ^{) (} ^{) (} ⁾

5 5 3 4 4

1 5 0 3 1 4

−

− +

−

=

+

−

− +

−

=



z y x

z y

x AC AB AM

Donc l’équation cherchée est :

(

ABC

)

: 4x+3y−5z−9=0

2. Position relative de deux plans

Soit deux plans distincts P et P' tels que :

:

P a x b y c z₁ + ₁ + ₁ =d₁ de vecteur normal n₁=

(

a₁,b₁,c₁

)

: '

P a x b y c z₂ + ₂ + ₂ =d₂ de vecteur normal n2 =

(

a2,b2,c2

)

➢ Si n₁

et n₂

sont colinéaires alors P et P' sont parallèles ; ils n’ont aucun point commun.

➢ Si n₁

et n₂

ne sont pas colinéaires alors P et P' sont sécants ; leur intersection est une droite.

P² P¹

n1 P¹ P²

Plans se coupent suivant une droite

Plans parallèles

(4)

Exemple 1 : Soit P un plan d’équation 7x−4y+2z=−10. Donner une équation cartésienne du plan parallèle à P:

a. passant par l’origine; b. passant par A

(

²^,−¹^,³

)

. Solution

Le plan cherché est de la forme : P':7x−4y+2z=d

a. P':7x−4y+2z=d passe par l’origine O

(

0,0,0

)

, on obtient donc :

0 0

2 0 4 0 7 :

'  −  +  =dd= P

Donc le plan cherché est : P':7x−4y+2z=0

b. P'':7x−4y+2z=d passe par A

(

²^,−¹^,³

)

, on obtient donc :

24 3

2 ) 1 ( 4 2 7 :

''  −  − +  =dd= P

Donc le plan cherché est : P':7x−4y+2z=0

Exemple 2 : Étudier la position relative de deux plans P et P' d’équation respective :

1 2 5

2x+ y− =z et 3x+12y−6z=1. Solution

:

P ¹ 2 5

2x+ y− =z a pour vecteur normal ₁ ¹, 2, 1 n = 2 − :

'

P 3x+12y−6z=1 a pour vecteur normal n₂ = 3,12 6−

On a : n₂ = 3,12 6− =31,12,−6=3n₁ montre que n₁ et n₂ sont colinéaires donc ces eux plans sont parallèles.

Exemple 3 : Étudier la position relative du plan P:x−3t+5z =12 et la droite



 







−

= +

=

t t z

t y

t x

L ,

3 5 4

8 3

: .

Solution

. Le plan P a pour normal n= 1, 3,5−

La droite L a pour vecteur directeur v= 8,5, 1−

La droite L et le plan P sont parallèles si et seulement si v n =0

On a : v n = 8,5, 1−  −1, 3,5 = − − = − 8 15 5 12 0 montre qu’ils ne sont pas parallèles.

Donc ils se coupent en un point ^M

(

^x₀^,^y₀^,^z₀

)

dont on déterminera ses coordonnées.

On a donc :

. 







−

= +

=





0 0

3 5 4

8 3

t z

t y

t x

L M

. MPx₀−3y₀+5z₀ =12

(5)

On obtient donc : 3 8+ t0−3 4 5

(

+ t0

) (

+ − −5 3 t0

)

=12 = −t0 3

et 







= +

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

0 3 3

11 15 4

21 24 3

0 0 0

z y x

. C’est-à-dire L et P se coupent en M

(

−21,−11,0

)

.

Exemple 4 : Soit deux plans P et P' d’équations respectives 3x−6y−2z=15 et

2x+ −y 2z=5. Étudier l’intersection de ces deux plans.

Solution

. Le plan P a pour vecteur normal n₁= 3, 6, 2− −

. Le plan P' a pour vecteur normal n₂ = 2,1, 2−

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, car il n’existe pas de réel  tel que n2 =n1.

Donc l’intersection de ces deux plans est une droite

( )

d . Tout point M

(

x,y,z

)

de

( )

^d vérifie





=

− +

=

−

5 2 2

15 2 6 3

z y x

On choisit y comme paramétrique en posant y=t, et on obtient :







+

=

 



−

=

−

+

=

−

2 15 2

15 7 10 5

2 2

6 15 2 3

y z

t x

t z x

t z

x

Puisque y =t, le système 











+

=

= +

=

t t

z t y

t x

, 2 15 2 15

7 10

, est un système d’équation paramétrique de

la droite

( )

d , passant par le point 



 





2 ,15 0 , 10

A et de vecteur directeur 



 



 2 ,15 1 , 7 v

. 3. Angle entre deux plans

Soit deux plans distincts P et P' tels que :

:

P a x b y c z₁ + ₁ + ₁ =d₁ de vecteur normal n1=

(

a1,b1,c1

)

: '

P a x b y c z₂ + ₂ + ₂ =d₂ de vecteur normal n2 =

(

a2,b2,c2

)

L’angle , entre deux plans P et P' est l’angle aigu formé par deux vecteurs normaux n1

et n2

de ces deux plans sécants et calculé par :

2 1

2 1 2

1 2

1 cos cos

n n

n n n

n n

n  

 



  =   = 

Exemple : Déterminer , l’angle formé par deux plans sécants P et P' d’équations respectives 3x−6y−2z=15 et 2x+ −y 2z=5.

Solution

. Le plan P a pour vecteur normal n₁= 3, 6, 2− −

. Le plan P' a pour vecteur normal n₂= 2,1, 2−

(6)

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

2 2 2 2

2 2

1 2

3, 6, 2 2, 1, 2 cos

3 6 2 2 1 2

6 6 4 7 3 4 21 n n n n

 = ^ = ^{− − } ^{− −}

+ − + − + − + −

= − +



=

Donc  79,02^•

4. Distance d’un point à un plan

Soit P un plan défini comme le plan passant par un point A et de vecteur normal n. Étant donné un point S de l’espace, on note S' le projeté orthogonal de S sur P. La distance d de S au plan P est calculée par :

n n AS n AS

n AS AS

AS SS d



 

 =



=

= ' cos

Cas généralement

Soit un plan P d’équation ax+by+cz+d=0 et un point M

(

x₀,y₀,z₀

)

de l’espace.

La distance D du point M au plan est calculée par :

( )

2 2 2

0 0

, 0

c b a

d cz by P ax

M

D + +

+ +

= +

Exemple 1 : Soit un plan P d’équation x+2y+2z− =13 0 et un point ^M

(

²^,⁻³^,⁴

)

. Quelle est la distance de M à P.

Solution

On a :

( ) ( ) ( )

3 2

2 1

13 4

2 3 2 2 , 1

2 2

2 =

+ +

− +

 +

− +

=  P M D

Exemple 2 : Soit deux plans P et P' d’équations respectives x+2y+3z− =5 0 et

2 3 9 0

x+ y+ z− = . Quelle est la distance d de P à P'.

S’ A

(7)

Solution

On choisit un point M

(

x₀,y₀,z₀

)

de P. La distance de P à P' est donc celle de

M à P.

On a : M

(

5,0,0

)

P

On obtient donc la distance d de P à P' :

( ) ( )

14 4 3

2 1

9 0 3 0 2 5 ' 1

, 2 2 2 =

+ +

− +

 +

=  P P D

Exercices

1. Pour chacun des cas suivants, donner une équation cartésienne d’un plan passant par un point de vecteur normal n

.

a. ⁿ⁼ ^{1,3, 2 ,}

(

^{4, 1,1}⁻

)

^b.ⁿ^{= −}^{1, 2,1 ,}

(

^3,1,9

)

c. 2, 4,1 , ^{1 2}, ,1

n= − 3 3 

  d. ⁿ⁼ⁱ^,

(

^{9,1, 9}⁻

)

e. , 5, ,^{1 1}

n= j − 2 2

  f. ⁿ^{= −}^{i k}

(

^{4, 2,8}

)

2. Pour chacun des cas suivants, donner une équation cartésienne d’un plan passant par trois points.

a. ^P

(

^{2, 1, 4 ,}−

)

^Q

(

^{1,1,1 ,}

)

^R

(

^{3,1, 2}−

)

b. ^P

(

^{5,1,1 ,}

)

^Q

(

^{1,1, 2 ,}

)

^R

(

^2,1,1

)

c. ^P

(

^{1, 0, 0 ,}

)

^Q

(

^{0,1,1 ,}

)

^R

(

^{2, 0,1}

)

d. ^P

(

^{2, 0, 0 ,}

)

^Q

(

^{0, 4, 0 ,}

)

^R

(

^{0, 0, 2}

)

3. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par ^P₀

(

^{3, 1,1}⁻

)

orthogonale au plan d’équation 3x+5y−7z=29.

4. Donner l’intersection du plan d’équation − +2x 3y+ =z 6 et les plans xy xz, et yz.

5. Quels sont parmi les plans suivants ceux qui définissent par trois points :

(

a, 0, 0 , 0, , 0

) (

b

)

et

(

^{0, 0,}^c

)

^.

a. ax by cz+ + =1 b. bcx acy abz+ + =abc

c. bx cy az+ + =1 d. x y z 1 a+ + =b c 6. ກ ຳນ ົດສ ົມຜົນເສ ັ້ນຊ ື່ຂອງແຜື່ນພຽງທ ື່ສະແສງດ ື່ງຮູບລ ື່ມນ ັ້:

(8)

7. Pour chacun des cas suivants, déterminer l’angle de deux plans sécants.

a. 2x+3y+7z=2 et 4x−2y+2z=4

b. x−3y+ =z 3 et 2x−3y=4

c. Plans de vecteurs normaux respectifs n₁= 1, 0,1 et n₂= −1,1,1 . d. Plans de vecteurs normaux respectifs n₁= 1, 2,1 et n₂= 4,1,3 . e. Plans de vecteurs normaux respectifs n₁= 1, 0, 0 et n₂= 0,1, 0 .

8. Déterminer une équation du plan P dont l’angle de P et le plan d’équation

3x+ −y 4z=2 est 90 .

9. Pour chacun des cas suivants, déterminer la droite d’intersection de deux plans.

a. x+ + =y z 1 et x+2y+3z=1

b. x− − =y z 1 et 2x+3y+ =z 2

c. 2x+ −y 3z=0 et x+ =y 1

10. Pour chacun des cas suivants, calculer la distance d’un point à un plan.

a. ^Q

(

^{1,1,1 ,}

)

²^x^{+ +}^y ⁵^z⁼² b. ^Q

(

^{2, 1, 3 ,}⁻

)

^x⁺²^y^{+ = −}^z ³ c. ^Q

(

^{0,1, 1 ,}⁻

)

^{− +}^x ²^y^{+ =}^z ⁴

11. Pour chacun des cas suivants, calculer la distance de deux plans.

a. x+2y+3z=5 et x+2y+3z=9

b. − + + =2x y z 0 et 6x−3y−3z− =5 0

12. Soit un plan d’équation n x y z , , =d. Montrer que : si n est un vecteur unitaire alors d est la distance de ce plan à l’origine.

13. Donner une équation d’un plan parallèle au plan d’équation 2x− +y 2z+ =4 0 et

(

^{3, 2, 1}

)

A − est un point équidistant à ces deux plans.

14. Trouver le symétrique de ^A

(

^{4, 2, 6}

)

par rapport à la droite d’intersection de deux plans d’équations respectives x− −y 4z+12=0 et 2x+ −y 2z+ =3 0.