Enoncé D1976 (Diophante) Une curieuse propriété
La médiatrice d’une corde M N d’un cercle coupe ce cercle en X et Y et coupe M N en Z.
P étant un point du cercle (N XZ), la droite P Y recoupe ce second cercle en Q.
Montrer que le segment [M Z] est vu depuis les points P et Q sous un même angle modulo π.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Par l’analytique :Z origine des coordonnées,ZxselonZX,Zy selonZM. Coordonnées X(a,0), M(0, b), N(0,−b), Y(−b2/a,0) puisque, XY étant un diamètre, l’angle XM Y est droit.
Equation du cercle (N XZ) : x2+y2−ax+by= 0.
D’un point P(x, y), le segment [M Z] est vu sous un angle (P Z, P M) = (Zx, P M)−(Zx, P Z) de tangente
p= (y−b)/x−y/x
1 + (y/x)(y−b)/x = −bx x2+y2−by
et si P appartient au cercle (N XZ),p= −bx ax−2by.
La droite bx+p(ax−2by) = 0 passant parZ recoupe le cercle (N XZ) au point P(x, y) défini par
x
2bp = y
b+ap = b(ap−b)
4b2p2+b2+ 2abp+a2p2.
De même pour Q(x0, y0) sur (N XZ) tel que tan(QZ, QM) =q x
2bq = y
b+aq = b(aq−b)
4b2q2+b2+ 2abq+a2q2.
Si l’on avait q =p, alors y0/x0 =y/x,Q serait surZP; on peut supposer q 6=p siQ est surY P, non confondu avec P ou Z. La propriété d’égalité des angles de l’énoncé veut donc dire que (P Z, P M) = (QM, QZ) modulo π, (ce que confirme une figure GeoGebra), soitp+q= 0.
L’alignement Y P Q entraîne la nullité du déterminant
x y 1
x0 y0 1
−b2/a 0 1 ,
égal, au facteur b3
a(4b2p2+b2+ 2abp+a2p2)(4b2q2+b2+ 2abq+a2q2) près, au déterminant
ap2−bp a2p2−b2 4b2p2+b2+ 2abp+a2p2 aq2−bq a2q2−b2 4b2q2+b2+ 2abq+a2p2
−1 0 2a
Ajoutant à la troisième colonne la seconde, et la première multipliée par 2a, on obtient le déterminant
ap2−bp a2p2−b2 4p2(a2+b2) ap2−bp a2p2−b2 4q2(a2+b2)
−1 0 0
qui se développe en 4(a2+b2)(q2(a2p2−b2)−p2(a2q2−b2)) =
= 4b2(a2+b2)(p−q)(p+q).
L’alignement Y P Qentraîne bien p+q= 0, CQFD.
