enfin le chiffre des unités du 2e facteur est &gt

(1)

C253 – Multiplications codées

Compléter ces deux multiplications de deux entiers à 3 chiffres.

1ère multiplication 2ème multiplication

Nota : chaque ligne contient au moins un chiffre distinct de 0.

Résolution 1^re multiplication Premières observations :

• le résultat, impair, implique que les deux facteurs sont eux-mêmes impairs ;

• la forme des termes de l’addition finale implique que le chiffre des dizaines du 2^e facteur est 0,

• enfin le chiffre des unités du 2^e facteur est > 1 (car le 1^er terme de l’addition compte 4 chiffres).

Compte tenu du résultat qui termine par 21,

• si le chiffre des unités du 2^e facteur est 3, le chiffre des unités du 1^er facteur est 7 et le chiffre des dizaines 0 ;

• le chiffre des unités du 2^e facteur ne peut être 5 ;

• si le chiffre des unités du 2^e facteur est 7, le chiffre des unités du 1^er facteur est 3 et le chiffre des dizaines 0 ;

• si le chiffre des unités du 2^e facteur est 9, le chiffre des unités du 1^er facteur est 9 et le chiffre des dizaines 6.

D’où 3 hypothèses : a03 x b07 = c2021 ; a07 x b03 = c2021 ; a69 x b09 = c2021.

Hypothèse 1 : en considérant les centaines du résultat, on a 3b + 7a + 100 ab = 100 c + 20. Modulo 10, cela implique 3b+7a 0 soit a = b car a et b sont deux nombres <10.

• a=b=0 implique 0 = 100c + 20 impossible ;

• a=b=2 implique 420 = 100c + 20, d’où c=4 ; la solution est admissible.

• a=b>3 implique c>9, impossible.

Hypothèse 2 : en considérant les centaines du résultat, on a 7b + 3a + 100 ab = 100 c + 20. Modulo 10, cela implique 7b+3a 0 soit a = b car a et b sont deux nombres <10. On peut tirer les mêmes conditions que ci-dessus, sauf que la solution a=b=2 et c=4 n’est pas admissible car le premier terme de l’addition vaut 621 et ne compte que 3 chiffres.

(2)

Hypothèse 3 : en considérant les centaines du résultat, on a 9a+6 + 100 ab + 69 b = 100 c + 20.

Modulo 10, cela implique – a – b 4 soit a + b 6.

• a=0 et b=6 implique 420 = 100c + 20, d’où c=4, non admissible car le premier terme de l’addition vaudrait 621 et ne compte que 3 chiffres.

• a=1 et b=5 implique 860 = 100c + 20 impossible ;

• a=5 et b=1 implique 620 = 100c + 20, d’où c=6 ; la solution est admissible.

• a=9 et b=7 implique 6870 = 100c + 20 impossible.

Le premier calcul admet donc deux solutions :

2 0 3 5 6 9

x 2 0 7 x 1 0 9

1 4 2 1 5 1 2 1

+ 4 0 6 + 5 6 9

4 2 0 2 1 6 2 0 2 1

2^e multiplication

Cherchons d’abord quels résultats sont plausibles en fonction de la décomposition en facteurs premiers des nombres compris entre 20210 et 20219 :

• 20210 = 2 * 5 * 43 * 47 n’est pas le produit de 2 facteurs > 100 ;

• 20211 = 3 * 6737 n’est pas le produit de 2 facteurs > 100 ;

• 20212 = 2² * 31 * 163 peut s’écrire 124 * 163, en ne retenant que des facteurs > 100 ;

• 20213 = 17 * 29 * 41 n’est pas le produit de 2 facteurs > 100 ;

• 20214 = 2 * 3² * 1123 n’est pas le produit de 2 facteurs > 100 ;

• 20215 = 5 *13 * 311 n’est pas le produit de 2 facteurs > 100 ;

• 20216 = 2³ * 7 * 19² peut s’écrire 133 * 152, en ne retenant que des facteurs > 100 ;

• 20219 est premier.

Le 2^e calcul admet donc 4 solutions :

1 2 4 1 6 3 1 3 3 1 5 2

x 1 6 3 x 1 2 4 x 1 5 2 x 1 3 3

3 7 2 6 5 2 2 6 6 4 5 6

+ 7 4 4 3 2 6 6 6 5 4 5 6

+ 1 2 4 + 1 6 3 1 3 3 1 5 2

2 0 2 1 2 2 0 2 1 2 2 0 2 1 6 2 0 2 1 6