16-L'expansion de l'univers

(1)

Version 2021 16 –L’expansion de l’univers 1

1.

Comme une distance de 300 Mal correspond à 91,97 Mpc, la vitesse de la galaxie est

67, 4 / 91,97 6202

km s Mpc km

s

v HD

Mal

=

= ⋅

=

2.

On trouve le taux avec les facteurs de conversion

3 1

1^{km s}_Mpc/ =1,02273 10× ⁻ Ga⁻ On a donc

3 1

/

3 1

1

500 500 1,02273 10 500 1,02273 10 0,511

km s

Mpc Ga

Ga Ga

− −

−

= ⋅ ×

=

3.

_{On a}

0

/ 5

67, 4 0,00436

3 10 19, 4

km s Mpc km

s

z H D c

D

D Mpc

=

= ⋅

×

=

4.

À cette distance, le décalage est

0

/ 5

67, 4 600 3 10 3, 262 0,0413

km s Mpc

km al

s pc

z H D c

Mal

=

= ⋅

×

=

(2)

Version 2021 17 –L’expansion de l’univers 2 La longueur d’onde est donc

1,0413

656,11 683, 2

nm nm δ λ

λ λ λ

= ′

′ =

5.

Le décalage est

3136, 2 656,1 4,78

nm nm δ λ

λ

= ′

=

= Le facteur d’échelle était donc de

1 1 4,78 0, 2092 a⁼δ

=

6.

La densité était de

( )

3 0

3 ³

³

1

1 5,10 0, 6

23, 6

p

m m

ρ = a ρ

= ⋅

=

7.

_{On a}

(3)

( )

2 0 0

20 1 2

11 ²

² 26

³

3 8

3 100 3, 2409 10 8 6,674 10 1,879 10

11, 23 ^p

c

Nm kg kg

m m m

H G

s

ρ π

π

− −

−

=

⋅ ⋅ ×

= ⋅ ×

= ×

=

8.

_{On a}

2 3

9,67 2 9,67 27,35 a t

Ga t

Ga

t Ga

 

= 

 

 

= 

 

=

Comme nous sommes actuellement à t = 9,67 Ga, cela se produira dans 27,35 Ga – 9,67 Ga = 17,68 Ga

9.

Le facteur d’échelle sera de

2 3

9,67 10,67

9,67 1,068 a t

Ga Ga Ga

 

= 

 

 

= 

 

=

10.

À ce moment, le facteur d’échelle était de

(4)

2 3

9,67 2 9,67 0,350 a t

Ga Ga

Ga

 

= 

 

 

= 

 

= Ce qui veut dire que la densité était de

( )

3 0

3 ³

³

1

1 5,10

0,350 119, 2

p

m m

ρ =a ρ

= ⋅

=

11.

_{On a}

3 1

2 3 30 1,02273 10 2

3 21,73

H t

Ga t

t Ga

− −

=

⋅ × =

=

12.

_{On a}

1

2 3

2 3 10,67 0,06248

H t

Ga Ga⁻

=

= ⋅

= En km/s/Mpc, cela donne

(5)

/

1 /

3 1

0,06248 1 61,1

1,02273 10

km s

Mpc km s

H Ga Mpc

Ga

−

− −

= ⋅ =

×

13.

a) Cette lumière est partie quand le facteur d’échelle était de 1

1 4,78 0, 2092 a⁼δ

=

Trouvons maintenant l’âge de l’univers quand on avait ce facteur d’échelle

2 3

9,67 0, 2092

9,67 0,93 a t

Ga t

Ga

t Ga

 

= 

 

 

= 

 

=

La lumière est donc partie quand l’univers avait un âge de 0,93 Ga et elle arrive maintenant, quand l’univers a un âge de 9,67 Ga. Elle voyage donc depuis 8,74 Ga.

b) La distance est

( )

29, 01 1

29, 01 1 0, 2092 15,74

d Gal ae

Gal Gal

= ⋅ −

=

c) Au moment de l’émission, le quasar était 4,78 fois plus près. Il était donc à 3,29 Gal.

d) Trouvons le facteur d’échelle lors de la réception de la lumière

( )

15,74 29,01 1

2,38

r

Gal Gal a

a

= ⋅ −

=

(6)

Version 2021 17 –L’expansion de l’univers 6 L’âge de l’univers à ce moment sera de

2 3

9,67 2,38 9,61

35,50 a t

Ga t

Ga

t Ga

 

= 

 

 

= 

 

=

e) Comme le facteur d’échelle sera de 2,38, le quasar sera 2,38 fois plus loin qu’aujourd’hui. Il sera donc à 37,5 Gal de nous.

f) Le facteur d’échelle à l’émission est

2 3

9,67 5 9,67 0,6442

e

a t

Ga Ga

Ga

 

= 

 

 

= 

 

=

On trouve ensuite le facteur d’échelle à la réception,

( )

28,83

15,74 29,01 0,6442

1,81

r e

r

d Gal a a

Gal Gal a

a

= ⋅ −

=

De là, on trouve l’âge de l’univers à la réception

(7)

2 3

9,67 1,81 9,67

23,54 a t

Ga t

Ga

t Ga

 

= 

 

 

= 

 

=

14.

_{a) On a}

( )

2/3 1/3

2/3 1/3 2/3 1/3

3

45 3 9,67

15 9,67

36,09

A r

r

r r

d ct t

Gal c Ga t

Ga Ga t

t Ga

=

= ⋅ ⋅

= ⋅

=

b) À ce moment, le facteur d’échelle sera de

2 3

9,61 36,09

9,67 2, 406 a t

Ga Ga Ga

 

= 

 

 

= 

 

=

La galaxie sera donc 2,406 fois plus loin qu’en ce moment. Elle sera donc à 2,406 ⸱ 45 Gal = 108,3 Gal.

15.

a) Avec un univers plat, on arrive à

(8)

Version 2021 17 –L’expansion de l’univers 8 8 2

0 3 ^r

G H

π ρ

= −

On remarque premièrement que cet univers doit avoir une densité très précise qui dépend du taux d’expansion de Hubble. Cette densité est égale à la densité critique puisqu’on doit avoir

2

0 0

2 0 0

8 3

3 8

r

G H

H G π ρ

ρ π

=

= Ensuite, puisque

2

0 0

4 0

1 3

et et 8

r

r r

H H da

a dt a G

ρ ρ ρ

= = = π

l’équation devient

2

2 0

4 2 2 0

4 2 2 0 4

0 8 3

8 1

0 3

3

8 1 1

0 3 8

0 1

r

G H

G da

a a dt H

G da

G a a dt

H da

a a dt π ρ

ρ π π

π

= −

 

= − 

 

 

= − 

 

 

= − 

 

On peut ensuite trouver le facteur d’échelle en fonction du temps en faisant la solution de cette équation

2 2

0 4

0 2

0

1 1

H da

a dt a H da a dt a

ada H dt

 

  =

 

=

= Cette équation est assez facile à résoudre.

(9)

0 0 2

0

1 2

ada H dt ada H dt a H t Cst

=

= +

 

Si on prend que t = 0 à la naissance de l’univers (a = 0), cela veut dire que la constante d’intégration est nulle.

En isolant a on arrive à

2 0

a= H t b) Avec la valeur de H₀, on arrive à

2 1

2 6,89 10

a= ⋅ × ⁻ Ga⁻ ⋅t Si le facteur d’échelle est 1, alors l’âge est

2 1

1 2 6,89 10 1 2 6,89 10

1 2 6,89 10

7, 26

A A

A

Ga t Ga t

t Ga

− −

= ⋅ × ⋅

= ⋅ ×

=

16.

La valeur est

0 max

0 1

1,2 1,2 1 6

m m

a Ω

=Ω −

= −

=

17.

Le facteur d’échelle sera

(10)

2 3

0,678 sinh

11,69 14,80 0,678 sinh

11,69 1,070

a t

Ga Ga Ga

  

= ⋅  

 

  

= ⋅  

 

=

18.

_{On a}

2 3

0,678 sinh

11,69 2 0,678 sinh

11,69 24,96 a t

Ga t

Ga

t Ga

  

= ⋅  

 

  

= ⋅  

 

=

19.

Le facteur d’échelle à ce moment était de

2 3

0,678 sinh

11,69 0,678 sinh 2

11,69 0, 2386

a t

Ga Ga

Ga

  

= ⋅  

 

  

= ⋅  

 

= On a donc

( ) ( )

3 0

³ 3

³

1

1 0,315 5,10

0, 2386 118

p

m m

ρ = a ρ

= ⋅ ⋅

=

(11)

20.

La densité du vide est de

³

0, 685 5,10 3, 49

p

p m

v m

m m

ρ = ⋅

=

On doit donc avoir la même densité de matière. On doit donc avoir

( )

3 0

³ 3 ³

1

3, 49 1 0,315 5,10 0, 772

p p

m m

a a a

ρ = ρ

= ⋅ ⋅

=

L’âge de l’univers à ce facteur d’échelle est donné par

2 3

0,678 sinh

11,69 0,772 0,678 sinh

11,69 10,30

a t

Ga t

Ga

t Ga

  

= ⋅  

 

  

= ⋅  

 

= (Voici une meilleure version :

La densité du vide est

0 0

v v c

ρ = Ω ρ

On doit donc avoir la même densité de matière. On doit donc avoir

3 0

0 0 3 0 0

3 0 0

1 1

m m

v c m c

m v

a a a

ρ ρ

=

Ω = Ω

= Ω Ω

L’âge de l’univers à ce facteur d’échelle est donné par

(12)

2 3

0 0

2 3

0 0

3

0 0

1

0 0

1

sinh 3

2 sinh 3

2 1 sinh 3

2 2 sinh 1 3

11,69 sinh 1 10,30

m v v

m m v

v v

m m v

v v

v

a H t

H t

t H

t Ga

−

 Ω  Ω 

 

= Ω  

  Ω 

ΩΩ = ΩΩ  

 Ω 

Ω Ω

=  

Ω Ω  

 Ω 

=  

 

= Ω

= ⋅

=

C’est un peu plus long, mais ça évite les approximations.)

21.

Le taux sera de

( )

/

11,69 /

14,80 11,69 /

55,8 1

tanh 55,8 1

tanh 65, 4

km s

Mpc t

Ga km s

Mpc Ga

Ga km s

Mpc

H = ⋅

= ⋅

=

22.

L’âge de l’univers est donné par la formule

2 3

0 0

1 sinh 3

2 1 sinh 3

2

m v

A v

m v

A v

H t

 Ω  Ω 

 

= Ω  

 Ω 

= ΩΩ  

Puisque Ωm0 + Ωv0 = 1, on a

(13)

0 0

1 3

1 sinh

2

v v

A v

H t

 Ω 

= − Ω  

 

Ω  

Avec H₀ = 0,0689 Ga^-1 et tA = 20 Ga, on a

( )

0

0 0

1 1 ^v sinh 2,067 _v

v

= − Ω Ω

Ω

Selon Maple ou Wolfram, la solution de cette équation est Ωv0 = 0,928.

N.B. Sur Maple, la commande est

Sur le site Wolfram, la commande est

solve 1=sqrt((1-x)/x)*sinh(2.067*sqrt(x))

23.

La lumière a été émise quand le facteur d’échelle était de 1

1 1 8,085 0,1237 a= z

+

=

= L’âge de l’univers à l’émission est donc de

2

0,1237 0,678 sinh 3

11,69 0,749

t Ga

  

= ⋅  

 

= Alors, Wolfram nous donne 28,85 Gal.