Devoir maison n˚4

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Devoir maison n˚4

Pour le lundi 13 d´ecembre.

Exercice 1

On fixe n∈N^≥2 et on note B= (1, X, . . . , Xⁿ) la base canonique de Rn[X].

Soit a∈R. Pour tout k∈J0, nK, on pose :

P_a,k = (X+a)^k.

On a en particulier, pour tout a ∈ R, Pa,0 = 1. On d´efinit la famille Ba de vecteurs de Rⁿ[X]

par :

B_a = (P_a,0, P_a,1, . . . , P_a,n).

Soit f l’application d´efinie par :

f: Rⁿ[X]→Rⁿ[X], P 7→P⁰. On fixe a∈R dans la suite.

1. Montrer queB_a est une base de Rn[X].

2. D´emontrer que f est lin´eaire.

3. L’application f est-elle injective ? surjective ? bijective ? 4. Calculer la matriceA de f dans la base B.

5. Calculer la matriceAa def dans la base Ba. Que remarque-t-on ? 6. Calculer la matriceM = Mat(Id_Rn[X],B_a,B).

7. Justifier queM est inversible, sans effectuer de calcul.

8. Justifier l’´egalit´e :

Mat(Id_Rn[X],B,B_a) = Mat(Id_Rn[X],B−a,B).

9. En d´eduire la matrice M⁻¹.

10. ´Etablir, sans effectuer de calcul que :

A_a=M⁻¹AM.

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Exercice 2

Pour tout n∈N, on pose : I_n=

Z 1

0

tⁿ

1 +tⁿ e^−tdt et J_n= Z 1

0

(1−t)e^−t ln(1 +tⁿ)dt.

1. Montrer que :

∀x∈R⁺ ln(1 +x)≤x.

2. En d´eduire que la suite (J_n)n∈N converge vers 0.

3. ´Etablir que pour tout n∈N^∗, on a :

I_n = ln(2) e n − 1

nJ_n.

4. D´eduire de ce qui pr´ec`ede le comportement asymptotique de la suite (I_n)_n∈N.

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