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Devoir Maison 4

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Academic year: 2022

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TS Devoir Maison 4 2011-2012

EXERCICE 1 :

On considère la fonction f définie sur R par

f (x) = x e

x

− x .

On note ( C ) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal (O; − → i ; − →

j ), l’unité graphique est 2 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des ordonnées.

Partie A

Soit g la fonction définie sur R par g(x) = e

x

− x − 1.

1. Étudier les variations de la fonction g sur R. En déduire le signe de g.

2. Justifier que pour tout x, (e

x

− x) est strictement positif.

Partie B

1. (a) Calculer les limites de la fonction f en + ∞ et en −∞ . (b) Interpréter graphiquement tes résultats précédents.

2. (a) Calculer f

′

(x), f

′

désignant la fonction dérivée de f .

(b) Étudier le sens de variations de f puis dresser son tableau de variations.

3. (a) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe ( C ) au point d’abscisse 0.

(b) À l’aide de la partie A, étudier la position de la courbe ( C ) par rapport à la droite (T).

4. Tracer la droite (T) les asymptotes et la courbe ( C ).

EXERCICE 2 :

Questions indépendantes sur les nombres complexes :

1. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de 2 − i

1 + i + 1 + i 2 − i . 2. Soit z un nombre complexe différent de − 3, on pose :

Z = 2 − z 3 + z

Déterminer les valeurs de z tel que Z soit réel. Quel est l’ensemble des points M du plan complexe correspon- dants ?

3. On pose pour tout nombre complexe z :

P(z) = z

3

− (4 − i)z

2

+ 2(13 + 2i)z − 23 − 5i Donner la forme algébrique de P (1), P (i), P ( − i), et P(2 − i)

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