Devoir maison 4

Quentin De Muynck T^leS3 Spé Maths 08/11/2018

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Exercice 41 page 36 : Le distributeur de billets

Un distributeur de billets délivre des billets de 10 AC, 20AC et 50AC. On peut programmer ce distributeur pour qu'il délivre le moins de billets possibles.

1. Un utilisateur veut retirer 730AC. Quels billets le distributeur devra-t-il délivrer ? 730 = 14×50 + 30 | 30 = 20×1 + 10

Le distributeur devra délivrer 14 billets de 50 AC, 1 billet de 20AC et 1 billet de 10AC.

2. Écrire en langage naturel un algorithme qui demande la somme S en euros que l'utilisateur veut retirer, S tant un multiple de 10 et et indique le nombre de billets de chaque type à délivrer par le distribu- teur.

Entrée S multiple de 10, S≥0 cprend la valeur

S 50

v prend la valeur

S−50c 20

dprend la valeur

S−50c−20v 10

Sorties Acher c,v,d

3. Le programmer sur une calculatrice ou un logiciel de votre choix.

c = 0 v = 0 d = 0

argent = −1

while argent % 10 != 0 :

argent = input(' S a i s i r l a somme demandee : ') try:

argent = i n t( argent ) except ValueError :

p r i n t( ' Vous n\ ' avez pas s a i s i de nombre . ') argent = −1

c = argent //50

v = ( argent−50*c )//20 d = ( argent−50*c−20*v )//10

p r i n t( ' Vous avez demande l a somme de ', argent , ' EUR, l e d i s t r i b u t e u r vous don nera a i n s i ', c , ' b i l l e t . s de 50 EUR, ' , v , ' b i l l e t . s de 20 EUR, a i n s i que ',d , '

b i l l e t . s de 10 EUR')

Exercices 53, 54 et 55 page 37/38 : Le chire des unités

1. Justier que le chire des unités d'un entiern est le reste dans la division denpar10.

Tout entiern deZ peut s'écrire de la formen=

k

X

i=0

ai10ⁱ où (ai)i∈J1;kK est une famille de chires nie.

n=

k

X

i=0

ai10ⁱ = 10

k

X

i=1

ai10ⁱ⁻¹

!

+a0≡a0 [10]

2. On multiplie quatre entiers consécutifs. À l'aide d'un tableur, émettre une conjecture sur le chire des unités du produit. La démontrer.

À l'aide d'un tableur, on conjecture que le chire des unités est soit 0, soit 4. Soitk≡a[10], k∈Z, a∈J0; 9K.

k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)≡a(a+ 1)(a+ 2)(a+ 3) [10]

1

Quentin De Muynck T^leS3 Spé Maths 08/11/2018

a a+ 1 a+ 2 a+ 3 a(a+ 1)(a+ 2)(a+ 3) [10]

0 1 2 3 0

1 2 3 4 4

2 3 4 5 0

3 4 5 6 0

4 5 6 7 0

5 6 7 8 0

6 7 8 9 4

7 8 9 10 0

8 9 10 11 0

9 10 11 12 0

La conjecture est ainsi démontrée.

3. Étudier à la calculatrice le chire des unités des premières puissances de 3. Quelle conjecture peut-on faire ? La démontrer.

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8

3^k 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561

On remarque que le chire des unités semble suivre un cycle de période 4. On le démontre : 3⁴≡81≡1 [10]⇒ ∀k∈Z, 3^4k≡1^k≡1 [10]

Il s'en suit : 3^4k+1 ≡3 [10], 3^4k+2≡9 [10], 3^4k+3 ≡27≡7 [10]. 4. Quel est le chire des unités de2013²⁰¹³?

2013 = 2000 + 13 = 500×4 + 4×3 + 1 = 4×503 + 1

2013≡3 [10]⇒2013²⁰¹³ ≡3²⁰¹³ ≡3^4×503+1≡3 [10]

5. Calculer les 10 premières puissances de 2. Combien se terminent par 2 ?

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2^k 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 Trois puissances se terminent par 2 :2¹,2⁵ et2⁹. 6. Déterminer toutes les puissances de 2 dont le chire des unités est 2.

On conjecture ∀k∈N^∗,2^4k≡6 [10]. On le démontre par récurrence.

Soit Pn: “2⁴ⁿ≡6 [10]”.

n= 1 : 2⁴ = 16≡6 [10] P1 est vraie.

2⁴ⁿ≡6 [10] par hypothèse de réucrrence 2⁴ⁿ×2⁴≡6×2⁴[10]

2⁴ⁿ⁺⁴≡96 [10]

2⁴⁽ⁿ⁺¹⁾≡6 [10]

P1 est vraie, Pn est héréditaire, d'après le principe de récurrence, Pn est vraie pour tout entier naturel non-nul.

On en déduit ainsi : ∀k∈N^∗,

2^4k+1 ≡12≡2 [10]

2^4k+2 ≡24≡4 [10]

2^4k+3 ≡48≡8 [10]

avec 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³= 8.

Les puissances de 2 se terminant par 2 sont les puissances de la forme : ∀k∈N,2^4k+1. 2