Devoir à la maison n

Terminale générale – mathématiques expertes septembre 2020

Devoir à la maison n

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À rendre le lundi 5 octobre 2020

Exercice 1. Dans cet exercice, on considère des entiers écrits en base 7. Par exemple, l’écriture décimale du nombre 5614⁽⁷⁾ est 5×7³+ 6×7²+ 1×7¹+ 4×7⁰ = 2020.

1. Écrire le nombreN₁ = 12345⁽⁷⁾ en base 10.

2. Écrire le nombreN₂ = 27252 en base 7.

3. a. Soit n ∈N. Déterminer, en fonction de n, le reste de 7ⁿ modulo 12.

b. Soit un entier N = a_kak−1· · ·a₁a₀⁽⁷⁾. Montrer que N ≡

k

X

j=0

t_ja_j [12] où t_j = 1 sij est pair et t_j = 7 sij est impair.

c. En utilisant l’écriture en base 7, étudier la divisibilité par 12 de N₁ et N₂.

Exercice 2.

1. On considère l’équation (E) :x³−6x² = 2021 d’inconnue x∈Z. a. Déterminer les diviseurs d de 2021 tels que |d|6√

2021.

b. Supposons que x ∈ Z soit une solution de (E). Montrer que x² est un diviseur de 2021.

c. Déduire des deux questions précédentes les valeurs possibles de x.

d. Déterminer l’ensemble des solutions de (E).

2. On considère l’équation (F) :x³−6y² = 2021 d’inconnue (x;y)∈Z².

a. Soit n∈Z. À l’aide de tableaux de congruences, déterminer les restes possibles pour n³ puis pour 6n² modulo 9.

b. Soit (x;y)∈Z². Déterminer les restes possibles de x³−6y² modulo 9.

c. Déterminer l’ensemble des solutions de (F).

3. (facultatif) Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation (G) : x³ −6y² = 2020 d’inconnue (x;y)∈Z².