Devoir à la maison
(objectif brevet et seconde GT)
Voici un programme de calcul :
Choisis un nombre Multiplie le par 3
Retranche 5
Multiplie ton résultat par lui-même
1) Calcule combien on obtient :
a) en prenant 3 comme nombre de départ
On prend . On le multiplie par , soit . On retranche , donc . On multiplie par lui-même, soit
b) en prenant -1 comme nombre de départ
On prend . On le multiplie par , soit . On retranche , donc . On multiplie par lui- même, soit
c) en prenant comme nombre de départ
On prend . On le multiplie par , soit . On retranche , donc . On multiplie par lui- même, soit
2) Soit f la fonction qui correspond à ce programme de calcul.
a) Écris le programme de calcul en fonction : Il faut reprendre le programme de calcul, mais avec x… Donc Choisis un nombre →
Multiplie le par 3 → Retranche 5 →
Multiplie ton résultat par lui-même →
Et donc la fonction transforme en . La fonction peut donc s'écrire ou b) Calcule l'image de 2 par cette fonction
Il suffit de ré-appliquer le programme comme on l'a fait dans les questions avant. On prend . On le multiplie par , donc on obtient . On retranche ensuite , on obtient . On multiplie par lui-même, on obtient . L'image de est .
On pouvait aussi utiliser la forme de calcul qu'on a trouvé juste avant : Calculer pour .
c) A partir de la représentation graphique, détermine l'image de 4 (tu feras apparaître les traits de lecture en pointillés). L'image de 4 est environ 50.
cd) A partir de la représentation graphique ci-contre, détermine les antécédents de 30 (tu feras apparaître les traits de lecture en pointillés). Il y en a deux : environ -0,2 et 3,5. et
e) Pour quel antécédent l'image par cette fonction semble nulle ? Calcule précisément cet antécédent.
L'image semble nulle lorsqu'on prend environ 1,6 (c'est le moment où la courbe touche l'axe des abscisses).
Pour le calculer, certains ont essayé de revenir en arrière dans le calcul. On sait qu’on doit trouver 0. ça veut dire que le nombre multiplier par lui-même était 0. Donc j’ajoute 5 (ce qui fait 0+5=5) et ensuite je divise par 3, soit 3/5.
Mais il est tout de même mieux de le présenter de manière plus mathématique, en écrivant une équation.
Pour le calculer, je peux prendre comme nombre de départ. Lorsque le multiplie par , j'obtiens . Ensuite je retranche , donc . Je le multiplie par lui-même, donc .
On cherche pour que l'image soit , donc
ou Donc Donc Et finalement
f) Retrouve les antécédents de 30 par le calcul. Tu donneras leur valeur exacte Je reprends mon expression en fonction de , mais cette fois, il faut qu'elle soit égale à .
.
On peut ici le voir de deux façons différentes : soit comme une équation du type (et donc deux solutions : et ), ce qui donne ici soit ou bien
Donc ou bien
Et finalement ou bien
Ou alors c’est encore mieux, on factorise en utilisant une identité remarquable
En effet, , donc donc
C’est une équation produit nul, qui a donc deux solutions : soit ou bien
Donc ou bien
Donc ou bien
Et finalement ou bien
