Pr´eparation `a l’agr´egation externe Universit´e de Grenoble
Option calcul scientifique 2009/2010
EDO : ´ etude locale
Vari´et´es stables et instables
On consid`ere le point d’´equilibre e= (1,2) de l’´equation diff´erentielle
½ x0(t) = x(t)(y(t)−x(t))−1
y0(t) =x(t)y(t)−2 (1)
Etudier la stabilit´e deeet ses directions stables et instables. Tracer avec un programme Scilab les vari´et´es stables et instables de e.
Section de Poincar´e
On consid`ere l’´equation diff´erentielle suivante
x0(t) =y(t)
y0(t) =−(x2(t)−1)y(t)−x(t) z0(t) = 101(z(t) +y2(t))
(2)
Elle admet une solution p´eriodique passant approximativement par le point (0,−2.17266,−2.1555).
On consid`ere la section de Poincar´e par le plan x= 0.
1) Quelle est la p´eriode de l’orbite p´eriodique ?
2) Calculer la diff´erentielle de l’application de Poincar´e.
3) En d´eduire la stabilit´e de l’orbite p´eriodique et la v´erifier graphiquement.
4) Montrer que si l’on perturbe l´eg`erement l’´equation diff´erentielle (2), il existera toujours une orbite p´eriodique proche de l’orbite initiale.
5) Retrouver la construction de l’orbite p´eriodique ´etudi´ee ici `a partir de celle de l’oscillateur de Van der Pol.
