E612 – Les pèlerins du monastère
Solution
Soit N le nombre de pèlerins annoncé par le Père Abbé à ses commensaux. D’après les règles fixées par ce dernier on peut déterminer les valeur minimale et maximale de N.
Le minimum est de 26 soit 2 fois 11 sur les façades Nord et Sud et 4 fois 1 dans les quatre chambres qui ont une seule exposition à l’Ouest et à l’Est. Le maximum est de 34 c’est à dire 2*11 + 4*3 car 3 est le maximum de personnes par chambre.
Par ailleurs, N est un multiple de 3 car le nombre d’hôtes au premier étage étant le double de celui du rez-de-chaussée, N est le triple du nombre d’hôtes du rez-de-chaussée. Les valeurs possibles de N sont donc N=27,30 et 33.
Comme il y a au final trois pèlerins de moins que prévu, N = 27 est à exclure.
Démontrons que N = 33 est impossible. Si c’était le cas, on aurait la configuration suivante :
Au total il y aurait 33 pèlerins dont 11 au rez-de-chaussée et 22 au premier étage. Comme a+b+c = d+e+f =11, on en déduit qu’il y aurait 11 pèlerins logés dans les 4 chambres repérées en bleu clair, soit 6 par exemple côté Ouest et 5 côté Est avec respectivement 3+2 au rez-de- chaussée et 3+3 au premier étage. Dès lors, il y aurait un pèlerin par chambre dans les six autres chambres du rez-de-chaussée et a-1, b-1, c-1, d-1, e-1, f-1 dans les six autres chambres du premier étage avec les conditions suivantes :
a+d+6 = 11 a+d = 5, c+f+5 = 11c+f=6, 1 < a, b, c, d, e, f < 5.
Les valeurs possibles du couple (a,d) seraient (3,2) et (2,3). Si (a,d)=(3,2), alors e+f=9
maximum(e,f)=5 ce qui est impossible. Si (a,d)=(2,3), alors e+f=8e=f=4 c=2 et b=6 , ce qui est impossible.
11 11
2*1 2*1 2*3 2*3
11 11
minimum = 2*11+4*1 = 26 maximum = 2*11 + 4*3 = 34
a b c 1 1 1 a-1 b-1 c-1
6 5 = 3 2 + 3 3
d e f 1 1 1 d-1 e-1 f-1
annexe rez-de-chaussée 1er étage
Le nombre de pèlerins annoncé par le Père Abbé est donc de 30 et le nombre effectif de pèlerins arrivés au monastère est de 27.
Voici deux plans d’installation possibles des pèlerin :s Avant défection des trois pèlerins
Après défection des trois pèlerins
3 4 4 1 1 2 2 3 2
4 4 = 1 1 + 3 3
4 4 3 2 1 1 2 3 2
annexe rez-de-chaussée 1er étage
5 2 4 2 1 1 3 1 3
2 3 = 1 1 + 1 2
4 3 4 1 1 1 3 2 3
annexe rez-de-chaussée 1er étage
