EExxeerrcciiccee 11..33 EExxeerrcciiccee 11..22 EExxeerrcciiccee 11..11 CC IIIIII..

(1)

II I I I. I . C C

ORORRRIIGGEE DDEESS EEXXEERRCICICCEES S SSUUPPPPLLEEMMEENNTTAAIIRRESES DDEE PHPHEENNOOMMEENNEESS DDEE TRTRANANSSFFEERRTT

Ex E xe er rc ci ic c e e 1 1. .1 1

Plaque de dimensions 150 x 150 x 12 mm Il y a, en 2h (7200sec), 8.4 10⁴ Joules qui passe

Les 2 faces sont à température constante de 290 et 300K On cherche la conductivité thermique k

( ) [ ]

( ) ( )( )

4

1 2

2

1 2

8.4 10 7200 sec 11.6 11.6 0.012

0.62 300 290 0.15

T T S J J

P q S W et P W

e s

k

P e W

k T T S m K

− ⎡ ⎤ ⋅

= ⋅ = ⎢⎣ = ⎥⎦ = =

⋅ ⋅ ⎡ ⎤

⇒ = − ⋅ = − = ⎢⎣ ⋅ ⎥⎦

Ex E xe er rc ci ic c e e 1 1. .2 2

On a q = 12.6 10³ [W/m²] et k₁ = 52 [W/m K]

On cherche k2

C'est un cas stationnaire, la densité de flux est donc constante:

( )

1 3

1 2

2 1

2

1 2 1 1

12600

0.3 12600 52

38.24 220 52 0.5 12600

T T

q cste

e e k k

e q k W

k T T k e q mK

= − = =

+

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎡ ⎤

⇒ = − − = ⋅ − ⋅ = ⎢⎣ ⎥⎦

Ex E xe er rc ci ic c e e 1 1. .3 3

On cherche la conductivité thermique du gaz à 800K en connaissant celle à 400K.

En utilisant l'équation 7.20:

2

( ) 1

( ) 0.176

On peut déterminer la constante: 0.0088 400

(800) 0.0088 800 0.2489 0.249

B A

k T k N T cste T

d M

cste k T T k

= π = ⋅

= = =

= ⋅ = ≅

On a utilisé, pour la température, des Kelvin!

290K 300K P

12mm

I II

0.5m 0.3m T1= 530K

T3= 310K T₂

(2)

Ex E xe er rc ci ic c e e 1 1. .4 4

Même exercice que précédemment mais a l'aide de la formule suivante:

7

400 2

7

800 2

3

15 : 243 10

4

382 10 4.0026 10

:

K

R N s

k avec les valeurs suivantes

M m

N s m et M Kg

mole avec ces valeurs on trouve

η η

η

−

⎡ ⋅ ⎤

= = ⋅ ⎢⎣ ⎥⎦

⎡ ⋅ ⎤

= ⋅ ⎢⎣ ⎥⎦

⎡ ⎤

= ⋅ ⎢⎣ ⎥⎦

400

800

0.189 0.2976

K

k W

m K et k W

m K

⎡ ⎤

= ⎢⎣ ⋅ ⎥⎦

⎡ ⎤

= ⎢⎣ ⋅ ⎥⎦

On trouve une réponse du même ordre de grandeur mais il y a tout de même ~16% d'écart.

Ex E xe er rc ci ic c e e 1 1. .5 5

a) On cherche kgaz avec la composition suivante: 40% He, 40% H2, 20% N2 à 1000K Avec l'équation 7.22:

Avec

2 2

1000 3

354 10 4

64.7 10 28

448 10 2

He He

N N

H H

k et M

−

= ⋅ =

1/ 3 1 1 1

3 3 3

1 1 1

1/ 3 3 3 3

0.4 0.354 4 0.4 0.448 2 0.2 0.0647 28

0.28 0.4 4 0.4 2 0.2 28

i i i i

composée

i i i

x k M

k x M

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= = =

⋅ + ⋅ + ⋅

∑

b)

1 1 1

3 3 3

1 1 1

3 3 3

0.4 0.354 4 0.45 0.448 2 0.15 0.0647 28

0.307 0.4 4 0.45 2 0.15 28

soit un peu près 10% de variation.

composée

k = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅

Ex E xe er rc ci ic c e e 1 1. .6 6

La magnésie est un isolant (non métallique). La variation de sa conductivité thermique

(3)

Ex E xe er rc ci ic c e e 1 1. .7 7

A l'aide de l'équation 7.33: avec le rapport de masse et de volume 4 3

A A

B B

m V

m = ⋅V

3

1 / 4 1 13 / 7

1 2 1 2

2 / 1 3 2(13 / 7) 1

13 4 1 13 / 7

1 /

1 1

3 13 / 7 1

/ 1

13 8.66 10 2

11 13 4.33 10 3

10

c d B

d

c d A

comp c

c d B d

c d A

B

k k m

V k k

k k

k k m V k k

m m

ρ ρ

−

⎡ + ⎛ − ⎞⎤ ⎡ + ⋅ ⋅ ⋅⎛ − ⎞⎤

⎢ ⎜⎝ + ⎟⎠⎥ ⎢ ⎜⎝ + ⎟⎠⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢⎢⎢⎣ − ⎛⎜⎝ − + ⎞⎟⎠ ⎥⎥⎥⎦= ⎢⎢⎣ − ⋅ ⋅⎛⎜⎝ − + ⎞⎟⎠ ⎥⎥⎦=

⎛− ⎞ + ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⎜⎛⎝− ⎞

3 3

13 1.575 10 13 1.3 10

B B

m m

−

− ⋅ ⋅

= + ⋅ ⋅

⎟⎠

Ex E xe er rc ci ic c e e 1 1. .8 8

On a P = 290W et Tc = cste p(chauffage) = p1 + p2

1 2

1 1 2 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1

1 1

1

1 2

2

:

3560 0.660 0.660 290 191.5 [ ] 35 9

60 30 0.34 290 98.5 [

c c

T T T T

p S k S k

e e

mais comme S S et T T T T T k k

on a p S T

e e

en utilisant les rapports on peut écrire k

p e

p W

p k k

e e

et p W

− −

= ⋅ + ⋅

= − = − = ∆

⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟⋅ ∆

⎝ ⎠

= = = ⇒ = ⋅ =

⎛ + ⎞ +

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= ⋅ = ]

on peut calculer les densités de flux:

2 2

1 2

1 p 1915 [ / ] 2 p 985 [ / ]

q W m et q W m

S S

= = = =

b) On cherche maintenant la température du chauffage:

avec

(

1

)

1 1

1

1915 303.28

c

T T

q k On sort T K

e

= − = ⇒ =

chauffage

0.1 m²

e1 e2

q1 q2

300K 300K

x e₂0 e₁

T

T2 T1

T_c

T1 = T2 = 300K

(4)

Ex E xe er rc ci ic c e e 2 2. .1 1

a) à l'aide de l'équation 8.46:

( )

2 3

2

Pr

1 290 390 340 2

' ' 8.43 :

n n

f

Nu a Gr a Ra

avec T

à l aide de l équation Gr ρ β θ g D µ

= ⋅ ⋅ = ⋅

= + =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

( ) ( )

( )

3

7 3

2 3

1 2

2 3

8 7

' ( 350 ) : 30 10 ,

1 1

208.2 10 , 1.1614 , 2.94 10

340

Pr 0.700 et 100

1.1614 1 100 9.81 0.24

340 1.24 10

208.2 10 Pr 1.24 1

dans les tables on trouve pour l air K k W

mK

Ns kg

m m T

T T Gr

Gr

µ ρ β

θ

−

− −

−

⎡ ⎤

= ⋅ ⎢⎣ ⎥⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ ⎢⎣ ⎥⎦ = ⎢⎣ ⎥⎦ = = = ⋅

= = − =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = ⋅

⋅

⋅ = ⋅

∼

( )

8 7

7 13

3

2

0 0.700 8.688 10

: 2 10 10

0.135 8.688 10 59.79 30 10

59.79 7.47

0.24

x

x x

on prend les valeurs de a et de n dans le tableau ici entre et

Nu

k W

h Nu

x m K

−

⋅ = ⋅

⋅

= ⋅ ⋅ =

⋅ ⎡ ⎤

= ⋅ = ⋅ = ⎢⎣ ⎥⎦

b)

( ) ( )

( )

3

7 3

2 3

1 2

2 3

6 7

' ( 350 ) : 170 10 ,

1 1

221 10 , 0.1625 , 2.94 10

340

Pr 0.680 et 100

0.1625 1 100 9.81 0.24

340 2.156 10

221 10 Pr 2.156

dans les tables on trouve pour l hélium K k W

mK

Ns kg

m m T

T T Gr

Gr

µ ρ β

θ

−

− −

−

⎡ ⎤

= ⋅ ⎢⎣ ⎥⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ ⎢⎣ ⎥⎦ = ⎢⎣ ⎥⎦ = = = ⋅

= = − =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = ⋅

⋅

⋅ =

∼

( )

6 6

2 7

6 14

3

2

10 0.680 1.466 10

: 5 10 2 10

0.54 1.466 10 18.79 170 10

18.79 13.31

0.24

x

x x

on prend les valeurs de a et de n dans le tableau ici entre et

Nu

k W

h Nu

x m K

−

⋅ ⋅ = ⋅

⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ =

⋅ ⎡ ⎤

= ⋅ = ⋅ = ⎢⎣ ⎥⎦

0.24m 390K

(5)

Ex E xe er rc ci ic c e e 2 2. .2 2

En partant de l'équation 2.26

2

1 1 2 2

et avec la définition du Laplacien en sphérique T(r):

0

avec les conditions limite ( ) ( ) qp

T k

d dT

T r

dr dr

T r R T et T r R T

∆ = −

⎛ ⎞

∆ = ⎜⎝ ⋅ ⎟⎠=

= = = =

On intègre:

2

1

1 1 1

2 1 2 2 2

1 2

1 2 1

1

2 1

1 1

2 1 1 2

2 2

2 1

2

2 . :

: :

1 1

( )

4 1

1 1

4 ( )

1 1

r dT C dr

C C C

T C soit équ T C et T C

r R R

T T C

en les soustrayant C et par la suite C T R

R R

C C

T r T

r R

C T T

T T

Comme q k et p q S q r avec

r r r r

R R

k T T p

R

π π

=

= − + = − + = − +

= − = +

−

= − + +

∂ ∂ −

= − = ⋅ = ⋅ = =

∂ ∂ −

⋅ −

=

− R1

b) ² ¹ ₁ ₂ ₁

1

4 ( )

1

R

k T T

Lim P k R T T

R

π π

→∞

⋅ ⋅ −

= = − ⋅ ⋅ ⋅ −

−

Ex E xe er rc ci ic c e e 2 2. .3 3

On a comme toujours (équ. 2.3):

( )

2 2 2

1 1 1

2

1

2 2

1 1

2 1

0 0

:

( )

T x x

T

T T

cas stationnaire q kdT cste dx

k dT q dx q dx q x x k k aT dT q x

k dT k aT dT q x

= − =

− ⋅ = ⋅ = ⋅ = −

− + ⋅ = ⋅ ∆

− ⋅ − ⋅ = ⋅ ∆

⎡ ⎤

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

r₂ r1

T1 T2

P

∆x

(6)

Ex E xe er rc ci ic c e e 3 3. .1 1

verre a 1250K

Tm = ½ (1250 + 300) = 775K

Propriétés thermiques de l'air à 775K :

ν = 80.28 *10^-6 [m²/s] , k = 56.08*10^-3 [W/mK]

et Pr = 0.706. On peut calculer Reynolds:

5 6

v 1 30

Re 3.74 10

80.28 10

malgrès ce que l'on pourrai croire (car Re supérieur a 2400), dans ces conditions, ce flux est laminaire (cf. graphique)

L

ν ^∞ ⁻

⋅ ⋅

= = = ⋅

⋅

( )

0.33 0.5 0.33 5 0.5

3

2

0.664 Pr Re 0.664(0.706) (3.74 10 ) 362 56.08 10

362 20.3 1

Nu

k W

h Nu

L m K

−

= ⋅ ⋅ = ⋅ =

⎛ ⋅ ⎞ ⎡ ⎤

= =⎜⎝ ⎟⎠ = ⎢⎣ ⎥⎦

verre a 400K

Tm = ½ (400 + 300) = 350K

Propriétés thermiques de l'air à 350K :

ν = 21.15 *10^-6 [m²/s] , k = 30.0x10^-3 [W/mK] et Pr = 0.698. On peut calculer Reynolds:

( ) ⁽ ⁾

( )

6 6

1 0.8 1

0.8 3 6 3

3

2

Re 1 30 1.42 10 Cette fois, le flux est turbulent et on a 21.15 10

Nu = 0.0298 Re Pr 0.0298 1.42 10 0.698 2208 30 10

2.40 10 66.24 1

Note: dans ce calcul on a négligé la co h W

m K

−

= ⋅ = ⋅

⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

⎛ ⋅ ⎞ ⎡ ⎤

=⎜⎝ ⎟⎠ ⋅ = ⎢⎣ ⎥⎦

uche limite dans laquelle l'écoulement est laminaire.

Ex E xe er rc ci ic c e e 3 3. .2 2

( )

( )( )

2 6 f

3

4 6

810 300 2 555

les propriétés de l'air à 555K sont : 46.44 10

Pr 0.685 44.11 10 Re

0.03 30

Re v 1.94 10 ( )

46.44 10

Tm K

m s et k W on peut calculer

mK

D turbulent

ν

−

∞

−

= + =

⎡ ⎤

= ⋅ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤

= = ⋅ ⎢⎣ ⎥⎦

= ⋅ = = ⋅

⋅

1250K 1m

Air 300K 30m/s

Acier 810K

Air forcé 300K, 30m/s

(7)

Ex E xe er rc ci ic c e e 3 3. .3 3

a)

( ) ( )

2 5

2 3

5 5

5

370 290 2 330

' 330 : 1.96 10

1.11 1034 2.94 10

1.2 2 1.11

Re v 1.36 10

1.96 10 1.96 10 1034

Pr 2.94

m

p

T K

propriété thermique de l air à K m

s

kg J W

et C k

m kg K mK

on peut calculer L C

k

η ρ

ρ η η

−

= + =

⎡ ⎤

= ⋅ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢⎣ ⎥⎦ = ⎢⎣ ⋅ ⎥⎦ = ⋅ ⎢⎣ ⎥⎦

= ⋅ ⋅ = = ⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅

= =

( ) ( )

2

0.33 0.5 0.33 5 0.5

2

2 2

0.690 10

0.664 Pr Re 0.664 (0.690) (1.36 10 ) 216 216 2.94 10

1.2 5.28

( .1.9) 5.28 1.2 370 290 606 par coté

donc : 1216 [W] en tout Nu

Nu k W

h L m K

équ p q S h S T W

−

⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⎡ ⎤

= = = ⎢⎣ ⎥⎦

= ⋅ = ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ − =

b)Dans le cas de la convection naturelle, on utilise le nombre de Grashof

( ) ( )

( )

3 2 3 2 3

0 10

2 5 2

3

(1.2) 1.11 9.81 3.03 10 (370 290)

1.32 10 1.96 10

1 1

3.03 10 330

L g T T

Gr

avec T

ρ β

η β

−

∞

−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

= = = ⋅

⋅

= = = ⋅

( ) ⁽ ⁾

( )

10

10 10

2

2 2

Pr 1.32 10 0.690

log Pr 9.96 log 2.15 141 ( . )

141 2.94 10 1.2 3.46

3.46 (1.2) 370 290 399 [ ] par coté 798 [ ]

tot

Gr

Gr Nu Nu cf sur le graphique

Nu k W

h L m K

p h S T W

p W

−

⋅ = ⋅

⋅ = ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅ ⋅ ⎡ ⎤

= = = ⎢⎣ ⎥⎦

= ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ − =

=

b) a)

370K

(8)

Ex E xe er rc ci ic c e e 3 3. .4 4

Comme il nous manque le coefficient de transfert de chaleur on va procéder par itération:

( )

2 4

2

1 2 2 2

4

2 1

2 4

' 200 473

2.8 10 ( , 736 ) 368

: ( ') ( ' )

2.8 10 313 368 1000

: ' 0.01 568

2.8 10 368

0.01 notre résulta

posons que T C K on a alors

W W

h et k Cu K

m K m K

en régime stationnaire k T T h T T L

h T T k

soit T L K

h k L

= ° =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

≅ ⋅ ⎢⎣ ⋅ ⎥⎦ = ⎢⎣ ⋅ ⎥⎦

⋅ − = ⋅ −

⋅ ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅

= = =

+ ⋅ +

( )

2 3

2

3

2 1

2 3

t étant loin de notre hypothèse de départ on refait une itération seconde itération : on pose T ' 900

4.1 10 ( , 950 ) 360

4.1 10 313 360 1000 ' 0.01

4.1 10 K

W W

avec h et k Cu K

m K m K

h T T k T L

h k L

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

≅ ⋅ ⎢⎣ ⋅ ⎥⎦ = ⎢⎣ ⋅ ⎥⎦

⋅ ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅

= =

+ ⋅

( )

2 3

360 930 0.01

L'approximation étant toujours trop grossière on recommence:

troisième itération : on pose T ' 950

3.3 10 ( , 975 ) 358

3.3 10 313 358 1000 ' 0.01

3.3 10 358

0.01

K

W W

avec h et k Cu K

m K m K

T

+ =

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

≅ ⋅ ⎢⎣ ⋅ ⎥⎦ = ⎢⎣ ⋅ ⎥⎦

⋅ ⋅ + ⋅

= ⋅ +

2

942

: ' 940

K

réponse T K

=

Eau T2 = 40°C

T2

T'₂= ? T1= 1000K

10mm Cu

(9)

Ex E xe er rc ci ic c e e 4 4. .1 1

a) à l'aide de la formule pour les murs composites (équ.3.31):

' ''

0 0

i 1

j

i i j k k

T T

q e

k r h

= −

+ +

∑ ∑ ∑

,1 ,2

3 4 5 6

1 3 4 5 6 2

2

1 1

2500 90

1 7 4 1 1 1 1

9 12 0.6 12 0.4 12 0.04 8 12 26 3 556

T T

q L L L L

h k k k k h

Btu h ft

∞ − ∞

= =

+ + + + +

= − =

+ + + + ⋅ +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⎡ ⎤

= ⎢⎣ ⋅ ⎥⎦

b)

( )

1 ,1 3 3

3

3 4 4

3

5 6 2

2438 1898

: 1434 , 269.4 , 269.2

q h T T T F

q k T T T F

L

et de même on trouve T F T F T F

= ∞ − ⇒ = °

= − ⇒ = °

= ° = ° = °

E

Ex xe er rc ci ic c e e 4 4. .2 2

a)Le Laplacien en coordonnée sphérique (indépendant de θ et de ψ):

2 2

2

1 d dT 0 d dT 0

r soit r

r dr dr dr dr

⎛ ⎞= ⎛ ⎞=

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) ¹ ¹

2 2

à r R T T

= ⇒ =

( )

2 1 1

1 2 2

1 1

1 1 2 2 1 1 1

1 1 1

2 1 1 2

2 2 1 1 1 2 1

1 2 2 1

( )

1 1

. : ( ) :

( )

1 1

c c

dT dT

r c T r c

dr dr r r

c c

avec les C L T R c c T on a T T c

R R R r

R R R R

T R T c c T T

R R R R

R R

= ⇒ = ⇒ = − +

⎛ ⎞

= − + ⇒ = + = + ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

⎛ − ⎞ ⎛ ⎞

= + ⎜⎝ ⎟⎠⇒ = − ⎜⎝ − ⎟⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + − −

7in. 4in. 1in. 1/8 in.

k = 0.6 k=0.4 k=0.04 k=26

h₁ = 9

T_∞,1= 2500°F

h2 = 3 T_∞,2= 90°F

T3

T4

T5

T6 T2

r2 T2

T₁ r₁

(10)

( )

( ) ( )

1 2

2

2 1

2 1 2 1 2

1 2 1 2

2

2 1 2 1

1

4 1 4

R R

q k dT k T T

dr r R R

R R R R

p q S r k T T k T T

r R R R R

π π

⎛ ⎞

= − = ⋅ ⋅ − ⎜⎝ − ⎟⎠

⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞

= ⋅ = ⎢⎣ ⋅ ⋅ − ⎜⎝ − ⎟⎠⎥⎦= − ⎜⎝ − ⎟⎠

d) avec l'équ. 3.28:

2 1

1 2

1

T 4

R R

R R R πk

⎛ − ⎞

=⎜ ⎟⋅

⎝ ⎠

E

Ex xe er rc ci ic c e e 4 4. .3 3

2

1 2 1 2

1 2

régime stationnaire: q = cste ? 2400 180

1108.6 1 0.05

1

0.5 20 1

1 2400 80 1 0.05

0.090

1108.6 0.5 20

11.08

H O

i H O i e

H O

i H O

H O

h

T T T T

q e e e e

k k h k k

T T e e

q k k h

h h Btu

=

− − −

= = = =

+

+ + +

⎛ − ⎞ ⎛ ⎞

− + =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ − ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜− + ⎟=

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒ = ₂

h ft F

⎡ ⎤

⎢ ⋅ ⋅ ° ⎥

⎣ ⎦

0.05ft 1ft

2400°F 180°F

80°F

H2O