Les lignes de partage
Problème E621 de Diophante
On donne 2008 points dans le plan qui pris 3 par 3 ne sont jamais colinéaires.
On suppose que la moitié d’entre eux sont coloriés en rouge et les autres en bleu.
Montrer qu’il existe au moins deux droites distinctes passant l’une et l’autre par un point rouge et par un point bleu telles que d’un même côté de chacune d’elles il y a autant de points rouges que de points bleus.
Solution
Le raisonnement, qui suit, vaut pour 2n points (n > 1). Deux cas se présentent : - 1 l’enveloppe convexe C des 2n points n’est pas monochrome alors il existe sur le bord de C au moins deux paires distinctes de points de couleurs
différentes. Chacune des droites passant par les deux points d’une même paire
partage le plan en deux régions l’une comportant 0 point rouge et 0 point bleu l’autre comportant n-1 points rouges et n-1 points bleus.
- 2 l’enveloppe convexe C des 2n points est monochrome, par exemple rouge. Soit U un sommet quelconque de C, V et W ses deux voisins immédiats.
Joignons U à tous les autres points. Les droites obtenues coupent VW en n-3 points colorés en rouge et n points colorés en bleu, selon la couleur du point visé autre que U.
V W
Partant de V vers W, appelons bleu pointé un point bleu pour lequel le nombre de points rouges entre V (compris) et lui égale le nombre de points bleus entre V et lui (non compris). Au moins un tel point existe, du fait qu’il y a plus de points bleus que de points rouges. La droite qui joint U à un point bleu pointé est bien telle que d’un même côté il y a autant de points rouges que de points bleus. On trouve une autre droite en inversant les rôles de U et de V.
