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Un autre point de vue

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Academic year: 2022

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(1)

4 Point de vue intégrale de la loi uniforme

Rappels

SoitXune variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur[a;b]. Alors pour tout nombrecetdde l’intervalle[a;b]

tels quec≤don a

P(c≤X ≤d) = d−c b−a

Ce calcul est justifié par le rapport entre la longueur du segment oùXpeut prendre ses valeurs (segment[AB]) et la longueur du segment des valeurs "intéressantes" (segment[CD]).

Un autre point de vue

On peut associer àXune fonctionfconstante sur[a;b]telle que

f(x) = 1 b−a

Alors la calcul de probabilité vu plus haut peut s’interpréter comme le calcul d’une aire sous la courbe et donc d’une intégrale :

P(c≤X ≤d) = Z d

c

f(x)dx= 1

b−a×(c−d)

x y

Définition

Cette fonctionf est appeléela fonction densité deXet doit vérifier Z b

a

f(x)dx= 1

Ce qui s’interprète comme la probabilité d’avoir un nombre compris entreaetbdoit être égal à 1.

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