D30523. Concours sphérique
Dans un triangle sphérique, la hauteur menée d’un sommet est l’arc de grand cercle coupant le côté opposé à angle droit ; la médiane est l’arc de grand cercle joignant un sommet au milieu du côté opposé. Les hauteurs sont-elles concourantes ? et les médianes ?
Solution
1/ Les hauteurs.
Notations : A, B, C sommets du triangle ; O centre de la sphère ; AD, BE, CF hauteurs (arcs de grand cercle) ; u, v, w vecteurs orthogo- naux respectivement aux plans OBC,OCA,OAB.
(u.v) est le produit scalaire,u∧v le produit vectoriel.
Le vecteur OA, intersection des plans orthogonaux àv et w, est parallèle à v∧w. La perpendiculaire au planOADest contenue dans le planOBC, perpendiculaire àuet est d’autre part perpendiculaire àOA. Elle est donc parallèle à u∧(v∧w) =v(w.u)−w(u.v).
De même la perpendiculaire au plan OBE est parallèle à v∧(w∧u) = w(u.v)−u(v.w).
Si par exemple (u.v) = 0, l’angle enCest droit ;OADest perpendiculaire à vcommeOCA,OBEest perpendiculaire àucommeOBC, et les hauteurs sont concourantes en C.
Supposons donc qu’aucun des angles entre les vecteurs u, v, w n’est droit.
L’intersection OAD∩OBE est parallèle à (v(w.u)−w(u.v))∧(w(u.v)−u(v.w))
(v.w)(w.u)(u.v) = v∧w
(v.w) +w∧u
(w.u) +u∧v (u.v).
Une permutation circulaire sur u, v, w donne le même vecteur pour les intersectionsOBE∩OCF etOCF∩OAD. Ainsi le pointHcommun aux arcs AD etBE appartient aussi àCF, CQFD.
2/ Les médianes.
Notations :A, B, C sommets du triangle ;O centre de la sphère ;A0, B0, C0 milieux des côtésBC, CA, AB (arcs de grand cercle) ; A00, B00, C00 milieux des cordesBC, CA, AB (segments de droite).
Le plan diamétralOBC contient l’arc BC, son milieuA0, et le rayonOA0 qui coupe la cordeBC en son milieuA00.
La médiane AA0 (arc de grand cercle) est dans le plan diamétral OAA0, qui a pour trace le segment de droiteAA00 sur le planABC.
Les segments AA00,BB00, CC00 ont en commun un point g, isobarycentre des points A, B, C. Les plans diamétraux OAA0, OBB0, OCC0 ont en commun la droiteOg; soitGcelui des points d’intersection de cette droite et de la sphère tel que g soit entre O et G; G est commun aux trois médianes, CQFD.
Remarque. En réponse à ce problème, Emile Julier et Christian Stéfani ont transposé au triangle sphérique les classiques théorèmes de Ménélaüs et de Céva, ce qui leur permet d’étendre la propriété aux bissectrices et aux médiatrices. E. Julier observe aussi que les deux points de concours des grands cercles-hauteurs du triangle sont à prendre en compte.
