N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
L OUIS G ÉRARD
Théorèmes de Puiseux et de Halphen sur le pendule sphérique
Nouvelles annales de mathématiques 6e série, tome 2 (1927), p. 147-148
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THÉORÈMES DE PUISEUX ET DE HALPHEN SUR LE PENDULE SPHÉRIQUE;
PAR LOUIS GÉRARD.
En prenant pour unité le diamètre de la sphère, pour origine le point le plus bas, on trouve, dans les traités de mécanique, que l'accroissement a de l'azimut pendant une oscillation simple est
-f—
dz y/ abc_____avec , (i — a)(i — b) ab o < a < 6 < i — a, c= - - — = i H 7 >
^ ' 1 — a — b \—a — b De plus
Cb dz\fab Cb dz\J{i — o){\— b)
I '" = = 7C = ƒ —• ' ;
J a zs/{z~a)(b—z) J a (l-z)v/{z-~a)(<b — z) Donc, pour montrer que a >> TT, il suffît de remarquer que
(1 — z)yc — z
Pour montrer que a <^ 271, il suffit de prouver que
\J abc s/ab \f(\ — a )(i — b)
En posant A = y/(i — a)(i — 6), B = \fab et en remplaçait\
- 148 — A2
p a r sa v a l e u r - ^ — r » v l'inégalité ( i ) devient
(a) [ A * - h B(i — z)] y/A2 — Z(A.Η B*) — AB > o.
M. Hadamard m'a fait remarquer que le premier membre de cette inégalité s'annule pour z = o et z — 1. De plus, A ^> B (à cause de l'hypothèse 1 — a — 6^>o); donc la variation de ce
premier membre est représentée parla courbe ci-dessus; donc ce premier membre est positif pour o << z < 1. -
Pour le voir algébriquement, posons
l'inégalité (2) devient
(A»-h AB B2— u*)u — AB(A-4-B)>o ou
(3) («-A)(M-B)(tt+A+B)<o.
Quand z varie de o à 1, ?/ varie de A à B; donc l'inégalité (3) est vérifiée.
