Sur l'aire du triangle sphérique

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

L EBESGUE

Sur l’aire du triangle sphérique

Nouvelles annales de mathématiques 1^resérie, tome 16 (1857), p. 319-321

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(2)

SUR L'AIRE DU TRIANGLE SPHÉRIQUE;

PAR M. LEBESGUE.

Soient a , b,c les côtes, A, B, C les angles et S la surface d'un triangle sphérique. L'équation

donne d'abord

S . /A-t-B-f-C\

cos- = sin {

2 \ 2

. /A + B\ c / A + B \ . c

= sin ) cos - -f- cos { sm - :

\ a / 2 \ a / » c / A + B \ . c - -f- cos {

2 \

simplifiant par les valeurs de sin et cos de > formule de Delambre, il vient d'abord

, . S i ( a b . a , b \ (i) cos - = ( cos - cos - H- sin - sm-cosC ?

W 2 r \ 2 2 2 2 /

c o s -

2

(3)

puis, en éliminant cosC,

/ S cos/2 4 - cos b 4- cosc 4- i cos - = y

1 2 . a b c

I 4C O S~C O S- " c o s - 1 2 2 2

(i) < a b c

\ cos2 - 4 - cos2 - 4- cos2 i I 2 2 2

f a b c

\ 2 COS - COS - COS -

Or on a

i — (cos2 a 4- cos2 b 4- cos5 c) 4- 2 cos a cos b cos c et

— i 4- cos2a 4- cos2& 4- cos2c 4- 2 cosa cos b cosr

égaux respectivement à

(a 4- b 4- c\ . / - a - f * - f c \ . f 4 sm ( ) sin I ) sin I

\ a y \ 2 / \ sm

cos

/a H- £ 4- i?\ / — f l 4 - ^ 4 - c \ /a — ^ 4 oos c ) cos ) cos ) cos

V ^ / V » y \ a ; \

II résulte de là que

(3)

tang2 - =

S

o 1 — cos - S 2 1 4- cos -

= tang y ^ ~ j tang i^a"^¥ ~ * J tang (" "*"j lang T c'est la formule de Lhuilier.

Si Ton représente par a , |3 , y les arcs de grand cercle qui unissent les milieux des côtés a , £, c, on déduit de Téquation ( i ) , à cause de

a b . a . b COS7 = cos - cos — h sm - sin - cosC,

2 2 2 2

(4)

les suivantes :

S c

COS 7 = COS - COS —»

2 2

(4)

cos 8 = cos — cos - >

r

* S a cos a = cos - cos -•

2 2

Si nous représentons par A', B', C' les milieux des côtés a, è, c, on sait que le volume V du parallélipi- pède, dont les deux arêtes contigués sont O A', OB', OC' (O étant le centre de la sphère), est donné par l'équa- tion

V" = i — (cos'a -f- cos3 8 -f- cos2 7) -f- 2 cos a cos p cos 7 , S / a b c

= I — COS2 - COS* - -f- COS* h COS2 ~ 2 \ 2 2 2

a b c S -f- 2 cos — cos - cos - cos3 —•

2 2 2 2

a %b c a b c S cos3 — h cos' — h cos1 2 cos — cos — cos - cos - = 1 ;

2 2 2 2 2 2 2

Mais l'équation ( 2 ) donne

cosa — h cos' -a b

2 2

de sorte qu'on a

(5) V '2^ i - c o s ' - ^ r s i n2- ou V'=sin~-

2 2 2

Ce théorème est de M. Cornélius Keogh, qui a fait d'in- génieuses recherches sur la trigonométrie.

Cette expression du volume V' montre bien que le nom de sinus de l'angle solide OA'B'C' donné à V; est mal choisi. Il a été employé par M. Staudt, avec lequel M. Keogh s'est rencontré dans des recherches relatives aux polygones.

Ann. de Maihêmat., t. XVI. (Septembre 1857.ï 2 I