Miroir sphérique

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MIROIRS SPHÉRIQUES 1) Définitions.

Un miroir sphérique est une portion de sphère dont l'une des faces est réfléchissante.

En général c'est une calotte sphérique de sommet S dont le rayon du cercle de base est le rayon d'ouverture du miroir.

L'axe passant par le centre C du miroir et le sommet S est l'axe principal, toute autre droite passant par C et rencontrant le miroir est un axe secondaire.

miroir concave miroir convexe

2) Recherche du stigmatisme.

Un miroir sphérique est évidemment stigmatique pour tout point sur sa surface (figure 1), un faisceau convergent incident donnant simplement un faisceau réfléchi symétrique par rapport à la normale au point d'incidence.

Il est aussi stigmatique pour son centre qui est à lui-même son image (figures 2 et 3).

figure 1 figure 2 figure 3

En dehors de ces deux cas particuliers, soient A un point lumineux sur l'axe principal et AI un rayon incident qui se réfléchit sur le miroir selon IA' symétrique de AI par rapport à la normale CI (figure 4).

Dans le triangle CAI: CA

sin i= IA

sinπ−ω= IA sinω. Dans le triangle CA'I: CA'

sin i = IA ' sinω. D 'où CA'

CA = −IA ' IA = x '

x en posant CA '=x ' et CA=x.

IA = IC CA ⇒ IA²=IC²CA² 2IC⋅CA =R²x²−2 R xcosω.

IA '= ICCA' ⇒ IA^{' 2}=IC²CA^{' 2}2IC⋅CA '=R²x^{' 2}−2 R x 'cosω. x'²

x² = R²x'²−2 R x' cosω

R²x²−2 R xcosω d 'où l 'on déduit Rx '²−x² =2 x x 'x'−xcosω. figure 4

Le cas x = x' étant exclu, x' est solution de l'équation Rx 'x =2 x x'cosω, donc x' dépend de ω, il n' y a pas stigmatisme rigoureux.

Si ω est faible, cosω≈1, alors Rx'x =2 x 'x ⇒ 1 x '1

x= 2 R.

Il y a stigmatisme approché pour des rayons peu inclinés par rapport à l'axe principal, c'est-à-dire quand on utilise le miroir au voisinage de son sommet ou bien quand le miroir a un faible rayon d'ouverture.

Ces conditions constituent l'approximation de Gauss.

C S S C

S C C S

A C A' S ω

ii I C S

A A'

rayon d'ouverture axe

principal R

C

centre S sommet

2 3) Foyer image et foyer objet.

a. Foyer image.

Si le point A est à l'infini, ∣x∣ ∞, x '=CF'= R

2. L'image est au milieu F' du segment SC.

Ce point est réel si le miroir est concave, virtuel si le miroir est convexe et s'appelle foyer image du miroir.

La distance SF '=R

2 est la distance focale image.

Un miroir sphérique transforme un faisceau parallèle à l'axe principal en un faisceau convergent s'il est concave, en un faisceau divergent s'il est convexe.

b . Foyer objet.

On appelle foyer objet la position particulière F que doit occuper le point A sur l'axe principal pour que son image A' soit à l'infini: ∣x∣' ∞ ⇒ x=CF= R

2 . Le foyer objet est donc confondu avec le foyer image.

4) Aplanétisme.

Un système optique est aplanétique si l'image d'un petit objet dans un plan transverse (plan perpendiculaire à l'axe principal) est aussi dans un plan transverse.

Soit B un point hors de l'axe principal mais assez près pour que les rayons tombent sur le miroir sous faible incidence.

Son image B' est sur l'axe secondaire BC avec 1 CB 1

CB'= 2 R. Quand B décrit la sphère (S) de centre C et de rayon CA,

B' décrit la sphère (S') de centre C et de rayon CA'.

B et B' restant très proches de l'axe principal, on peut confondre (S) et (S') avec leurs plans tangents en A et A' et considérer que

l'objet AB et son image A'B' sont perpendiculaires à l'axe principal avec AB=AB et A 'B '=A' B'.

Dans l'approximation de Gauss, un miroir sphérique donne d'un objet plan perpendiculaire à son axe et centré sur lui, une image plane, perpendiculaire à l'axe et centrée sur lui.

Relation de Lagrange−Helmholtz.

Dans le triangle CIA: IC

sinα= IA sinω Dans le triangle CIA': IC

sinα' = IA ' sinω

⇒ IA '

IA = sinα

sinα'. Or CA '

CA =−IA '

IA et CA'

CA = A 'B '

AB d 'où A' B'

AB = −sinα sinα'. La dernière relation s'écrit aussi A 'B ' sinα'=−AB sinα relation d 'Abbe.

Dans les conditions de Gauss les angles α et α' restant faibles, cette relation devient A ' B'α'= −ABα. 5) Relations de conjugaison et de grandissement transversal.

La relation entre la position d'un objet et celle de son image, repérées sur l'axe principal orienté dans le sens de la lumière incidente peut être écrite de différentes façons selon l'origine choisie sur cet axe.

a. Origine au centre.

La relation établie précédemment s'écrit: 1 CA ' 1

CA = 2 CS = 1

CF. Grandissement transversal : G_t= A 'B '

AB =CA ' CA .

C F' S S F' C

A C A' S α ω

I α' B

(S')B' (S)

3 b . Origine au foyer.

En remplaçant CA par FA−FC et CA' par FA '−FC , on obtient FA '.FA=FC²0.

FA et FA ' sont toujours de même signe, l'objet et l'image sont toujours du même côté par rapport à F.

Grandissement transversal : G_t= A 'B '

AB =− FA '

FC = −FC

FA ou G_t=FA ' FS = FS

FA. c .Origine au sommet.

En remplaçant CA par SA−SC et CA' par SA '−SC, on obtient 1 SA ' 1

SA = 2 SC. Grandissement transversal : G_t= A 'B '

AB =− SA ' SA . 6) Construction de l ' image d ' un objet.

a. L' objet est à l ' infini.

L'image est dans le plan focal, réelle et renversée si le miroir est concave, virtuelle et droite s'il est convexe.

Si l'objet est vu sous l'angle θ, la dimension de l ' image sera A 'B '=SF 'θ= −CF ' θ.

b . L'objet est dans le plan focal.

C'est le cas inverse du précédent: l'image est à l'infini et vue sous l'angle θ= AB SF . c. L'objet est dans une position quelconque.

L'image B' d'un point B situé hors de l'axe est à l'intersection de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de B.

On choisit deux rayons incidents dont les réfléchis sont faciles à déterminer parmi les quatre suivants:

•BI parallèle à l 'axe se réfléchit en passant par le foyer image F '.

•BS se réfléchit symétriquement par rapport à l ' axe principal.

•BJ passant par F ' se réfléchit parallèlement à l 'axe principal.

•BK passant par C se réfléchit sur lui−même.

En utilisant seulement les rayons BI et BC, on peut résumer les différents cas possibles pour un miroir concave ou un miroir convexe.

B

B' A

A' F' C

I

S J

K B

∞ ←A S F' A' C

θ B' B

F' A'

C S

B'

∞ ←Aθ

4 miroir concave

miroir convexe



S F C

F S C

lieu de B réel lieu de B virtuel

lieu de B ' réel

lieu de B ' virtuel

S F C

lieu de B réel lieu de B virtuel

lieu d

e B ' réel

lieu d

e B ' réel