H108-L’ascenseur omnibus
Solution
Remarque liminaire : ce problème est une application simple de l’égalité de Bezout et de son théorème. L’égalité de Bezout se formule ainsi : a et b étant deux entiers relatifs non nuls dont le PGCD est égal à d, il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = d. Le théorème du même auteur indique que l’équation ax + by = 1 admet des solutions entières en x et y si et seulement si a et b sont deux entiers premiers entre eux. La généralisation de ce théorème précise que l’équation ax + by = c (c quelconque 0) admet des solutions entières en x et y si a et b sont premiers entre eux.
Les nombres 8 et 11 étant premiers entre eux, l’ascenseur peut donc s’arrêter à n’importe quel étage défini par un entier c mais quelle est la hauteur de la tour qui permet de servir tous les étages sachant que si elle avait un étage de moins, cela ne serait plus possible ?
1) Une représentation des trajets réalisés par l’ascenseur sous la forme d’un graphe permet de trouver rapidement la solution. Chaque étage numéroté de 0 à n-1 est représenté par un sommet d’un polygone régulier à n sommets. Partant du sommet 0 qui représente le rez-de- chaussée, on trace les arcs rouges qui matérialisent les montées de l’ascenseur (H+8) et les arcs bleus pour représenter les descentes (B-11).On adopte la démarche suivante : chaque fois que l’ascenseur est à une hauteur suffisante pour pouvoir descendre 11 étages, on fait
descendre l’ascenseur. On observe qu’avec un polygone de 11+8 = 19 sommets (voir figure ci-après), il existe un chemin hamiltonien qui passe une fois et une seule par tous les sommets et permet de revenir au point de départ.
On vérifie que dans une tour de 17 étages, l’ascenseur étant au rez-de-chaussée, on est rapidement bloqué au 10ème étage sauf à faire un aller et retour perpétuel entre le 2ème et le 10ème étages. En effet la séquence serait 0, 8, 16, 5, 13, 2, 10, 2, 10, …
La tour comporte donc 18 étages et 19 niveaux sont servis par l’ascenseur, rez-de-chaussée inclus.
A noter qu’il y a une autre représentation possible du parcours de l’ascenseur. Dans un rectangle de longueur 11 et de hauteur 8, on trace toutes les verticales et horizontales
d’abscisses et d’ordonnées entières ainsi que la diagonale qui joint les sommets (0,0) et (11,8) du rectangle. La ligne brisée verte qui représente le parcours de l’ascenseur s’interprète de la manière suivante : les segments horizontaux et verticaux représentent respectivement les montées et les descentes de l’ascenseur. Dès qu’un segment horizontal d’ordonnée entière traverse la diagonale, cela signifie que l’ascenseur peut descendre de 11 étages. Le segment vertical correspondant d’abscisse entière traverse à nouveau la diagonale et l’on est prêt pour une ou deux nouvelles montées. A trois occasions, on constate que les segments horizontaux sont de longueur 2 quand le nombre d’étages de la 1ère montée se révèle insuffisant. Le
nombre d’étages de la tour est égal au nombre d’intersections de la diagonale avec le maillage du rectangle, sommet (11,8) inclus mais origine exclue.
Si la programmation de l’ascenseur avait été faite avec H+p et B-q, p et q entiers premiers relatifs entre eux le nombre minimal d’étages de la tour aurait été p+q-1 étages et le nombre de niveaux servis p + q. Avec un PGCD de p et q égal à d > 1, les numéros des étages servis se limitent à d et à ses multiples. En aucun cas l’ascenseur ne peut s’arrêter à tous les étages.
2) Le chemin parcouru pour arriver au 11ème étage est le suivant : 0, 8, 16, 5, 13, 2, 10, 18, 7, 15, 4, 12, 1, 9, 17, 6, 14, 3, 11.Il apparaît que le 11ème étage est le dernier servi et pour y parvenir on parcourt donc165 étages.(11 montées de 8 étages et 77 descentes de 11 étages soit 11*8 + 7*11 = 165)
Pour revenir au théorème de Bezout généralisé, on vérifie que n’importe quel numéro d’étage compris entre 0 et 18 peut s’exprimer comme une combinaison linéaire de 8 et de –11 avec des entiers x et y tels que x11 et y8
3) L’architecte aurait évidemment pu programmer différemment la marche de l’ascenseur toujours avec deux boutons. En effet il y a de nombreux couples (p, -q) tels que p+q – 1= 18 soit p + q = 19 avec p et q premiers relatifs entre eux : (1,-18) (2, -17) (3, -16) (4, -15) (5, - 14) (6, -13) (7, -12) (9,-10) (10, -9) (11,-8) ……(18,-1). Les chemins correspondant à deux d’entre eux (3, -16) et (13, -6) sont représentés ci-après :
Le nombre d’étages parcourus quand on part du niveau 0 et qu’on y revient est égal à 2*p*q.
Il est minimum quand p ou q sont égaux à 1 (36 étages au total) et maximum quand (p=10 et q=9) ou (p=9 et q=10) .Il y a dans ces deux cas 180 étages parcourus dans un cycle complet soit 4 de plus qu’avec la programmation H+8 et B-11 de l’énoncé.
