Bezout

NOMBRES

G ^RIP

TOUTES CALCULATRICES

CASIO

A = 88 B = 56

Q = 1 R = 32 U = 1

X = 0

S = 1 V = 0

Y = 1

T = -1

Si

d

a

b

trouver deux nombres entiers relatifs

u

v

d = au + bv

Problème

Principe

1- Au début: a = au + bv avec u = 1 et v = 0 b = xu + yv avec x = 0 et y = 1 2- Tant que r ≠ 0 , on calcule:

q = E ( a / b)

r = a - bq puis on range b dans a et r dans b s = u - xq puis on range x dans u et s dans x t = v - yq puis on range y dans v et t dans y 3- Quand r = 0 , PGCD = a

U = u V = v

On développe l’algorithme d’Euclide.

Soient a et b, deux nombres entiers strictement positifs, tels que a > b.

Simulons cette démarche avec les deux nombres 88 et 56.

A = 56 B = 32

Q = 1 R = 24 U = 0

X = 1

S = -1 V = 1

Y = -1

T = 2

A = 32 B = 24

Q = 1 R = 8 U = 1

X = -1

S = 2 V = -1

Y = 2

T = -3

A = 24 B = 8

Q = 3 R = 0 U = -1

X = 2

S = -7 V = 2

Y = -3

T = 11

A = 8 B = 0

Q = R = U = 2

X = -7

S = V = -3

Y = 11

T =

RELATION DE

BEZOUT

NOMBRES G ^RIP

RELATION DE BEZOUT

BEZOUT

Nom du programme

Prog 4

N° du programme

A N

'BEZOUTä 'BEZOUTä'BEZOUTä 'BEZOUTä 'BEZOUTä

"A="?ÊAä

"A="?ÊAä"A="?ÊAä

"A="?ÊAä

"A="?ÊAä

"B="?ÊBä

"B="?ÊBä"B="?ÊBä

"B="?ÊBä

"B="?ÊBä 1ÊU:0ÊXä 1ÊU:0ÊXä1ÊU:0ÊXä 1ÊU:0ÊXä 1ÊU:0ÊXä 0ÊV:1ÊYä 0ÊV:1ÊYä0ÊV:1ÊYä 0ÊV:1ÊYä 0ÊV:1ÊYä Lbl 2ä Lbl 2äLbl 2ä Lbl 2ä Lbl 2ä

Int (A/B)ÊQä Int (A/B)ÊQäInt (A/B)ÊQä Int (A/B)ÊQä Int (A/B)ÊQä A-BQÊRä

A-BQÊRäA-BQÊRä A-BQÊRä A-BQÊRä BÊA:RÊBä BÊA:RÊBäBÊA:RÊBä BÊA:RÊBä BÊA:RÊBä U-XQÊSä U-XQÊSäU-XQÊSä U-XQÊSä U-XQÊSä XÊU:SÊXä XÊU:SÊXäXÊU:SÊXä XÊU:SÊXä XÊU:SÊXä V-YQÊTä V-YQÊTäV-YQÊTä V-YQÊTä V-YQÊTä YÊV:TÊYä YÊV:TÊYäYÊV:TÊYä YÊV:TÊYä YÊV:TÊYä R

RR R

R≠^{0…Goto 2ä0…Goto 2ä0…Goto 2ä0…Goto 2ä0…Goto 2ä}

"PGCD=":A¶

"PGCD=":A¶"PGCD=":A¶

"PGCD=":A¶

"PGCD=":A¶

"U=":U¶

"U=":U¶"U=":U¶

"U=":U¶

"U=":U¶

"V=":V¶

"V=":V¶"V=":V¶

"V=":V¶

"V=":V¶

"FIN"

"FIN""FIN"

"FIN"

"FIN"

"A="?áA

"A="?áA"A="?áA

"A="?áA

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"B="?áB

"B="?áB"B="?áB

"B="?áB

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DoDo DoDoäääää

Int (A§B)áQ Int (A§B)áQInt (A§B)áQ Int (A§B)áQ Int (A§B)áQäääää A-BQáR

A-BQáRA-BQáR A-BQáR A-BQáRäääää BáA:RáB BáA:RáBBáA:RáB BáA:RáB BáA:RáBäääää U-XQáS U-XQáSU-XQáS U-XQáS U-XQáSäääää XáU:SáX XáU:SáXXáU:SáX XáU:SáX XáU:SáXäääää V-YQáT V-YQáTV-YQáT V-YQáT V-YQáTäääää YáV:TáY YáV:TáYYáV:TáY YáV:TáY YáV:TáYäääää LpWhile R¨0 LpWhile R¨0LpWhile R¨0 LpWhile R¨0 LpWhile R¨0äääää

"PGCD=":Aª

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"V=":Vª

"V=":Vª"V=":Vª

"V=":Vª

"V=":Vª

"FIN"

"FIN""FIN"

"FIN"

"FIN"

N

Utilisation

Exemple avec 88 et 56

Exemple avec 1560 et 3680

On a bien: 8 = 88 × 2 + 56 × -3

On a bien: 40 = 1560 × -33 + 3680 × 14

Remarque:

Dans cet exemple, a < b. C’est sans incidence sur le résultat.

Si l’on avait fait a = 3680 et b = 1560, on aurait obtenu:

PGCD = 40; U = 14 et V = -33.

Ce qui vérifie: 40 = 3680 × 14 + 1560 × -33