G127 : Jouons au loto
Plus généralement, supposons que l’on effectue n tirages équiprobables avec remise parmi p nombres. Nous noterons an,k la probabilité d’avoir tiré exactement k nombres différents après n tirages, sans que cela se soit produit auparavant (on avait donc k-1 nombres différents après n-1 tirages), et bn,k la probabilité d’avoir tiré au plus k nombres différents après n tirages. Donc an,k=bn,k-bn-1,k. Notons que bn,1=1/pn-1 , que
a1,q+…+ai,q+…=1, et que ai+1,q+…+an,q+…=bi,q-1 (si q-1 nombres sont sortis en i tirages, le q-ème sortira après…).
Pour tirer q nombres distincts, il faut donc un nombre moyen de tirages Nq=∑nnan,q, la sommation sur n allant de 1 à l’infini. Pour la grille de loto, p=49 et q=43.
On peut aussi écrire Nq=∑n ∑iai,q la sommation sur n allant de 1 à l’infini et celle sur i de n à l’infini ; si l’on inverse l’ordre des sommations, i allant de 1 à l’infini et n de i+1 à l’infini, on peut encore écrire Nq=∑i(ai,q+∑nan,q)=∑i(ai,q+bi,q-1)=1+∑ibi,q-1.
Or bi,k=(k /p)bi-1,q+(1-k/p)bi-1,k-1 ; en sommant pour i variant de 2 à n, on obtient b1,k+…+bn,k=b1,k-1+…+bn,k-1+(p/(p-k))(1-bn,k). Quand n tend vers l’infini, bn,k tend vers zéro, et donc ∑nbn,k=∑nbn,k-1+p/(p-k) les sommations sur n allant de 1 à l’infini. Comme de plus ∑nbn,1=∑n1/pn-1=p/(p-1), on en déduit que ∑nbn,k=p(1/(p-1)+…+1/(p-k), donc Nq=1+p(1/(p-1)+…+1/(p-q+1))
Ce qui pour p=49 et q=43 donne N=99,43.
