p(n+1) a lieu à partir de l’entier n = 5 , justifiant la valeur n = 5 comme solution du problème

Solution de G.139 proposée par Jaime Lobo Segura (Costa Rica)

Pour chaque entier n, soit S(n) la somme de n variables indépendantes de Bernoulli de paramètre p = 0,45. La loi de S(n) est une loi binomiale de moyenne np et variance np(1-p).

Notons p(n) la probabilité Pr{S(2n)  n+1} . On démontre que l’inégalité p(n)  p(n+1) a lieu à partir de l’entier n = 5 , justifiant la valeur n = 5 comme solution du

problème.

Comme les variables S(2n) – S(2) et S(2) sont indépendantes , la formule des probabilités totales permet d’écrire:

p(n+1) = P{S(2n)  n}.p + 2 p(n).p.(1-p) + P{S(2n)  n+2}.² (1p)² Grâce aux égalités p +2p(1-p)+² (1p)²=1, P{S(2n)  n} = p(n) + P{S(2n) = n} et P{S(2n)  n+2} = p(n) –P{S(2n) = n+2},la relation ci - dessus devient :

p(n+1) = P{S(2n) = n}.p –P{S(2n) = n+1}.² (1p)² + p(n) On a donc p(n)  p(n+1) si et seulement si

P{S(2n) = n}.p –P{S(2n) = n+1}.² (1p)²  0 .

En écrivant P{S(2n) = n} = ₂

n n

) (n!

p) (1 p

(2n)! 

et P{S(2n) = n+1} =

1)!

- (n 1)!

(n

p) (1 p

(2n)! ^{n 1 n-1}



 

, on déduit après quelques simplifications que l´inégalité précédente équivaut à

p 1

p

  1 n

n

 .Puisque p 1

p

 = 0,8181... <

6

5et que la fonction n  1 n

n

 est croissante,on peut donc conclure.