DM 5 pour le Vendredi 3 février 2022 PC

http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/dm5.pdf

DM 5 pour le Vendredi 3 février 2022 PC

Pensez à laisser une marge sur les copies, au minimum 5 cm.Étant donnés un réelλet une fonction ϕ: ]0,+∞[→R, on s’intéresse aux fonctions f : ]0,+∞[→Rvérifiant les relations

(1)

½ ∀x>0, f(x+1)−f(x)=ϕ(x) f(1)=λ

On suppose dans la suite queϕest une fonction décroissante et telle queϕ(x)−−−−−→

x→+∞ 0.

Partie 1 Existence d’une solution de (1)

On montre dans cette partie comment utiliser des séries de fonctions pour déterminer une solution de (1).

On pose, pour n∈N^{∗et x}∈R^{+, u}n(x)=ϕ(n)−ϕ(n+x).

1. Pourp∈NetN>p, calculer

N

X

n=1

u_n(p). En déduire que la série X

nÊ1

u_n(p) converge.

Quelle est sa somme ?

2. Montrer que pour toutx∈R⁺, la série X

nÊ1

un(x) converge.

3. Soitp∈N^∗donné. Montrer que la convergence de la série ci-dessus est normale sur [0,p].

Pour x>0, on pose f0(x)=λ−ϕ(x)+

+∞X

n=1

¡ϕ(n)−ϕ(n+x)¢ .

4. Montrer que la fonctionf₀est définie sur ]0,+∞[, croissante et vérifie les relations (1).

5. On suppose dans cette question queϕest continue sur ]0,+∞[. Montrer quef0est continue sur ]0,+∞[ et que f₀+ϕest pronlongeable par continuité en 0.

Partie 2 Unicité d’une solution de(1) sous certaines conditions

On considère la fonction f0définie dans la partie 1 ainsi qu’une fonction f :]0,+∞[→Rcroissante et vérifiant les relations(1). On pose g=f−f₀.

6. Établir quegest périodique.

7. Montrer que, pour toutn∈N^{∗et toutx}∈]0, 1], on a|g(x)| Éϕ(n).

8. Que peut-on en déduire ?

Partie 3 Étude de certaines solutions de(1)

9.On considère dans cette question la fonctionϕ:x>07→e^−x. On notef₀la fonction croissante sur ]0,+∞[ vérifiant les relations (1). Donner une expression simplifiée def0(x).

10. On considère dans cette question la fonction ϕ:x>07→1

x

et on prendλ=0. On notef0la fonction croissante sur ]0,+∞[ vérifiant les relations (1).

(a) Écrire un programme en utilisant le langage PYTHONpermettant d’obtenir une représentation graphique def₀.

(b) Déterminer des équivalents def0en 0⁺et en+∞.

Correction DM 5 – Centrale 1 TSI 1994 adapté

Partie 1 Existence d’une solution de (1) 1. On réalise un changement d’indice :

N

X

n=1

un(p)=

N

X

n=1

¡ϕ(n)−ϕ(n+p)¢

=

N

X

n=1

ϕ(n)−

N+p

X

n=p+1

ϕ(n)

Sachant queN>p:

N

X

n=1

un(p)=

p

X

n=1

ϕ(n)+

N

X

n=p+1

ϕ(n)−

N

X

n=p+1

ϕ(n)−

N+p

X

n=N+1

ϕ(n)=

p

X

n=1

ϕ(n)−

N+p

X

n=N+1

ϕ(n) Par hypothèse,ϕ(x)−−−−−→

x→+∞ 0 donc :

N+p

X

n=N+1

ϕ(n)=ϕ(N+1)+ · · · +ϕ(N+p)−−−−−→

N→+∞ 0 car c’est une somme finie deptermes qui tendent tous vers 0. Ainsi :

N

X

n=1

un(p)−−−−−→

N→+∞

p

X

n=1

ϕ(n)

Cette limite est finie donc par définition la série X

un(p) converge et sa somme est :

+∞X

n=1

un(p)=

p

X

n=1

ϕ(n)

Notons que dans le cas particulier oùp=0, lesun(p) sont tous nuls et la somme est nulle.

2. Considéronsx∈R⁺ainsi qu’un entierpÊx, commeϕest décroissante :

∀n∈N^∗,ϕ(n+x)Êϕ(n+p) et ainsi :

∀n∈N^{∗, 0}Éun(x)=ϕ(n)−ϕ(n+x)Éϕ(n)−ϕ(n+p)=un(p) La sérieX

un(p) converge donc par comparaison de séries à termes positifs, X

un(x) converge.

3. On considère ici un entierp∈N^∗. En reprenant les inégalités de la question précédente :

∀x∈[0,p],|un(x)| =ϕ(n)−ϕ(n+x)Éun(p) Par définition,ku_nk∞,[0,p]est le plus petit majorant de|u_n(x)|,x∈[0,p], donc :

kunk_∞,[0,p]Éun(p) La sérieP

un(p) converge donc par comparaison de séries à termes positifs, la sérieP

kunk∞,[0,p]

converge donc la série de fonctionsPunconverge normalement sur [0,p].

4. D’après ce qui précède, la fonction f0est bien définie sur ]0,+∞[ car la série est convergente.

Considéronsx,y∈]0,+∞[ avecxÉy, commeϕest décroissante sur ]0,+∞[ on a :

∀n∈N^∗,ϕ(n)−ϕ(n+x)Éϕ(n)−ϕ(n+y) On a par ailleurs−ϕ(x)É −ϕ(y) donc en ajoutant ces inégalités on obtient :

f0(x)=λ−ϕ(x)+

+∞X

n=1

¡ϕ(n)−ϕ(n+x)¢

Éλ−ϕ(y)+

+∞X

n=1

¡ϕ(n)−ϕ(n+y)¢

=f0(y)

(ce qui est légitime car les séries sont bien convergentes). On en déduit que la fonctionf₀est crois- sante sur ]0,+∞[. Pour toutx>0 :

f0(x+1)−f0(x)=λ−ϕ(x+1)+

+∞X

n=1

¡ϕ(n)−ϕ(n+x+1)¢

−λ+ϕ(x+1)−

+∞X

n=1

¡ϕ(n)−ϕ(n+x+1)¢

= −ϕ(x+1)+ϕ(x)+

+∞X

n=1

¡ϕ(n+x)−ϕ(n+x+1)¢ Par télescopage :

+∞X

n=1

¡ϕ(n+x)−ϕ(n+x+1)¢

=ϕ(1+x)

et ainsi :

f0(x+1)−f0(x)= −ϕ(x+1)+ϕ(x)−ϕ(1+x)=ϕ(x) Pour finir, par télescopage :

f0(1)=λ−ϕ(1)+

+∞X

n=1

¡ϕ(n)−ϕ(n+1)¢

=λ

Par conséquent, la fonctionf0vérifie les relations (1).

5. On considère la fonction :

U:x∈R⁺7→

+∞X

n=1

un(x)

D’après la question 1, la fonctionU est bien définie surR⁺. Commeϕest continue sur ]0,+∞[, chaque fonctionunest continue sur [0,+∞[ pournÊ1. Soitp∈N^∗, d’après la question 2, la série de fonctionsPunconverge normalement sur [0,p]. D’après le théorème de continuité, la fonctionUest donc continue sur [0,p]. Ceci est vrai quel que soitp∈N^∗donc la fonctionU est continue surR⁺. On a ensuite :

∀x>0, f0(x)=λ−ϕ(x)+U(x)

Par conséquent, la fonctionf₀est continue sur ]0,+∞[ comme somme de deux fonctions continues sur cet intervalle. La fonctionUétant continue en 0, on a pour toutx>0 :

f0(x)+ϕ(x)=λ+U(x)−−−→

x→0 λ+U(0) (limite finie) Ceci montre quef0+ϕest prolongeable par continuité en 0.

Partie 2 Unicité d’une solution de(1) sous certaines conditions 6. Pour toutx∈]0,+∞[ :

g(x+1)−g(x)=f(x+1)−f(x)−f₀(x+1)+f₀(x)=ϕ(x)−ϕ(x)=0 Par conséquent, la fonctiongest 1-périodique.

7. La fonctiongest 1-périodique etg(1)=0 donc pour toutn∈N^∗,g(n)=f(n)−f0(n)=0. Soient x∈]0, 1] etn∈N^∗. Les fonctionsf etf₀étant croissantes :

g(x)=g(x+n)=f(x+n)−f0(x+n)Éf(n+1)−f0(n)=f(n)+ϕ(n)−f0(n)=ϕ(n) Sur le même principe en échangeant les rôles def etf₀:

g(x)=g(x+n)=f(x+n)−f0(x+n)Êf(n)−f0(n+1)=f(n)−ϕ(n)−f0(n)= −ϕ(n) et ainsi−ϕ(n)Ég(x)Éϕ(n) donc|g(x)| Éϕ(n).

8. On sait queϕ(n)−−−−−→_n

→+∞ 0. Par passage à la limite lorsquen→ +∞dans les inégalités larges de la question précédente on obtient :

∀x∈]0, 1], g(x)=0

La fonctiongest nulle sur ]0, 1] et comme elle est de plus 1-périodique, on en déduit quegest nulle sur ]0,+∞[. Par conséquent,f =f0et ceci montre quef0est l’unique fonction croissante sur ]0,+∞[ et vérifiant les relations (1).

Partie 3 Étude de certaines solutions de(1) 9. On note queϕest bien décroissante etϕ(x)−−−−−→

x→+∞ 0 donc les résultats de la partie 1 s’appliquent et on a pourx>0 :

f0(x)=λ−e^−x+

+∞X

n=1

(e⁻ⁿ−e^−n−x)=λ−e^−x+(1−e^−x)

+∞X

n=1

e⁻ⁿ

=λ−e^−x+(1−e^−x) e⁻¹

1−e⁻¹ (somme de série géométrique) f₀(x)=λ−e^−x+(1−e^−x) 1

e−1

10. La fonctionϕest décroissante sur ]0,+∞[ et de limite nulle en+∞donc on peut appliquer les résultats de la partie 1 et on obtient pourx>0 :

f0(x)=λ−ϕ(x)+

+∞X

n=1

¡ϕ(n)−ϕ(n+x)¢

= −1 x+

+∞X

n=1

µ1 n− 1

n+x

¶

= −1 x+

+∞X

n=1

x n(n+x)

On utilise cette expression pour obtenir une valeur approchée def0(x) en effectuant la somme pour un nombre de termes assez grand.

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt def f0(x,N):

s = -1/x

for n in range(1,N+1):

s = s+x/n/(n+x) return s

x = np.linspace(0.1,10,100) plt.plot(x,f0(x,100),'r-') plt.plot(x,np.log(x),'b--') plt.plot(x,-1/x,'g--')

0 2 4 6 8 10

−10

−8

−6

−4

−2 0 2

Pour un équivalent en 0 on a :

f(x)= −1

x+g(x) avec g(x)=

+∞X

n=1

x n(n+x) On obtient directement pourx>0 :

0Ég(x)É

+∞X

n=1

x n²=xπ²

6 −−−→

x→0 0 et comme−1

x−−−−→

x→0⁺ −∞, on af(x)= −1 x+ o

x→0

µ1 x

¶

et ainsi : f(x) ∼

x→0−1 x

Pour l’équivalent en+∞, c’est un encadrement par intégrale et je ne détaille pas complètement la rédaction. On considère pourx>0 fixé la fonction :

h:t7→ x t(t+x)

Cette fonction est continue, positive et décroissante sur ]0,+∞[. On a donc :

∀nÊ1, x

(n+1)(n+1+x)=h(n+1)É Z n+1

n h(t) dtÉh(n)= x n(n+x)

On ajoute ces inégalités pournallant de 1 à l’infini, les séries sont bien convergentes d’après les études précédentes et l’intégrale impropre obtenue est convergente carh(t)= O

t→+∞

¡1/t²¢ :

+∞X

n=1

x

(n+1)(n+1+x)É Z _+∞

1

x

t(t+x)dtÉ

+∞X

n=1

x n(n+x)

On réalise un changement d’indice dans la première somme, on calcule l’intégrale en utilisant x

t(t+x)=1 t − 1

t+x, on obtient :

g(x)− x

x+1Éln(x+1)Ég(x) et ainsi ln(x+1)Ég(x)Éln(x+1)+ x

x+1puis en ajoutant−1 x :

−1

x+ln(x+1)Éf0(x)É −1

x+ln(x+1)+ x x+1 On obtient alors de la manière habituelle que f(x) ∼

x→+∞ln(x+1) ∼

x→+∞ln(x) .