SÈries de Fourier
Karim Boulabiar
Dauphine j Tunis
Avril 2020
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 1 / 49
I/ Les espaces intervenant
On suppose R muni de sa mesure de Lebesgue.
DeÖnition
Soit f : R ! C une fonction mesurable sur R. On dit que f est 2p-pÈriodique si
f (x +2p) = f (x) pour presque tout x 2 R.
Lemma
Soient f ,g : R ! C deux fonctions mesurables sur R telles que f (x) = g (x) pour presque tout x 2 R.
Alors f est 2p-pÈriodique si, et seulement si, g est 2p-pÈriodique.
I/ Les espaces intervenant
On suppose R muni de sa mesure de Lebesgue.
DeÖnition
Soit f : R ! C une fonction mesurable sur R. On dit que f est 2p-pÈriodique si
f (x +2p) = f (x) pour presque tout x 2 R.
Lemma
Soient f ,g : R ! C deux fonctions mesurables sur R telles que f (x) = g (x) pour presque tout x 2 R.
Alors f est 2p-pÈriodique si, et seulement si, g est 2p-pÈriodique.
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I/ Les espaces intervenant
On suppose R muni de sa mesure de Lebesgue.
DeÖnition
Soit f : R ! C une fonction mesurable sur R. On dit que f est 2p-pÈriodique si
f (x +2p) = f (x) pour presque tout x 2 R.
Lemma
Soient f ,g : R ! C deux fonctions mesurables sur R telles que f (x) = g (x) pour presque tout x 2 R.
Alors f est 2p-pÈriodique si, et seulement si, g est 2p-pÈriodique.
I/ Les espaces intervenant
On suppose R muni de sa mesure de Lebesgue.
DeÖnition
Soit f : R ! C une fonction mesurable sur R. On dit que f est 2p-pÈriodique si
f (x +2p) = f (x) pour presque tout x 2 R.
Lemma
Soient f ,g : R ! C deux fonctions mesurables sur R telles que f (x) = g (x) pour presque tout x 2 R.
Alors f est 2p-pÈriodique si, et seulement si, g est 2p-pÈriodique.
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I/ Les espaces intervenant
On suppose R muni de sa mesure de Lebesgue.
DeÖnition
Soit f : R ! C une fonction mesurable sur R. On dit que f est 2p-pÈriodique si
f (x +2p) = f (x) pour presque tout x 2 R.
Lemma
Soient f ,g : R ! C deux fonctions mesurables sur R telles que f (x) = g (x) pour presque tout x 2 R.
Alors f est 2p-pÈriodique si, et seulement si, g est 2p-pÈriodique.
Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!
Proof.
On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose
A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g. B = fx 2 R :f (x) 6= f (x +2p)g
C = fx 2 R : f (x +2p) 6= g (x +2p)g. D = fx 2 R : g (x) 6= g (x +2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD. Donc, D ( A[B [ C.
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!
Proof.
On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose
A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g. B = fx 2 R : f (x) 6= f (x +2p)g
C = fx 2 R : f (x +2p) 6= g (x +2p)g. D = fx 2 R : g (x) 6= g (x +2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD. Donc, D ( A[B [C.
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!
Proof.
On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose
A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g. B = fx 2 R : f (x) 6= f (x +2p)g
C = fx 2 R : f (x +2p) 6= g (x +2p)g. D = fx 2 R : g (x) 6= g (x +2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD. Donc, D ( A[B [C.
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!
Proof.
On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.
B = fx 2 R : f (x) 6= f (x +2p)g
C = fx 2 R : f (x +2p) 6= g (x +2p)g. D = fx 2 R : g (x) 6= g (x +2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD. Donc, D ( A[B [C.
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!
Proof.
On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.
B = fx 2 R : f (x) 6= f (x +2p)g
C = fx 2 R : f (x +2p) 6= g (x +2p)g. D = fx 2 R : g (x) 6= g (x +2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD. Donc, D ( A[B [C.
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!
Proof.
On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.
B = fx 2 R : f (x) 6= f (x +2p)g
C = fx 2 R : f (x +2p) 6= g (x +2p)g.
D = fx 2 R : g (x) 6= g (x +2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD. Donc, D ( A[B [C.
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!
Proof.
On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.
B = fx 2 R : f (x) 6= f (x +2p)g
C = fx 2 R : f (x +2p) 6= g (x +2p)g. D = fx 2 R : g (x) 6= g (x +2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD. Donc, D ( A[B [C.
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!
Proof.
On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.
B = fx 2 R : f (x) 6= f (x +2p)g
C = fx 2 R : f (x +2p) 6= g (x +2p)g. D = fx 2 R : g (x) 6= g (x +2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD.
Donc, D ( A[B [C.
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!
Proof.
On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.
B = fx 2 R : f (x) 6= f (x +2p)g
C = fx 2 R : f (x +2p) 6= g (x +2p)g. D = fx 2 R : g (x) 6= g (x +2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD. Donc, D ( A[B [C.
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
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Un petite preuve, histoire de se rafraÓchir la mÈmoire!
Proof.
On suppose que f est 2p-pÈriodique et on pose A = fx 2 R : f (x) 6= g (x)g.
B = fx 2 R : f (x) 6= f (x +2p)g
C = fx 2 R : f (x +2p) 6= g (x +2p)g. D = fx 2 R : g (x) 6= g (x +2p)g.
Si x 2 cA\ cB\ cC alors x 2 cD. Donc, D ( A[B [C.
Or, A, B et C sont de mesure nulle et donc D líest Ègalement.
On peut donc, pour tout p 2 [1, •), considÈrer líensemble, notÈ Lp, des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiques vÈriÖant la condition
Z 2p
0 jf (x)jp dx < •.
Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par
kf kpp = 1 2p
Z 2p
0 jf (x)jp dx.
De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0,2p].
On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexe pour la norme dÈÖnie par
kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0,2p]g
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On peut donc, pour tout p 2 [1, •), considÈrer líensemble, notÈ Lp, des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiques vÈriÖant la condition
Z 2p
0 jf (x)jp dx < •.
Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par
kf kpp = 1 2p
Z 2p
0 jf (x)jp dx.
De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0,2p].
On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexe pour la norme dÈÖnie par
kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0,2p]g
On peut donc, pour tout p 2 [1, •), considÈrer líensemble, notÈ Lp, des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiques vÈriÖant la condition
Z 2p
0 jf (x)jp dx < •.
Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que
Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par
kf kpp = 1 2p
Z 2p
0 jf (x)jp dx.
De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0,2p].
On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexe pour la norme dÈÖnie par
kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0,2p]g
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On peut donc, pour tout p 2 [1, •), considÈrer líensemble, notÈ Lp, des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiques vÈriÖant la condition
Z 2p
0 jf (x)jp dx < •.
Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par
kf kpp = 1 2p
Z 2p
0 jf (x)jp dx.
De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0,2p].
On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexe pour la norme dÈÖnie par
kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0,2p]g
On peut donc, pour tout p 2 [1, •), considÈrer líensemble, notÈ Lp, des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiques vÈriÖant la condition
Z 2p
0 jf (x)jp dx < •.
Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par
kf kpp = 1 2p
Z 2p
0 jf (x)jp dx.
De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0,2p].
On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexe pour la norme dÈÖnie par
kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0,2p]g
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On peut donc, pour tout p 2 [1, •), considÈrer líensemble, notÈ Lp, des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiques vÈriÖant la condition
Z 2p
0 jf (x)jp dx < •.
Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par
kf kpp = 1 2p
Z 2p
0 jf (x)jp dx.
De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0,2p].
On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexe pour la norme dÈÖnie par
kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0,2p]g
On peut donc, pour tout p 2 [1, •), considÈrer líensemble, notÈ Lp, des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiques vÈriÖant la condition
Z 2p
0 jf (x)jp dx < •.
Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par
kf kpp = 1 2p
Z 2p
0 jf (x)jp dx.
De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0,2p].
On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexe pour la norme dÈÖnie par
kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0,2p]g
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On peut donc, pour tout p 2 [1, •), considÈrer líensemble, notÈ Lp, des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiques vÈriÖant la condition
Z 2p
0 jf (x)jp dx < •.
Une application du ThÈorËme de Riesz-Fischer permet de conclure que Lp est un espace de Banach complexe pour la norme donnÈe par
kf kpp = 1 2p
Z 2p
0 jf (x)jp dx.
De mÍme, on note L• líensemble des (classes de) fonctions de R ! C mesurables 2p-pÈriodiques essentiellement bornÈes sur [0,2p].
On montre Ègalement que L• est un espace de Banach complexe pour la norme dÈÖnie par
kf k• = inf fM > 0 : jf (x)j + M p.p. x 2 [0,2p]g
Cas des fonctions continues.
Lemma
Soit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors
f (x +2p) = f (x) pour tout x 2 R.
Proof.
Líensemble fx 2 R : f (x +2p),f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulle et est donc vide.
On note C líensemble des fonctions de R dans C continues 2p-pÈriodiques.
Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre de Banach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.
Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par
kf k• = supfjf (x)j : x 2 [0,2p]g.
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Cas des fonctions continues.
Lemma
Soit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors
f (x +2p) = f (x) pour tout x 2 R.
Proof.
Líensemble fx 2 R : f (x +2p),f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulle et est donc vide.
On note C líensemble des fonctions de R dans C continues 2p-pÈriodiques.
Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre de Banach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.
Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par
kf k• = supfjf (x)j : x 2 [0,2p]g.
Cas des fonctions continues.
Lemma
Soit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors f (x +2p) = f (x) pour tout x 2 R.
Proof.
Líensemble fx 2 R : f (x +2p),f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulle et est donc vide.
On note C líensemble des fonctions de R dans C continues 2p-pÈriodiques.
Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre de Banach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.
Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par
kf k• = supfjf (x)j : x 2 [0,2p]g.
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Cas des fonctions continues.
Lemma
Soit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors f (x +2p) = f (x) pour tout x 2 R.
Proof.
Líensemble fx 2 R : f (x +2p) ,f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulle et est donc vide.
On note C líensemble des fonctions de R dans C continues 2p-pÈriodiques.
Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre de Banach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.
Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par
kf k• = supfjf (x)j : x 2 [0,2p]g.
Cas des fonctions continues.
Lemma
Soit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors f (x +2p) = f (x) pour tout x 2 R.
Proof.
Líensemble fx 2 R : f (x +2p) ,f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulle et est donc vide.
On note C líensemble des fonctions de R dans C continues 2p-pÈriodiques.
Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre de Banach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.
Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par
kf k• = supfjf (x)j : x 2 [0,2p]g.
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Cas des fonctions continues.
Lemma
Soit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors f (x +2p) = f (x) pour tout x 2 R.
Proof.
Líensemble fx 2 R : f (x +2p) ,f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulle et est donc vide.
On note C líensemble des fonctions de R dans C continues 2p-pÈriodiques.
Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre de Banach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.
Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par
kf k• = supfjf (x)j : x 2 [0,2p]g.
Cas des fonctions continues.
Lemma
Soit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors f (x +2p) = f (x) pour tout x 2 R.
Proof.
Líensemble fx 2 R : f (x +2p) ,f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulle et est donc vide.
On note C líensemble des fonctions de R dans C continues 2p-pÈriodiques.
Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre de Banach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.
Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par
kf k• = supfjf (x)j : x 2 [0,2p]g.
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Cas des fonctions continues.
Lemma
Soit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors f (x +2p) = f (x) pour tout x 2 R.
Proof.
Líensemble fx 2 R : f (x +2p) ,f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulle et est donc vide.
On note C líensemble des fonctions de R dans C continues 2p-pÈriodiques.
Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre de Banach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.
Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par
kf k• = supfjf (x)j : x 2 [0,2p]g.
Cas des fonctions continues.
Lemma
Soit f : R ! C une fonction continue sur R. Si f est 2p-pÈriodique alors f (x +2p) = f (x) pour tout x 2 R.
Proof.
Líensemble fx 2 R : f (x +2p) ,f (x) 6= 0g est un ouvert de mesure nulle et est donc vide.
On note C líensemble des fonctions de R dans C continues 2p-pÈriodiques.
Il est clair que C est une sous-algËbre de Cb (R,C), la C-algËbre de Banach des fonctions de R dans C continues et bornÈes.
Donc C une C-algËbre de Banach dont la norme est donnÈe par kf k• = supfjf (x)j : x 2 [0,2p]g.
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Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant
en (x) = einx pour tout x 2 R. Il est bien clair que
en 2 C pour tout n 2 Z.
On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.
P = Vectfen : n 2 Zg.
DeÖnition
Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.
Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant
en (x) = einx pour tout x 2 R.
Il est bien clair que
en 2 C pour tout n 2 Z.
On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.
P = Vectfen : n 2 Zg.
DeÖnition
Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.
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Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant
en (x) = einx pour tout x 2 R.
Il est bien clair que
en 2 C pour tout n 2 Z.
On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.
P = Vectfen : n 2 Zg.
DeÖnition
Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.
Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant
en (x) = einx pour tout x 2 R.
Il est bien clair que
en 2 C pour tout n 2 Z.
On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.
P = Vectfen : n 2 Zg.
DeÖnition
Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.
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Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant
en (x) = einx pour tout x 2 R.
Il est bien clair que
en 2 C pour tout n 2 Z.
On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg.
P = Vectfen : n 2 Zg.
DeÖnition
Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.
Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant
en (x) = einx pour tout x 2 R.
Il est bien clair que
en 2 C pour tout n 2 Z.
On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg. P = Vectfen : n 2 Zg.
DeÖnition
Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.
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Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant
en (x) = einx pour tout x 2 R.
Il est bien clair que
en 2 C pour tout n 2 Z.
On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg. P = Vectfen : n 2 Zg.
DeÖnition
Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.
Pour tout n 2 Z, on dÈÖnit une fonction en : R ! C en posant
en (x) = einx pour tout x 2 R.
Il est bien clair que
en 2 C pour tout n 2 Z.
On note P le sous-espace vectoriel de C engendrÈ par fen : n 2 Zg. P = Vectfen : n 2 Zg.
DeÖnition
Les vecteurs de P sont appelÈs polynÙmes trigonomÈtriques.
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Le lien entre tous ces espaces.
Lemma
Soient p,q 2 [1,•] tels que p < q. Alors
P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.
De plus,
kfkp + kfkq pour tout f 2 Lq.
Proof.
Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 de líExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).
On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule de Chasles suivie díun changement de variables,
Z a+2p
a f (x)dx =
Z 2p
0 f (x)dx pour tout a 2 R.
Le lien entre tous ces espaces.
Lemma
Soient p,q 2 [1,•] tels que p < q. Alors
P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.
De plus,
kfkp + kfkq pour tout f 2 Lq.
Proof.
Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 de líExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).
On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule de Chasles suivie díun changement de variables,
Z a+2p
a f (x)dx =
Z 2p
0 f (x)dx pour tout a 2 R.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 7 / 49
Le lien entre tous ces espaces.
Lemma
Soient p,q 2 [1,•] tels que p < q. Alors
P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1. De plus,
kfkp + kfkq pour tout f 2 Lq.
Proof.
Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 de líExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).
On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule de Chasles suivie díun changement de variables,
Z a+2p
a f (x)dx =
Z 2p
0 f (x)dx pour tout a 2 R.
Le lien entre tous ces espaces.
Lemma
Soient p,q 2 [1,•] tels que p < q. Alors P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.
De plus,
kfkp + kfkq pour tout f 2 Lq.
Proof.
Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 de líExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).
On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule de Chasles suivie díun changement de variables,
Z a+2p
a f (x)dx =
Z 2p
0 f (x)dx pour tout a 2 R.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 7 / 49
Le lien entre tous ces espaces.
Lemma
Soient p,q 2 [1,•] tels que p < q. Alors P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.
De plus,
kfkp + kfkq pour tout f 2 Lq.
Proof.
Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 de líExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).
On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule de Chasles suivie díun changement de variables,
Z a+2p
a f (x)dx =
Z 2p
0 f (x)dx pour tout a 2 R.
Le lien entre tous ces espaces.
Lemma
Soient p,q 2 [1,•] tels que p < q. Alors P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.
De plus,
kfkp + kfkq pour tout f 2 Lq.
Proof.
Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 de líExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).
On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule de Chasles suivie díun changement de variables,
Z a+2p
a f (x)dx =
Z 2p
0 f (x)dx pour tout a 2 R.
Karim Boulabiar (Dauphine j Tunis) SÈries de Fourier Avril 2020 7 / 49
Le lien entre tous ces espaces.
Lemma
Soient p,q 2 [1,•] tels que p < q. Alors P ( C ( L• ( Lq ( Lp ( L1.
De plus,
kfkp + kfkq pour tout f 2 Lq.
Proof.
Cíest une consÈquence immÈdiate des rÈsultats des Questions 2 et 3 de líExercice 3 de la Feuille 2 (sur les Espaces Lp).
On note au passage que si f 2 L1 alors, en appliquant la formule de Chasles suivie díun changement de variables,
Z a+2p
a f (x)dx =
Z 2p
0 f (x)dx pour tout a 2 R.
