1 Rappel : Analyse de Fourier •

1 Rappel : Analyse de Fourier

• Revoir le TP sur l’analyse de Fourier vous aidera `a r´efl´echir `a toute situation o`u on demande de transformer un signal. En particulier se rappeler que tout signal se d´ecompose en une composante continue qui en est sa moyenne temporelle , une composante dite fondamentale et en diff´erentes composantes dites harmoniques de fr´equences multiples entiers du fondamental. Connaˆıtre le spectre d’un cr´eneau et d’un triangle.

2 Rappel : Pr´ ecision des appareils

• Appliquer une amplitude s₀ de 800mV `a l’oscillo. D´eterminer la pr´ecision `a laquelle on connaˆıt s₀. Est-ce suffisant ?

• R´epL’oscillo donne une amplitude qui bouge d’environ 2 pour cent. De mˆeme un multim`etre num´erique indique un nombre qui bouge de 2 pour cent. Cela peut paraˆıtre suffisant comme pr´ecision.

3 Classique : Mesure de la r´ esistance interne d’un g´ en´ erateur

• La m´ethode dite de la tension moiti´e consiste `a visualiser la tension aux bornes du g´en´erateur `a vide , puis de brancher le g´en´erateur sur une r´esistance variable, de faire varier celle-ci jusqu’`a obtenir `a l’oscillo la tension moiti´e de la pr´ec´edente. Alors par simple application de lois d’Ohm on montre que la valeur de la r´esistance variable est ´egale `a celle du g´en´erateur.

4 TP donn´ e aux Mines Ponts en 2017 , retour d’un ´ el` eve

Le TP portait sur l’oscillateur de Wien (rappel ( BF suivi de R en s´erie avec C puis en sortie (R//C)) . On avait acc`es au mat´eriel classique ; les mod`eles ´etaient diff´erents donc il fallait prendre le temps de se familiariser avec eux et ne pas h´esiter `a demander `a l’examinateur de nous montrer o`u se trouver des fonctions comme XY par exemple (pas de notice fournie). Il n’h´esitent pas `a r´epondre mais posent toujours une petite question pour s’assurer qu’on comprend ce qu’on fait. (Pour le mode XY, l’examinateur m’a demand´e o`u se trouvait g´en´eralement le bouton XY. La r´eponse qu’il attendait ´etait qu’on le trouvait dans la configuration des ´echelles de temps).

Le sujet ´etait sous formes de questions (18 ou 19 en tout) ce qui facilite plutˆot la r´edaction du compte- rendu. L’AO ´etait d´ej`a branch´e. (On pouvait faire varier son gain en tournant un petit bouton).

Il fallait pour les premi`eres questions proposer un protocole pour d´eterminer le gain max et min de l’AO et le r´ealiser, puis tracer `a tr`es basse fr´equence la courbe Vs=f(Ve) et montrer qu’il existe deux tensions de saturation not´ees V+ et V- .

La deuxi`eme partie s’int´eressait au filtre de Wien en tant que passe-bande. Il fallait d´eterminer sans calcul sa nature, puis calculer la fonction de transfert, d´eterminer la fr´equence pour laquelle la fonction de transfert est r´eelle, connaˆıtre la relation entre bande passante facteur de qualit´e Q et f₀ , d´eterminer exp´erimentalement f0 etQetc ..

La troisi`eme partie se proposait de brancher cette fois-ci l’AO en plus. On montrait exp´erimentalement que la fr´equence propre n’´etait plus f0 mais qu’elle lui ´etait un peu inf´erieure. Le sujet donnait une fonction de transfert pour l’AO qu’il faut ensuite exploiter. Les calculs n’´etaient pas durs mais il fallait savoir que les fonctions de transferts se ”multiplient” entre elles.

Je ne me souviens plus en d´etail du reste mais il y avait un trac´e de diagramme de Bode. Il fallait aussi expliquer comment on pouvait obtenir un filtre d´erivateur, `a quelles fr´equences, pour quelles valeurs

de composants etc .. Il y avait une partie sur l’´etude du syst`eme en oscillateur mais je n’y suis pas arriv´e.

On avait acc`es `a regressi.

5 Extrait : construire un moyenneur : Centrale 2015

• A partir d’un signal redress´e bi-alternance , proposer un montage qui en donne la moyenne.

• R´eponse : Faire un passe -bas qui coupe largement la fr´equence du signal : circuit (R,C) aux bornes de C avec f_c = 1/2πRC < f_signal ; Rq on peut obtenir directement la moyenne d’un signal avec un multim`etre ou un oscilloen mode DC

6 Extrait : Passer de 220 V ` a 5 V : Centrale 2015

• Proposer un moyen

• R´eponse : par un transformateur , ¸c-`a-d deux bobines en mutuelle influence par un noyau de fer qui les enlace , le rapport de tensions est celui du nombre de spires des bobines

7 Extrait : Mesure d’une constante de temps : Mines-Ponts 2015

• Observer la charge d’un condensateur aliment´e par un ´echelon de tension (circuit de baseRC). Mesurer la constante de temps.

• R´eponse : la constante de temps τ s’obtient sachant que la dur´ee d’´etablissement de 0,9Umax corre- spond `a τ ln10 (savoir le d´emontrer).

8 TP CCP donn´ e en 2014 : Etude d’un circuit RLC s´ erie

• Mat´eriel : Bobine d’inductance L= 0,018H de r´esistance r,C = 1µF,R= 20 Ω, g´en´erateur basse fr´equence de r´esistance interne de 50 Ω, multim`etre, oscillo, ordinateur. On consid`ere un circuitRLC s´erie.

• Questions

– 1) Mesurer la valeur r de la r´esistance de la bobine au multim`etre.

– 2) Exprimer l’imp´edance Z(ω) du circuit. Pour quelle fr´equence |Z(ω)|est minimale ?

– 3) Soient e(t) la tension du g´en´erateur et i(t) l’intensit´e du courant, v(t) la tension aux bornes de la r´esistance. Avec des fr´equences bien choisies, relever les valeurs des amplitudes de E(ω), V(ω) et I(ω)

– 4) Tracer |Z(f)|en fonction de la fr´equence. Commenter.

– 5) Quelle est la valeur de Z(f) `a la r´esonance ? – 6) Trouver r. Commenter

– 7) Quelle doit ˆetre la valeur du d´ephasage entree(t) eti(t) `a la r´esonance ? V´erifier `a l’observation.

– 8) Trouver ∆ftel quee(t) eti(t) soient d´ephas´es deπ/4. Mesurer le facteur de qualit´eQ=f₀/∆f.

Evaluer l’incertitude sur la mesure de Q. Comparer la valeur mesur´ee avec la valeur calcul´ee en th´eorie.

– 9) Observer l’amplitude du g´en´erateur au voisinage de la r´esonance. Expliquer.

• R´eponses

– 1)r est de l’ordre de 3 Ω

– 2)Z = (R+r) +j(Lω−1/Cω) et |Z(ω)|=p

(R+r)²+ (Lω−1/Cω)²

– 3) S’assurer de placer la r´esistance en dernier dans le circuit , ¸c-`a-d reli´ee `a la masse duBF afin de mesurer correctement v(t). On lit `a l’oscillo les amplitudes des tensions aux bornes du BF soitE et aux bornes de R soitV. On calculeI par la loi d’Ohm : V =RI.

– 4) On calcule | Z |= E/I . On constate que le trac´e de |Z(f) | passe par un minimum en f0

fr´equence o`u V est max.

– 5)Z(f₀) =R+r

– 6) On d´eduit r de la valeur minimale connue Z(f0). On peut trouver un tout petit peu plus que la r´esistance mesur´ee pour l’inductance, qu’on peut attribuer `a la r´esistance des fils de connexion. Toute autre valeur exp´erimentale trouv´ee plus grande provient probablement d’une mesure effectu´ee hors r´esonance.

– 7) . D´ephasage nul car Z est r´eel. On v´erifie que lors du maximum de V on a bien e et v en phase. On le v´erifie plus pr´ecis´ement en se pla¸cant en position XY, la courbev en fonction dee est une droite et non plus une ellipse.

– 8) Il s’agit de trouver la fr´equence pour laquelle e et i (ou v qui a la mˆeme phase que i) sont d´ephas´es de ±π/4. e = Zi donne aussi Ee^iϕ = ZI soit tanϕ = Im(Z)/Re(Z) ; tanϕ = 1 si ϕ=π/4. Donc Im(Z) =Re(Z) =R+r , donc|Z |=√

2(R+r). Il suffit de reprendre le trac´e graphique de |Z(f)|et de voir en quelles fr´equences on a√

2(R+r). Cela donne ∆f avec une incertitude estim´ee personnellement ∆(∆f). On calculeQ=f₀/∆f. L’incertitude surQest (par diff´erentiation logarithmique et calcul d’incertitude) ∆Q/Q=p

(∆f /f)²+ (∆(∆f)/∆f)² . La valeur th´eorique estQ= _R+r¹

L

qL

C. Rq: d’habitude ∆f est d´efinie par l’intervalle correspondant

`

a G = G_max/√

2. Cela correspond aussi `a un d´ephasage de π/4 entre e et i. En effet, H =

(R+rL)i

uBF = ¹

1+j^Lω−

1 Cω R+rL

conduit `a tanϕ= ^Lω−

1 Cω

R+rL et tanϕ= ±1 pour la mˆeme ´equation en ω que lorsqu’on part de G=G_max/√

2.

– 9) L’amplitude e chute `a la r´esonance car e =e<sub>g</sub>−r<sub>g</sub>i et comme `a la r´esonance i devient fort, cela fait chuter e`a cause de la chute ohmique aux bornes de la r´esistance interne du g´en´erateur.

9 TP CCP 2014 variante sur l’´ etude d’un circuit RLC s´ erie

• Mat´eriel : Bobine avec noyau de fer doux, une r´esistance R = 100 Ω, un condensateur C = 1µF, un g´en´erateur, oscillo, maispas de multim`etre. On consid`ere un circuitRLC s´erie.

• Questions

– 1) Exprimer Z(ω) l’imp´edance totale du circuit.

– 2) Quelle condition a-t-on `a la r´esonance ? Donner sans d´emonstration l’expression du facteur de qualit´eQ en fonction de R_totale,LetC.

– 3) On cherche `a ´etalonner la bobine en fonction de l’enfoncementxdu noyau de fer doux. Tracer L(x). On cherchera `a chaque fois `a se placer `a la r´esonance.

– 4) On remplace le condensateur par un autre de capacit´e inconnue C⁰. On impose la fr´equence 880Hz. D´eterminer la valeur deC⁰.

• R´eponses

– 1)Z(ω) =Rtotale+j(Lω−1/Cω)

– 2) A la r´esonance u_C +u_L = 0. Alors u_e = u_R ¸c-`a-d la tension aux bornes de R et la tension d’entr´ee sont en phase. Le facteur de qualit´e estQ= _R ¹

totale

qL C.

– 3) A chaque emplacement x, on fait varier la fr´equence pour se situer `a la r´esonance; celle-ci est obtenue lorsque tension d’entr´ee et tension aux bornes de R sont en phase, ¸c-`a-d quand on observe une droite en XY. On connaˆıt la formuleL(x)Cω² = 1 ; elle permet de calculer L(x).

– 4) Maintenant la fr´equence est impos´ee; on ne peut plus y toucher. Il s’agit donc , avec le nouveau condensateur de trouver la positionxdu noyau de fer doux qui donne la r´esonance. Par la courbe deL(x) trac´ee pr´ec´edemment ; de cette valeurxon d´eduit la valeur deL(x) correspondante. Puis on calcule C⁰ par la formule L(x)C⁰ω²= 1. (L’´el`eve a trouv´e C⁰= 52 nF).

10 Couplage par capacit´ e (CCP 2014)

C= 0,5µF etLinconnue (les bobines de 18mH conviennent, on fait semblant de ne pas connaˆıtre leur valeur). Pour les calculs th´eoriques demand´es, on consid`ere que la r´esistance de l’inductance est n´egligeable .

1) Si on d´efinit les fr´equences propres de ce mon- tage par celles qui annulent l’imp´edance vue par le BF, montrer que les fr´equences propres du circuit sont : f0 = ¹

2π√

LC etf1= ¹

2π√ LC

q 1 +^2C_Γ

2) Faire le montage. (Prendre une inductance en faisant semblant de ne pas la connaˆıtre !).

3) Pour Γ = 0,5 µF, mesurer f1. On montrera

que cette fr´equence correspond `a une valeur maximale de tension aux bornes de Γ.

4) Mesurerf₁ pour diff´erentes valeurs de Γ.

5) Tracerf₁² en fonction de 1/Γ.

6) D´eterminer L. Estimer une incertitude de mesure.

• R´eponses : 1)Z =Z_LC+ ¹

jΓω+_ZLC¹ =Z_LC(1 +_1+jΓZ¹

LCω). Z = 0 siZ_LC = 0 ou 1 +jΓZ_LCω =−1. La premi`ere condition conduit au classique ω<sub>0</sub> = 1/LC et la deuxi`eme condition `a jΓω(Z_L+Z_C) =−2,

¸

c-`a-d `a Γω²−Γ/C = 2. On obtient bien les fr´equences propres signal´ees.

5) et 6) Le trac´e def₁² en fonction de 1/Γ donne une droite de pente _2π¹2L. Le calcul de cette pente conduit donc `aL. L’incertitude de mesure sera donn´ee par l’incertitude sur la pente.

11 Couplage par mutuelle inductance (CCP 2014)

1)a) Soit un circuit comportant un condensateur C = 0,1 µF et une bobine en s´erie. Le circuit est aliment´e par un g´en´erateur de tension r´eel de r´esistancer. La fr´equence estf. Exprimer la fr´equence propre f₀ de ce circuit en fonction de LetC.

1)b) Mesurerf0en indiquant votre m´ethode et en d´eduire la valeur de L.

2)a) On applique une mutuelle inductance M entre deux cir- cuits. Montrer que les fr´equences propres sont f₁ = √ ^f0

1−M/L et f2 = √ ^f0

1+M/L.

2)b) Exprimer Z(ω) aux bornes du g´en´erateur en fonction de L, M,C et ω.

2)c) R´ealiser le montage et le faire v´erifier.

2)d) Mesurer f₁ etf₂ et en d´eduire la valeur de M.

• R´eponse : 1)a) La fr´equence propre d’un circuit (L, C) est f₀ =ω₀/2π avec ω₀ = 1/√ LC.

1)b) Ne pas oublier que la bobine a une r´esistance rL. Mais celle-ci est faible et donc le facteur de qualit´e du circuit (rL, L, C) est tr`es grand (Q= _r¹

L

qL

C). Du coup la tension aux bornes deCpr´esente certainement une r´esonance qui se place tr`es pr`es de f₀ (th´eoriquement cette r´esonance est possible pour Q >1/√

2 et se situe `a f_r =f₀p

1−1/2Q²). Par cons´equent en pr´elevant aux bornes de C on obtient avec une bonne approximation la valeur de f0 lorsque la tension aux bornes de C passe par un maximum.

2)a) Soient i₁ eti₂ les courants circulant dans chaque maille (choisis descendants dans chaque induc- tance). Soitu la tension aux bornes duBF. La loi des mailles donne le syst`eme :

u = _jCω¹ i₁+jLωi₁+jM ωi₂ et 0 = _jCω¹ i₂ +jLωi₂+jM ωi₁. Les fr´equences propres correspondent

`

a des intensit´es maximales. Elles le seront pour un d´eterminant nul puisque celui-ci apparaˆıt au d´enominateur pour les solutions de ce syst`eme. Ce d´eterminant vaut (_jCω¹ )²+ (M ω)² . La condition pour qu’il soit nul est Lω−_Cω¹ =±M ω. Ceci conduit aux fr´equences indiqu´ees. f1 etf2.

2)b) Il faut arriver `au=Zi1. On est donc amen´e `a exprimeri2 en fonction dei1 et de remplacer dans l’expression ci-dessus de u. On trouve alors : Z = _jCω¹ +jLω−j_L−1/Cω^M2ω 2.

2)d) Les mesures de f₁ et f₂ s’obtiennent quand la tension aux bornes du condensateur (n’importe lequel ) est maximale.

12 Pont et Etude d’un coupe-bande (Centrale 2014)

Le candidat a malheureusement laiss´e peu de valeurs des composants, mais le plus grand int´erˆet est de faire les calculs demand´es et d’imaginer le proc´ed´e exp´erimental

A) P, Q et ρ sont des r´esistances variables. γ est une ca- pacit´e variable. Dest un oscillo. On cherche `a mesurer r etL d’une bobine inconnue.

1) Pourquoi utilise t-on un transfo d’isolement ?

2) Trouver les relations entre r, L, P, Q, γ et ρ pour V₁ =V₂ = 0.

3) On fixe librementP etQ; jouer exp´erimentalement sur γ etρ pour trouver la situation pr´ec´edente. En d´eduirer etL.

• R´eponse : 1) On ne peut pas avoir deux masses diff´erentes dans le circuit. Comme on a deux appareils branch´es sur le secteur, leBF et l’oscillo, ils imposent leur borne noire `a la masse. Si ces deux bornes noires sont s´epar´ees par des ´el´ements passifs dans le circuit, alors cela les court-circuite, c’est comme s’ils n’existaient pas. Le transfo d’isolement branch´e sur leBF permet de s’affranchir de sa masse.

2) Si on reconnaˆıt un pont , il est bon de se rappeler la condition pour avoir la tension nulle aux bornes de D: le produit ”crois´e” des imp´edances est ´egal, ¸c-`a-d ici : (r+jLω)Z<sub>γ//P</sub> =P Q. Pour la d´emonstration, on remarque d’abord que le courant est nul dans D puisque la ddp `a ses bornes est nulle ce qui montre que r, L, Qconstitue une branche parcourue par le mˆeme courant. De mˆeme pour l’autre cˆot´e. Soit Ale point commun `ar etP, etB le point commun `a Qetρ. V_A−V₂ =V_A−V₁ et V2−VB =V1−VB. On applique alors le diviseur de tension : _r+jLω+Q^r+jLω e= _P+Z^P

γ//Peet _r+jLω+Q^Q e=

Zγ//P

P+Z_γ//Pe. Le calcul de Z_γ//P permet d’aboutir finalement `a (r+jLω)ρ=P Q(1 +jργω).

3) Partie th´eorique : ´egaliser les parties r´eelle et imaginaire : rρ = P Q et Lωρ = P Qργω, d’o`u r =P Q/ρ etL=P Qγ.

13 Analogie Fluide-Elec (CCP 2014)

1) Exp´erience `a 1 tube

Seul le premier tube initialement vide est reli´e au r´ecipient, R₂ est ferm´e. Mesurer en fonction du temps la hauteur h1 dans le tube.

Montrer queh_eq1−h₁ suit une loi exponentielle o`uh_eq1 est la hauteur

`

a l’´equilibre. Trouver son temps caract´eristique.

2) Exp´erience `a 2 tubes

Cette fois les deux tubes sont initialement vides et on ouvre tous les robinets, le fluide s’´ecoule dans les deux tubes. Mesurer en fonction du temps les hauteurs h1 et h2. Montrer que heq2 −h2 suit une loi exponentielle.

3) Analogie ´electrique

Quelle tension de BF fournir au circuit RC afin de mod´eliser l’exp´erience `a 1 tube ? Construire ce circuit.

R´ep. Il suffit de tracer ln(h_eq1−h₁) en fonction du temps ; la courbe doit ressembler `a la charge d’un condensateur dans un circuit RC ; la constante de temps τ s’obtient sachant que la dur´ee d’´etablissement de 0,9U<sub>max</sub> correspond `a τ ln10. Le BF doit d´elivrer une tension ´echelon.