MN51_FIN_A19
UTBM
MN51
: MODELISATION DES STRUCTURES PAR ELEMENTS FINIS________________________________________________________________________
EXAMEN FINAL 13 janvier 2020 10h30 – 12h30 P131
Les notes de cours et TD, et les calculatrices sont autorisées.
Automne
2019
M.Domaszewski, F.Peyraut________________________________________________________________________
Page 1/4 Sujet 1 (8 points) :
Déterminer le système K u = f pour la plaque illustrée à la Fig.1. On considère la moitié de la plaque avec un maillage avec 4 éléments à 4 nœuds (éléments carrés de dimension a). Tenir compte de la symétrie, et de la numérotation des nœuds et des éléments.
On rappelle la matrice de rigidité élémentaire de plaque à la page suivante.
P
3
10
1
2
3
Fig. 1
P
1
2 4
5 7
6
8
9
4
encastré appui simple
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Page 2/4
0 0 1
0 0
15
0 0
0 0 0
0 0 0
e
SA SB SC SD SE SF
SG SH SA
SI SJ SB SC
SH SJ SM SD SE SF
K ab SN SO SP SQ SA
SR SS ST SU SB SC
SO SS SX SQ SU SY SD SE SF
SP SQ SN SO SG SH SA
ST SU SR SS SI SJ SB SC
SQ SU SY SO SS SX SH SJ SM SD SE SF
−
−
−
=
− − − − −
− −
− −
− − − − − −
Sujet 2A (4 points) :
Considérons un élément de barre à 3 nœuds et 1 ddl par nœud, avec un chargement axial réparti q=const (Fig. 2A). Les coordonnées des nœuds sont les suivantes : x1=–1, x2=0, x3=1.
On rappelle les fonctions de forme d’un élément de barre à 3 nœuds, dans le repère de référence ξ1=–1, ξ2=0, ξ3=1 : N1= ½(ξ2 – ξ), N2= ½(2 – 2ξ2), N3=½ (ξ2 + ξ).
REMARQUE : le repère de l’élément réel en x est le même que le repère de référence en ξ. Donc, il n’y a pas besoin de faire un changement de variable, c’est-à-dire ξ=x.
• Calculer les trois forces nodales équivalentes.
• Est-ce que ces forces sont identiques ? Pourquoi ?
• Vérifier que la somme de ces trois forces est correcte.
Sujet 2B (4 points) :
Considérons un assemblage de 2 éléments de barre, chacun à 2 nœuds et 1 ddl par nœud, avec un chargement axial réparti q=const (voir Fig. 2B). Les coordonnées des nœuds sont les suivantes : x1=–1, x2=0, x3=1.
On rappelle les fonctions de forme d’un élément de barre à 2 nœuds, dans le repère de référence –1≤ ξ≤1 : N1= ½(1– ξ), N2= ½(1 + ξ).
• Faire un changement de variable et exprimer ξ en fonction de x pour chaque élément pour pouvoir utiliser ces fonctions de forme.
• Calculer les trois forces nodales équivalentes.
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• Est-ce que ces forces sont les mêmes que les forces calculées dans le Sujet 2A ? Pourquoi ?
Fig. 2A : 1 élément à 3 noeuds
x =
1 Fig. 2B
1 2
q
3-1 0 1
1 2
-1 1
1 élément de référence -1 ≤ ≤ 1
x
1 2
q
32 1
2
1
+
1 2 2 3
Assemblage de 2 éléments en repère réel en x :
q q
-1 0
-1 0 0 1
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Page 4/4 Sujet 3 (4 points) :
Choisir la bonne réponse :
ECRIRE VOS REPONSES SUR LA FEUILLE D’EXAMEN
1. L’élément triangulaire à 3 nœuds CST pour les problèmes d’élasticité 2-D possède une caractéristique suivante :
A. les déformations sont linéaires dans l’élément.
B. les contraintes sont constantes dans l’élément.
2. L’élément triangulaire à 6 nœuds LST pour les problèmes d’élasticité 2-D possède une caractéristique suivante :
A. les contraintes sont linéaires dans l’élément.
B. les déplacements sont constants dans l’élément.
3. L’élément de plaque à 4 nœuds et 3 ddl par nœud assure la continuité A. des pentes.
B. des flèches.
4. La méthode implicite d’analyse dynamique est A. inconditionnellement stable.
B. conditionnellement stable.
