T n, ...) sontelles du ours.

Logique

Examen du 4 janvier 2006

(durée: 3 heures)

Les notations utilisées(fontion d'énumération

ϕ ⁿ

^{, prédiat}

T ⁿ

^{, ...) sontelles du ours.}

Exerie 1 (réursivité). 1. Rappeller brièvement pourquoi tout sous-ensemble

A

de

N

est réursif inni si et seulement s'il est l'image d'une fontion réursive stri- tement roissante de

N → N

.

2. Montrer qu'il existe une fontion

α

^{réursive totale telle}

ϕ _α(i)

^{est dénie sur le plus}

grand segment initialde

N

sur lequel

ϕ i

^{est stritementroissante, et égale à}

ϕ i

^sur

e segment.

3. Montrer qu'il existe une fontion réursive totale

β

^{telle que:}

Im ϕ i = W _β(i) .

4. En déduire qu'il existe une fontion réursive totale

γ

^{telle que}

W _γ(i) / i ∈ N

est lalasse de tous lessous-ensembles réursifs de

N

.

5. L'ensembledes indiesdes sous-ensembles réursifsde

N

est-ilréursivementénumé- rable?

Exerie 2 (réursivité,rédution, hiérarhie arithmétique). Onrappelleque

K = {i ∈ N / ϕ(i, i) ↓}

^est

Σ 1

^{-omplet, et que}

C = {i ∈ N / ∀x ϕ i (x) ↓}

^est

Π 2

^{-omplet. On}

dénit pour tout entier

j ∈ N

, l'ensemble

A j = {i ∈ N / W i ⊃ W j }

^.

1. Montrer que pour tout

j

^,

A j

^est

Π 2

^{. Montrer qu'ilexiste}

j

^{tel que}

A j

^{ne soitpas}

Π 2

omplet.

2. Montrer que, si

W j

^{est non vide,}

K

^{se réduit à}

A j

^.

3. Montrer que, si

W j

^{est ni non vide,}

A j

^est

Σ 1

^-omplet.

4. Construire une fontion réursive totale

β

^{telle que si}

W i 6= N

,

W _β(i)

^{est ni, sinon}

W β(i) = N

.

5. Montrer que, si

W j

^{est inni,}

A j

^est

Π ₂

^-omplet.

Exerie 3 (arithmétique). Soit

S

^unethéoriearithmétique(lesformules

Σ

^vraiesdans

N

sontdémontrablesdans

S

^),réursivementaxiomatisable,et

Σ

^{-ohérente(les formules}

Σ

démontrables dans

S

^{sont vraies dans}

N

). Le but de l'exerie est de montrer qu'il existe des mahines (à registres) dont le alul termine pour haque entrée, mais dont l'arrêt

n'est pas prouvable dans

S

^{. La syntaxe est supposée odée ommeen ours. Les diverses}

fontions de odages vues en ours sont supposées onnues.

1. Montrer qu'ilexiste une formule

Σ 1

^{du langagede}l'arithmétique à3variableslibres, soit

T [x 1 , x 2 , x 3 ]

^{, telle que :}

⊢ S T [i/x 1 , n/x 2 , d/x 3 ]

^ssi

T ¹ (i, n, d) .

2. Montrer que la fontion

f

^de

N

dans

N

, qui à

i

^{assoie le ode de la formule}

∀x ₂ ∃x ₃ T [i/x 1 ]

^{est réursive totale.}

3. Soit

I

^{, l'ensembledes indiesde mahinesdont l'arrêt est prouvable dans}

S

^:

I = {i ∈ N / ⊢ S ∀x 2 ∃x 3 T [i/x 1 ]} .

Montrer que

I

^est réursivement énumérable.

4. Montrer que lesentiers de

I

^{sont tous des odes de fontionsréursives totales.}

5. Montrer qu'il existe une mahine qui termine pour haque entrée mais dont l'arrêt

n'est pas prouvable dans

S

^.

6. Déduiredeequipréède(sansutiliserlethéorèmedeGödel)l'existened'unénoné

vrai dans

N

non prouvable dans

S

^{, etque et énoné peut être hoisi}

Π 2

^.

7. Montrer qu'ilexiste un énoné

A

^{une variablelibre}

x

^{telle que}

6⊢ S ∀x A

^{etpour tout}

entier

n

^,

⊢ S A[n/x]

^.

Exerie 4 (omplexité). OnonsidèreleproblèmeduSACADOSennombresentiers.

•

^{Donnée : lesentiers}

c 1 , c 2 , ..., c n

^et

K

^.

•

^{Question :} existe-t-il des entiers

x ₁ , x ₂ , ..., x n

^{tels que}

P n

i=1 c i x i = K

^?

1. Ahaqueinstane

(c ₁ , c ₂ , . . . , c n ; K)

^{duproblèmeduSACADOSennombresentiers,}

on assoie un graphe orienté

G(c 1 , c 2 , ..., c n ; K )

^{déni par les ensembles de sommets}

E

^etd'arêtes

R

^{suivants :}

• E = {0, 1, ..., K }

^.

• R = {(m, k) : 0 6 m < k 6 K

^{etil existe}

1 6 j 6 n

^{tel que}

k − m = c j }

^.

Montrer qu'il existe un hemin de

0

^à

K

^{dans le graphe}

G(c 1 , c 2 , ..., c n ; K)

^{si et}

seulement si l'instane

(c 1 , c 2 , ..., c n ; K)

^{du problème du SAC A DOS possède une}

solution.

2. En déduire que le problème du SAC A DOS peut être résolu par un algorithme de

omplexitéen temps

O(nK )

^.

3. Le résultat préédent est-il en ontradition ave le fait que le problème du SAC A

DOS soit

N P

^{-omplet(résultat quel'on admettra)?}