Calcul différentiel - Cours 15. Damien Gayet

Calcul diff´erentiel - Cours 15

Damien Gayet

Film 3 corps

D´efinition. Soit nPN. Une ´equation diff´erentielle lin´eaire (EDL)d’ordre nen une fonction r´eelleest une ´equation de la forme

y^pnqptq an1ptqy^pn1qptq a0ptqyptq bptq, (E) o`u

@kP t0, , n1u, a_k:I €R Ñ R b:I €R Ñ R

sont des applicationsC⁰, avec I une r´eunion d’intervalles, et l’inconnue est

y:J €I ÑR une fonction r´eelleCⁿ.

Sipα₀, , α_n1q PRⁿ ett₀PI, Le probl`eme de Cauchy associ´e est de trouver une solutiony telle que

@kP t0, , n1u, y^pkqpt₀q α_k. Proposition.

1. Ce syst`eme diff´erentiel d’ordrenest ´equivalent `a une

´

equation diff´erentielle vectorielle d’ordre 1 !

2. Les probl`emes de Cauchy correspondent naturellement.

D´emonstration. Soit

Φ :CⁿpI,Rq Ñ C⁰pI,Rⁿq

y ÞÑ y, y¹, , y^pn1q On constate que si

Aptq

0 1 0 0

0 0 1 . . . 0

... ... 0 1 ...

0 0 0 0 1

a0ptq a1ptq an1ptq

PMnpRq,

et si

Bptq ^t 0, ,0, bptq , la fonctiony satisfait (E) ssi Y Φpyq satisfait

Y¹ AptqY Bptq.

V´erification pour n2.L’´equation est y² a₁y¹ a₀yb.

AvecY ^tpy, y¹q, Aptq

0 1

a0ptq a1ptq

PM2pRq etBptq 0

bptq

, On a

AY Bptq ^tpy¹,a0ya1y¹q p0, bptqq py¹, y²q Y¹.

De plus, soitY0 pα0, , αn1q PRⁿ ett0 PI. Il existe une unique solutionY satisfaisant Ypt0q Y0, donc une unique solutiony de l’EDL de degr´e nsatisfaisant

@kP t0, , n1u, y^pkqpt0q α_k.

Le pendule lin´eaire, amorti et forc´e. L’angle direct θ que fait un pendule de longueurL et de massem avec pOyq satisfait

θ²ptq kθ2αθ¹ βcospωtq,

k _L^g ¡0, α¥0 et β, ω¡0. Le terme2αθ¹ est dˆu au frottement,βcospωtq dˆu au for¸cage.

Soit avecY pθ, θ¹q, Y¹

0 1 k 2α

Y

0

βcospωtq

Le pendule lin´eaire, amorti et forc´e. L’angle direct θ que fait un pendule de longueurL et de massem avec pOyq satisfait

θ²ptq kθ2αθ¹ βcospωtq,

k _L^g ¡0, α¥0 et β, ω¡0. Le terme2αθ¹ est dˆu au frottement,βcospωtq dˆu au for¸cage.

Soit avecY pθ, θ¹q, Y¹

0 1 k 2α

Y

0

βcospωtq

Le pendule lin´eaire, amorti et forc´e. L’angle direct θ que fait un pendule de longueurL et de massem avec pOyq satisfait

θ²ptq kθ2αθ¹ βcospωtq,

k _L^g ¡0, α¥0 et β, ω¡0. Le terme2αθ¹ est dˆu au frottement,βcospωtq dˆu au for¸cage.

Soit avecY pθ, θ¹q, Y¹

0 1 k 2α

Y

0

βcospωtq

Le pendule lin´eaire, amorti et forc´e. L’angle direct θ que fait un pendule de longueurL et de massem avec pOyq satisfait

θ²ptq kθ2αθ¹ βcospωtq,

k _L^g ¡0, α¥0 et β, ω¡0. Le terme2αθ¹ est dˆu au frottement,βcospωtq dˆu au for¸cage.

Soit avecY pθ, θ¹q, Y¹

0 1 k 2α

Y

0

βcospωtq

Les EDL ` a coefficients constants.

Consid´erons l’EDL

Y¹ AY B,

avecAPMnpRq, tandis que B peut ˆetre encore variable.

Rappelons qu’en dimensionn1, l’ensemble des solutions de l’´equation homog`ene (H)y¹ ay, avec aPR, associ´ee (b0)

y¹ ay est

SH Re^at.Peut-on d´efinir quelque chose comme expptAq?

Les EDL ` a coefficients constants.

Consid´erons l’EDL

Y¹ AY B,

avecAPMnpRq, tandis que B peut ˆetre encore variable.

Rappelons qu’en dimensionn1, l’ensemble des solutions de l’´equation homog`ene (H)y¹ ay, avec aPR, associ´ee (b0)

y¹ ay estSH Re^at.

Peut-on d´efinir quelque chose comme expptAq?

Les EDL ` a coefficients constants.

Consid´erons l’EDL

Y¹ AY B,

avecAPMnpRq, tandis que B peut ˆetre encore variable.

Rappelons qu’en dimensionn1, l’ensemble des solutions de l’´equation homog`ene (H)y¹ ay, avec aPR, associ´ee (b0)

y¹ ay

estSH Re^at.Peut-on d´efinir quelque chose comme expptAq?

Proposition : existence de l’exponentielle de matrice.

Pour toutAPM_npCq, en d´efinissantA⁰ I_n, la s´erie

¸8 k0

A^k k!

converge normalement (donc uniform´ement) sur tout compact deMnpCq, et d´efinit une application continue

exp :APMnpCq ÞÑexppAq PMnpCq.

De plus, l’application

tPRÞÑexpptAq PM_npCq est d´erivable, de d´eriv´ee ´egale `a AexpptAq.

D´emonstration. On choisit surM_npCq la norme d’op´erateur, si bien que

@kPN, }A^k} ¤ }A}^k. SiK€MnpCq est un compact, alors

@APK, @kPN, }A^k} ¤ pmax

CPK}C}q^k. De plus, la s´erie

¸8 0

1 k!pmax

CPK}C}q^k converge (verse^maxCPK}C}), donc°₈

k0A^k{k! converge

normalement pourAPK, donc uniform´ement carMnpCqest un evn de dimension finie, donc complet.

De plus, sitPJ un compact de R, la s´erie partielle des d´eriv´ees vaut

@N PN,

¸N k0

t^k

k!A^k₁ ¸^N

k0

}kt^k1 k! A^k}

¸N k1

}A t^k1

pk1q!A^k1}

¤ }A}

N¸1 k0

}t^k k!A^k}

¤ }A}e^maxJ|t|}A}.

Donc la s´erie des d´eriv´ees converge normalement en tPJ vers A

¸8 k0

t^kA^k

k! Ae^At

carA commute avecA^k. Le th´eor`eme de d´erivation des s´eries nous dit alors quetÞÑe^At est d´erivable et de d´eriv´eeAe^At. Remarque.

1. @λPC, exppλI_nq

e^λI_n 2. On a exp diagpλ₁, , λ_nq

diagpe^λ1, , e^λnq. 3. Pour P PGLnpCq,on ae^{P AP1} P e^AP¹. 4. On a det exppAq

exp T rpAq .

Donc la s´erie des d´eriv´ees converge normalement en tPJ vers A

¸8 k0

t^kA^k

k! Ae^At

carA commute avecA^k. Le th´eor`eme de d´erivation des s´eries nous dit alors quetÞÑe^At est d´erivable et de d´eriv´eeAe^At. Remarque.

1. @λPC, exppλI_nq e^λI_n

2. On a exp diagpλ₁, , λ_nq

diagpe^λ1, , e^λnq. 3. Pour P PGLnpCq,on ae^{P AP1} P e^AP¹. 4. On a det exppAq

exp T rpAq .

Donc la s´erie des d´eriv´ees converge normalement en tPJ vers A

¸8 k0

t^kA^k

k! Ae^At

carA commute avecA^k. Le th´eor`eme de d´erivation des s´eries nous dit alors quetÞÑe^At est d´erivable et de d´eriv´eeAe^At. Remarque.

1. @λPC, exppλI_nq e^λI_n 2. On a exp diagpλ₁, , λ_nq

diagpe^λ1, , e^λnq. 3. Pour P PGLnpCq,on ae^{P AP1} P e^AP¹. 4. On a det exppAq

exp T rpAq .

Donc la s´erie des d´eriv´ees converge normalement en tPJ vers A

¸8 k0

t^kA^k

k! Ae^At

carA commute avecA^k. Le th´eor`eme de d´erivation des s´eries nous dit alors quetÞÑe^At est d´erivable et de d´eriv´eeAe^At. Remarque.

1. @λPC, exppλI_nq e^λI_n 2. On a exp diagpλ₁, , λ_nq

diagpe^λ1, , e^λnq.

3. Pour P PGLnpCq,on ae^{P AP1} P e^AP¹. 4. On a det exppAq

exp T rpAq .

Donc la s´erie des d´eriv´ees converge normalement en tPJ vers A

¸8 k0

t^kA^k

k! Ae^At

carA commute avecA^k. Le th´eor`eme de d´erivation des s´eries nous dit alors quetÞÑe^At est d´erivable et de d´eriv´eeAe^At. Remarque.

1. @λPC, exppλI_nq e^λI_n 2. On a exp diagpλ₁, , λ_nq

diagpe^λ1, , e^λnq. 3. Pour P PGLnpCq,on ae^{P AP1}

P e^AP¹. 4. On a det exppAq

exp T rpAq .

Donc la s´erie des d´eriv´ees converge normalement en tPJ vers A

¸8 k0

t^kA^k

k! Ae^At

carA commute avecA^k. Le th´eor`eme de d´erivation des s´eries nous dit alors quetÞÑe^At est d´erivable et de d´eriv´eeAe^At. Remarque.

1. @λPC, exppλI_nq e^λI_n 2. On a exp diagpλ₁, , λ_nq

diagpe^λ1, , e^λnq. 3. Pour P PGLnpCq,on ae^{P AP1} P e^AP¹.

4. On a det exppAq

exp T rpAq .

Donc la s´erie des d´eriv´ees converge normalement en tPJ vers A

¸8 k0

t^kA^k

k! Ae^At

carA commute avecA^k. Le th´eor`eme de d´erivation des s´eries nous dit alors quetÞÑe^At est d´erivable et de d´eriv´eeAe^At. Remarque.

1. @λPC, exppλI_nq e^λI_n 2. On a exp diagpλ₁, , λ_nq

diagpe^λ1, , e^λnq. 3. Pour P PGLnpCq,on ae^{P AP1} P e^AP¹. 4. On a det exppAq

exp T rpAq .

Th´eor`eme. SoitY<sup>1</sup>AY une ´equation homog`ene `a

coefficients constants. Alors pour toutt₀PR, et toutY₀ PRⁿ, le probl`eme de Cauchy associ´e admet une unique solution

Yptq

e^ptt0qAY₀.

D´emonstration. De fa¸con g´en´erale, sifptq MptqXptq, avec M une fonctionC¹ matricielle etX une fonctionC¹ vectorielle, alors

f¹ptq M¹X M X¹ (`a v´erfier). Donc

Y¹ Ae^ptt0qAY0 AY. De plus,

Ypt₀q I_nY₀ Y₀.

C’est donc l’unique solution donn´ee par le th´eor`eme d’existence.

Th´eor`eme. SoitY<sup>1</sup>AY une ´equation homog`ene `a

coefficients constants. Alors pour toutt₀PR, et toutY₀ PRⁿ, le probl`eme de Cauchy associ´e admet une unique solution

Yptq e^ptt0qAY₀.

D´emonstration. De fa¸con g´en´erale, sifptq MptqXptq, avec M une fonctionC¹ matricielle etX une fonctionC¹ vectorielle, alors

f¹ptq M¹X M X¹ (`a v´erfier). Donc

Y¹ Ae^ptt0qAY0 AY. De plus,

Ypt₀q I_nY₀ Y₀.

C’est donc l’unique solution donn´ee par le th´eor`eme d’existence.

Th´eor`eme. SoitY<sup>1</sup>AY une ´equation homog`ene `a

coefficients constants. Alors pour toutt₀PR, et toutY₀ PRⁿ, le probl`eme de Cauchy associ´e admet une unique solution

Yptq e^ptt0qAY₀.

D´emonstration. De fa¸con g´en´erale, sifptq MptqXptq, avec M une fonctionC¹ matricielle etX une fonctionC¹ vectorielle, alors

f¹ptq

M¹X M X¹ (`a v´erfier). Donc

Y¹ Ae^ptt0qAY0 AY. De plus,

Ypt₀q I_nY₀ Y₀.

C’est donc l’unique solution donn´ee par le th´eor`eme d’existence.

Th´eor`eme. SoitY<sup>1</sup>AY une ´equation homog`ene `a

coefficients constants. Alors pour toutt₀PR, et toutY₀ PRⁿ, le probl`eme de Cauchy associ´e admet une unique solution

Yptq e^ptt0qAY₀.

D´emonstration. De fa¸con g´en´erale, sifptq MptqXptq, avec M une fonctionC¹ matricielle etX une fonctionC¹ vectorielle, alors

f¹ptq M¹X M X¹ (`a v´erfier). Donc

Y¹ Ae^ptt0qAY0 AY.

De plus,

Ypt₀q I_nY₀ Y₀.

C’est donc l’unique solution donn´ee par le th´eor`eme d’existence.

Alerte rouge.En g´en´eral, on ne peut pas d´eriver facilement e^Aptq. En effet,e^{A B} n’est pas ´egal `a e<sup>A</sup>e<sup>B</sup> siA etB ne commutent pas. Donc siAn’est pas constante, on n’a pas de solution simple `a (H) comme en dimension 1.

Cas le plus simple. SiADiagpλ₁, , λ_nq,alors e^ptt0qADiag e^ptt0qλ1, , e^ptt0qλn et donc on retrouve, siY0 α1, , αn

, py₁ptq, , y_nptqq

α₁e^ptt0qλ1, , α_ne^ptt0qλn .

Cas o`u A est diagonalisable dans C.

Ÿ Il existe P PGL_npCq,P¹AP Λ diagonale. On a alors Yptq e^ptt0qAY0

P e^ptt0qΛP¹Y0.

Ÿ Soient alorspqiPr1,ns une base de vecteurs propres associ´es aux λi. On peut d´ecomposer Y0 selon cette base, et puisque

e^ptt0qA_i e^ptt0qλi_i, DpaiqiPr1,ns PCⁿ, Yptq ¸

i

aie^ptt0qλii.

Remarques.

Ÿ Donc les coordonn´ees de Yptq sont desC-combinaisons lin´eaires, dont les coefficients ne d´ependent pas det, des

e^ptt0qλi

iPr1,,ns.

Ÿ Mais on veut une d´ecomposition r´eelle.

Ÿ Puisque @λPC, e^λe^<λpcos=λ isin=λq,

Ÿ chaque fonction coordonn´ee de Y est R-combinaison lin´eaire des fonctions tPRÞÑe^t<λjcosp=λ_jtq

et e^t<λjsinp=λ_jtq

,jP r1, ns.

Ÿ SiA est diagonalisable sur R, on a simplement : y_k PV ect tÞÑe^tλj

jPr1,ns.

Remarques.

Ÿ Donc les coordonn´ees de Yptq sont desC-combinaisons lin´eaires, dont les coefficients ne d´ependent pas det, des

e^ptt0qλi

iPr1,,ns.

Ÿ Mais on veut une d´ecomposition r´eelle.

Ÿ Puisque @λPC, e^λ

e^<λpcos=λ isin=λq,

Ÿ chaque fonction coordonn´ee de Y est R-combinaison lin´eaire des fonctions tPRÞÑe^t<λjcosp=λ_jtq

et e^t<λjsinp=λ_jtq

,jP r1, ns.

Ÿ SiA est diagonalisable sur R, on a simplement : y_k PV ect tÞÑe^tλj

jPr1,ns.

Remarques.

Ÿ Donc les coordonn´ees de Yptq sont desC-combinaisons lin´eaires, dont les coefficients ne d´ependent pas det, des

e^ptt0qλi

iPr1,,ns.

Ÿ Mais on veut une d´ecomposition r´eelle.

Ÿ Puisque @λPC, e^λe^<λpcos=λ isin=λq,

Ÿ chaque fonction coordonn´ee de Y est R-combinaison lin´eaire des fonctions tPRÞÑe^t<λjcosp=λ_jtq

et e^t<λjsinp=λ_jtq

,jP r1, ns.

Ÿ SiA est diagonalisable sur R, on a simplement : y_k PV ect tÞÑe^tλj

jPr1,ns.

Remarques.

Ÿ Donc les coordonn´ees de Yptq sont desC-combinaisons lin´eaires, dont les coefficients ne d´ependent pas det, des

e^ptt0qλi

iPr1,,ns.

Ÿ Mais on veut une d´ecomposition r´eelle.

Ÿ Puisque @λPC, e^λe^<λpcos=λ isin=λq,

Ÿ chaque fonction coordonn´ee de Y est R-combinaison lin´eaire des fonctionstPRÞÑe^t<λjcosp=λ_jtq

et e^t<λjsinp=λ_jtq

,jP r1, ns.

Ÿ SiA est diagonalisable sur R, on a simplement : y_k PV ect tÞÑe^tλj

jPr1,ns.

Remarques.

Ÿ Donc les coordonn´ees de Yptq sont desC-combinaisons lin´eaires, dont les coefficients ne d´ependent pas det, des

e^ptt0qλi

iPr1,,ns.

Ÿ Mais on veut une d´ecomposition r´eelle.

Ÿ Puisque @λPC, e^λe^<λpcos=λ isin=λq,

Ÿ chaque fonction coordonn´ee de Y est R-combinaison lin´eaire des fonctionstPRÞÑe^t<λjcosp=λ_jtq

et e^t<λjsinp=λ_jtq

,jP r1, ns.

Ÿ SiA est diagonalisable sur R, on a simplement : y_kPV ect tÞÑe^tλj

jPr1,ns.

Ÿ Si l’EDL n-vectorielle provient d’une EDL de degr´e n, y₁ptq yptq, doncD pa_kqkPr1,ns,pb_kqkPr1,ns

PRⁿRⁿ,

yptq

¸n k1

ake^t<λkcospp=λ_kqtq bke^<λktsinpp=λ_kqtqq.

Ÿ Attention : on a perdu ici de l’information ! En effet retrouver les coefficients aetb revient `a inverser un syst`eme nn.

Ÿ On peut remplacer tpartt0 (quitte `a changer les constantes aetb).

Ÿ Si l’EDL n-vectorielle provient d’une EDL de degr´e n, y₁ptq yptq, doncD pa_kqkPr1,ns,pb_kqkPr1,ns

PRⁿRⁿ,

yptq

¸n k1

ake^t<λkcospp=λ_kqtq bke^<λktsinpp=λ_kqtqq.

Ÿ Attention : on a perdu ici de l’information ! En effet retrouver les coefficients aetb revient `a inverser un syst`eme nn.

Ÿ On peut remplacer tpartt0 (quitte `a changer les constantes aetb).

Ÿ Si l’EDL n-vectorielle provient d’une EDL de degr´e n, y₁ptq yptq, doncD pa_kqkPr1,ns,pb_kqkPr1,ns

PRⁿRⁿ,

yptq

¸n k1

ake^t<λkcospp=λ_kqtq bke^<λktsinpp=λ_kqtqq.

Ÿ Attention : on a perdu ici de l’information ! En effet retrouver les coefficients aetb revient `a inverser un syst`eme nn.

Ÿ On peut remplacer tpartt0 (quitte `a changer les constantes aetb).

Le pendule amorti. On a Y¹

0 1 k 2α

Y.

Le polynˆome caract´eristique est

χpλq λpλ 2αq k de discriminant ∆4α²4k.

Si α² ¡4k (fort freinage), alors il y a

deux racines r´eelles

λ αa

α²k 0.

On est dans le cas o`u A estR-diagonalisable. Il existe donc a, bPR (ici tout est r´eel),

yptq y₁ptq ae^{λ ptt0q} be^λptt0q.

Le pendule tend vers sa position basse en oscillant un nombre fini de fois (`a cause du frottement).

Si α² ¡4k (fort freinage), alors il y a deux racines r´eelles

λ αa

α²k 0.

On est dans le cas o`u A estR-diagonalisable. Il existe donc a, bPR(ici tout est r´eel),

yptq y₁ptq

ae^{λ ptt0q} be^λptt0q.

Le pendule tend vers sa position basse en oscillant un nombre fini de fois (`a cause du frottement).

Si α² ¡4k (fort freinage), alors il y a deux racines r´eelles

λ αa

α²k 0.

On est dans le cas o`u A estR-diagonalisable. Il existe donc a, bPR(ici tout est r´eel),

yptq y₁ptq ae^{λ ptt0q} be^λptt0q.

Le pendule tend vers sa position basse en oscillant un nombre fini de fois (`a cause du frottement).