Octobre 2014

(1)

PanaMaths

[1 - 2]

Octobre 2014

Soit θ un réel

Déterminer le module et l’argument des complexes suivants :

1 ei

z = e

^θ

z

₂

= e

ⁱ^θ

+ e

²ⁱ^θ

Analyse

Dans les deux cas, l’objectif est d’écrire le complexe proposé sous la forme ρeⁱ^α avec ρ≥0. La deuxième situation requiert un peu de … prudence !

Résolution

On a immédiatement : z₁=e^eⁱ^θ =e^cos^θ⁺ⁱ^sin^θ =e^cos^θ×eⁱ^sin^θ et donc :

cos sin cos sin cos cos

1 ⁱ ⁱ 1

z = e ^θ×e ^θ = e ^θ ×e ^θ =e ^θ× =e ^θ

Par ailleurs : ^arg

( )

^z¹ ⁼^arg

(

^e^cos^θ^×^eⁱ^sin^θ

)

⁼^arg

(

^eⁱ^sin^θ

)

⁼^sin^{θ π}

^{[ ]}

² ^.

Par ailleurs (en considérant classiquement la moyenne des exposants) :

3 3

2 2 2 2 2

2 2 cos

2

i i i i

i i

z e e e e e e

θ θ θ θ

θ θ ⎛ ⁻ ⎞ θ

= + = ⎜ + ⎟= ×

⎝ ⎠

On doit alors discuter suivant le signe de cos 2 θ .

Æ Si

2 2 k

θ π= + π (k∈]), c'est-à-dire si ^{θ π}^{= +}²^k^π ⁼

(

²^k⁺¹

)

^π⁽^k^∈^]^).

Dans ce cas, on a z₂=0. Son module est nul et son argument n’est pas défini.

Æ Si 2 2

2 k 2 2 k

π π θ π π

− + < < + (k∈]), c'est-à-dire si − +π 4kπ θ π< < +4kπ (k∈]), soit encore

(

⁴^k⁻¹

)

^{π θ}^{< <}

(

⁴^k⁺¹

)

^π ⁽^k^∈^]^).

Dans ce cas, on a cos 0 2 θ _>

d’où

3 3

2 2

2 2 cos 2 cos 2 cos 1 2 cos

2 2 2 2

i i

z e e

θ θ

θ θ θ θ

= × = × = × = et

( )

2 ³² ³²

[ ]

arg arg 2 cos arg 3 2

2 2

i i

z e e

θ θ

θ θ π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ × ⎟= ⎜ ⎟=

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .

(2)

PanaMaths

[2 - 2]

Octobre 2014

Æ Si 3

2 2

2 k 2 2 k

π + π < <θ π + π (k∈]), c'est-à-dire si π +4kπ θ< <3π +4kπ (k∈]), soit

encore

(

⁴^k⁺¹

)

^{π θ}^{< <}

(

⁴^k⁺³

)

^π⁽^k^∈^]^).

Dans ce cas, on a cos 0 2 θ _<

d’où :

3 3 3

2 2 2

2 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 1 2 cos

2 2 2 2 2

i i i

z e e ei e

θ θ θ

θ θ ⎛ ⎞ θ π θ θ

= × = − × −⎜ ⎟ = − × × = × =

⎝ ⎠

et :

( )

[ ]

3 3 3

2 2 2

2

3 3 2 2

arg arg 2 cos arg 2 cos arg 2 cos

2 2 2

arg 2 cos arg 3 2

2 2

i i i

i

i i

i

z e e e e

e e

θ θ θ

π

θ θ π

π

θ θ θ

θ ⁺ ^⎛^⎜^⎝ ⁺ ^⎞^⎟^⎠ θ π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ × ⎟= ⎜− × − ⎟= ⎜− × × ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞

= ⎜⎝− × ⎟⎠= ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠= +

Résultat final

cos

z1 =e ^θ et arg

( )

z1 =sinθ π

[ ]

2 Si ^θ ⁼

(

²^k⁺¹

)

^π ⁽^k^∈^]^{) :}

2 0

z = : module nul et argument non défini Si

(

⁴^k⁻¹

)

^{π θ}^{< <}

(

⁴^k⁺¹

)

^π ⁽^k^∈^]^{) :}

2 2 cos z ₌ θ2

et

( )

2

[ ]

arg 3 2

z = 2θ π Si :

(

⁴^k⁺¹

)

^{π θ}^{< <}

(

⁴^k⁺³

)

^π⁽^k^∈^]^{) :}

2 2 cos z ₌ θ2

et

( )

2

[ ]

arg 3 2

z = 2θ π π+