Problème : Homographies du plan complexe
On définitCb =C∪ {∞}l’ensemble étant égal au corps des complexes C auquel on adjoint un point que l’on note∞.
On définit, surCb, les règles de calcul suivantes :
− ∀z∈C, z+∞=∞,
− ∀z∈C?, z× ∞=∞,
− ∀z∈C?, z0 =∞,
− ∀z∈C?, ∞z = 0.
Pour tout quadruplet v= (a, b, c, d)∈C4, on noteδ(v) =ad−bc.
On pose E={v∈C4 / δ(v)6= 0}.
Pour v∈E, on définit l’application
hv : Cb −→ Cb
z 7→ az+bcz+d siz∈C\
−dc z 7→ ∞ siz=−dc z 7→ ac siz=∞.
On appelle homographie du plan complexe toute application de la formehv, avec v∈E.
L’objectif de ce problème est de prouver diverses propriétés vérifiées par les homographies.
Partie I : Le groupe des homographies
1. Identifierhv pourv= (1,0,0,1)etv= (a, b,0, d) avec a, d6= 0.
2. Montrer que
∀u∈E, ∀λ∈C?, hλu=hu. 3. Soientu(a, b, c, d) etv= (a0, b0, c0, d0) deux éléments de E. On pose
u⊗v= (aa0+bc0, ab0+bd0, ca0+dc0, cb0+dd0).
Montrer queu⊗v∈E.
4. Montrer quehu◦hv =hu⊗v.
Remarque : On fera le calcul dans le cas où l’infini n’intervient pas et on pourra admettre le résultat dans les autres cas.
5. En déduire que hu est une permutation deCb et queh−1u =hv avec v= (d,−b,−c, a).
6. Montrer que l’ensemble des homographies du plan complexe est un groupe pour la composition.
Partie II : Quelques résultats géométriques à l’aide des nombres complexes
1. Soient∆une droite deCne passant pas par0,ω l’affixe de la projection orthogonale de 0sur
∆etz un complexe.
Montrer queM(z)∈∆si, et seulement si, Re((z−ω)ω) = 0.
2. SoientΓun cercle deC,u etv les affixes de deux points diamétralement opposés de Γetz un complexe.
Montrer queM(z)∈Γ si, et seulement si,Re((z−u)(z−v)) = 0.
Partie III : Étude d’une homographie particulière
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On appelle droite de Cb, tout sous-ensemble de Cb de la forme∆∪ {∞}où ∆est une droite deC. On note alors∆b une telle droite.
On appelle cercle de Cb toute partie deCb qui est soit un cercle de C, soit une droite de Cb. Dans cette partie, on poseh=hv pourv= (0,1,1,0).
1. Expliciter h. Que vaut h−1?
2. Soit∆b une droite de Cb passant par0. Montrer queh(∆)b est une droite de Cb passant par 0.
3. SoitΓ un cercle deC passant par0. Montrer que h(Γ) est une droite deCb.
4. Soit∆b une droite deCb ne passant par0. Montrer que h(∆)b est un cercle deCqui passe par0.
5. SoitΓ un cercle deC ne passant pas par0. Montrer queh(Γ)est un cercle de C. 6. Quel résultat venez-vous de démontrer ?
Partie IV : Cercles de Cb et homographies
On dit qu’une homographie h de Cb est une similitude directe de Cb si h(∞) = ∞ et si h|C est une similitude directe deC.
1. Expliquer pourquoi le résultat de la partie précédente se généralise aux similitudes directes de Cb.
2. Montrer qu’une homographie quelconque h de Cb qui n’est pas une similitude directe s’écrit comme la composée de deux similitudes directes deCb et de l’homographie h(0,1,1,0).
3. Généraliser le résultat de la partie précédente à une homographie quelconque.
* * * FIN DU SUJET * * *
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