G ´e om ´e triediff ´e rentielleetriemannienne-24/10/2018

G´eom´etrie diff´erentielle et riemannienne - 24/10/2018

Dur´ ee de trois heures. Les notes de cours sont autoris´ ees, pas les t´ el´ ephones portables.

Exercice 1 : Bianchi et Schur

Soit π : E → M un fibr´ e vectoriel muni d’une connexion ∇. On note Ω

(M, E) l’ensemble des sections du fibr´ e Λ

T

M ⊗ E.

1. Montrer qu’il existe une unique famille d’op´ erateurs d

: Ω

(M, E) → Ω

(M, E), k ∈ N

v´ erifiant d

= ∇ si k = 0 et d

(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)

α ∧ d

β pour tout α ∈ Ω

(M ) et β ∈ Ω

(M, E).

2. Etablir la formule suivante pour α ∈ Ω

(M, E) :

(d

α)(X, Y ) = ∇

α(Y ) − ∇

α(X) − α([X, Y ]).

3. Prouver que (d

)

s = F

(s) o` u s ∈ Ω

(M, E) et F

∈ Ω

(M, End E) est la courbure de la connexion ∇.

4. Expliquer bri` evement comment ´ etendre d

` a tout fibr´ e construit ` a partir de E ` a l’aide de la dualit´ e et du produit tensoriel.

5. Identit´ e de Bianchi. D´ emontrer l’identit´ e d

F

= 0.

On suppose dor´ enavant qu’on a une m´ etrique riemannienne g sur M et que E = T M avec la connexion de Levi-Civita.

6. On d´ efinit α ∈ Ω

(M, T M ) par α(X) = X et β ∈ Ω

(M, T M

) par β(X)(Y ) = g (X, Y ). Calculer d

α et d

β.

On supposons que M est connexe, de dimension n ≥ 3 et que pour tout x, sa courbure sectionnelle K

(P ) le long d’un plan P ⊂ T

M ne d´ epend pas de P . On la note alors K(x).

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. Montrer que pour tous champs de vecteurs X, Y on a F

(X, Y )Z = K (g(Y, Z )X − g (X, Z )Y ).

8. Th´ eor` eme de Schur. Montrer que K est constante. On pourra faire inter- venir α et β et appliquer l’identit´ e de Bianchi.

Exercice 2 : Submersions riemanniennes

Soit (M, g) une vari´ et´ e riemannienne et N ⊂ M une sous-vari´ et´ e. On note N le fibr´ e normal de N d´ efini pour tout x ∈ N par N

= (T

N )

et Π : T

M → (T

N )

la projection orthogonale.

∗. Question hors bar`eme `a faire `a la fin de l’´epreuve

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1. Soit X, Y deux champs de vecteurs tangents ` a N . Montrer que l’expression B(X, Y ) = Π(∇

Y ) d´ efinit une section du fibr´ e Q(T N ) ⊗ N (appel´ ee encore deuxi` eme forme fondamentale).

2. Montrer que B est nulle si et seulement si toute g´ eod´ esique de N est une g´ eod´ esique de M . On dira dans ce cas que N est une sous-vari´ et´ e totalement g´ eod´ esique de M .

3. Montrer que si Φ : M → M est une isom´ etrie, l’ensemble F = {x ∈ M, Φ(x) = x} est une sous-vari´ et´ e totalement g´ eod´ esique de M . On pourra pour x ∈ F ´ etablir l’´ egalit´ e exp

◦D

Φ = Φ ◦ exp

au voisinage de 0 ∈ T

M .

Soit f : (M, g) → (N, h) une application diff´ erentiable entre deux vari´ et´ es riemanniennes. On dit que f est une submersion riemannienne si pour tout x ∈ M, d

f induit une isom´ etrie de ker(d

f )

sur T

N . On appelle fibres de f les sous-vari´ et´ es de la forme f

({y}) pour y ∈ N et on se donne pour la suite un champ de vecteurs X sur N .

4. Montrer qu’il existe un unique champ ˜ X sur M v´ erifiant d

f ( ˜ X(x)) = X(f (x)) et ˜ X(x) ⊥ ker d

f.

5. Soit Z

, Z

deux champs sur M v´ erifiant d

f Z

(x) = 0 pour tout x ∈ M et pour i = 1, 2. Montrer les ´ egalit´ es

(L

g)(Z

, Z

) = g(∇

X, Z ˜

) + g(Z

, ∇

X) = ˜ −2g( ˜ X, ∇

Z

)

6. En d´ eduire que les fibres de f sont totalement g´ eod´ esiques si et seulement si le flot de ˜ X induit des isom´ etries entre les fibres pour tout champ X.

7. Construire deux submersions riemanniennes : une qui satisfait et une qui ne satisfait pas les propri´ et´ es de la question 6.

Exercice 3 : Hyperbolo¨ıde ` a une nappe

Soit H = {(x, y, z) ∈ R

, x

+ y

− z

= 1} que l’on munit de la m´ etrique induite par la m´ etrique standard de R

.

1. Montrer que H peut s’obtenir de deux fa¸cons distinctes comme une r´ eunion de droites.

2. Trouver quatre g´ eod´ esiques distinctes passant par (1, 0, 0).

3. Prouver que H est complet pour sa distance riemannienne.

4. Montrer que la deuxi` eme forme fondamentale s’annule le long des droites obtenues dans la question 1.

5. Montrer que les vecteurs propres de l’op´ erateur de forme sont tangents soit aux m´ eridiens (intersections de H avec un plan contenant l’axe de r´ evolution) soit aux parall` eles (intersections de H avec des plans orthogonaux ` a l’axe de r´ evolution).

6. En d´ eduire les courbures principales de H.

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