Activit´e de math´ematiques
G´eom´etrie analytique
Exercice 1
On consid`ere un triangle quelconque ABC. Soient I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB]. On appelleM le milieu du segment [KB] et N le sym´etrique de I par rapport au pointB.
1. Exprimer les coordonn´ees des pointsA,B,C,I,J,K,MetN dans le rep`ere (A,−−→ AB,−→
AC).
2. Prouver que les vecteurs−−→
M N et−−→
M J sont colin´eaires, en d´eduire que les points M,N et J sont align´es.
Exercice 2
On consid`ere un parall´elogrammeABCD. SoientI,J,K,Ltels que−AI→= 23−−→
AB,−→BJ = 13−−→ BC,
−−→
CK= 12−−→
CD,−→DL= 12−−→
DA. On appelleM etN les milieux respectifs des segments [IL] et [J K].
1. Exprimer les coordonn´ees des points A, B, C, D, I, J, K, L, M et N dans le rep`ere (A,−AB,−→ −−→
AD).
2. Prouver que les vecteurs−−→
M N et−→
AC sont colin´eaires, en d´eduire que les droites (M N) et (AC) sont parall`eles.
Exercice 3
On consid`ere un triangle quelconque ABC. Soient I, J et K et L tels que −AI→ = 13
−−→ AB,
−→AJ = 23−−→
AB,−AK−→= 13−→
AC,−→AL= 23−→
AC. On appelleM le point d’intersection des droites (J K) et (BC) etN le point d’intersection des droites (IL) et (BC).
1. Exprimer les coordonn´ees des pointsA,B,C,I,J,K, et L dans le rep`ere (A,−AB,−→ −→
AC).
2. D´emontrer queJ et L sont les milieux des segments [KM] et [IN], en d´eduire les coor- donn´ees des pointsM etN dans le rep`ere (A,−−→
AB,−→
AC).
3. Calculer les coordonn´ees des vecteurs−BC−→ et−−→M N dans le rep`ere (A,−AB,−→ −→
AC), en d´eduire que M NBC = 53.
Exercice 4
On consid`ere un triangle quelconque ABC. Soient I, J, K et L tels que −→
AI = 14−−→ AB,
−→AJ = 34−−→ AB,−−→
AK = 14−→
AC,−→
AL= 34−→
AC. On appelleM le point d’intersection des droites (J K) et (BC) etN le point d’intersection des droites (IL) et (BC).
Calculer le rapport M NBC.
1/1
![On note I et J les milieux respectifs des segments [EH] et [FB].](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)