Nouvelle théorie de l'écoulement des gaz très raréfiés

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Submitted on 1 Jan 1932

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Nouvelle théorie de l’écoulement des gaz très raréfiés

René Darbord

To cite this version:

René Darbord. Nouvelle théorie de l’écoulement des gaz très raréfiés. J. Phys. Radium, 1932, 3 (8),

pp.345-354. �10.1051/jphysrad:0193200308034500�. �jpa-00233108�

NOUVELLE THÉORIE DE L’ÉCOULEMENT DES GAZ TRÈS RARÉFIÉS

Par RENÉ DARBORD.

Sommaire. 2014 La théorie de l’écoulement moléculaire peut être ramené à la solution d’un problème de probabilité géométrique. ^Par exemple, dans le cas de l’écoulement le long d’un tube capillaire, ^la question qui

pose est la suivante :

Une molécule entrant d’un côté du tube, quelle ^{est la} probabilité pour qu’elle ^sorte

de l’autre côté ?

En

plaçant ^{à ce} point de vue,

peut,

^basant

le minimum d’hypothèses,

donner

démonstration expliquant clairement le

physique de la loi de Knudsen.

et

peut ^même généraliser facilement cette loi.

Introduction. 2013 Soit deux récipients A et B réunis par ^un tube capillaire a ^b (fig. 1).

Les pressions dans les deux récipients ^sont inégales ^{et très} faibles.La loi de Knudsen permet

de calculer le débit dans le cas où, le diamètre du tube étant petit par rapport ^{au libre}

parcours des molécules, le nombre de chocs entre molécules est négligeable par rapport ^au

nombre de chocs contre la paroi (écoulement moléculaire).

Appelons p et p’ ^les pressions dans les deux récipients, ^{T la} température absolue, Alla

masse moléculaire, R la constante des gaz, D ^et 1 le diamètre et la longueur ^{du tube} capil-

laire. Le débit massique ^{est :}

Knudsen établit cette formule en écrivant _{que la} paroi ^{exerce sur} le gaz ^une force de frottement correspondant ^{à la} quantité ^{de mouvement} que les chocs contre la paroi ^font perdre ^aux molécules du gaz (1).

Il est possible ^{d’établir une théorie} expliquant clairement le sens physique de la loi de Knudsen :

Io La théorie cinétique permet ^de calculer facilement les nombres v et v’ de molécules

qui entrent par seconde de chaque côté du tube capillaire.

8° Quand ^une molécule entre dans le tube, ^à gauche par exemple, il y ^{a une} certaine

probabilité x pour qu’elle sorte à droite. Naturellement, ^la probabilité pour qu’elle ^{sorte à} gauche ^est ~1- a) ; sinon le nombre de molécules contenues dans le tube capillaire augmen- terait indéfiniment.

3° Sur v molécules envoyées dans le tube par le récipient A, ^va d’entre elles en moyenne sortent en b. Quand ^le régime permanent ^est établi, ^{il entre donc} chaque ^{seconde, dans le} récipient B,

^molécules provenant ^du récipient ^A.De même, v’a molécules passent chaque

seconde du récipient ^{B au} récipient ^{A. Au total,} B gagne par seconde (v a

v’a) ^molécules

au détriment de A. Appelons m ^{la masse} d’une molécule. Le débit massique ^{est :}

Le calcul du débit G se ramène donc au calcul de la probabilité ^de passage

(2).

( 1 ) Voir KNUDSEX. Ann. d. Phys., ^28, 19(1,9, p. ^7:5. Voir aussi la Conférence de Dunoyer ^â la Société de

Physique

^1912.

(2) ^Le présent ^article représente ^le développement ^de

seconde thèse, soutenue

1930. Depuis

la remise du manuscrit, j’ai

connaissance d’un tràs intéressant article de P. CL.B.uSnG (Ann. ^der. Phys.,

t. 12 (1.932) p. 961) qui fait intervenir également ^la probabilité de passage.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0193200308034500

Nous admettrons, ^avec Knudsen, qu’au ^{moment d’un} choc contre la paroi ^{tout se} passe ^comme si la molécule était absorbée, puis renvoyée ^au hasard dans une direction

quelconque. Autrement dit, nous supposerons que la loi de répartition ^entre les différentes directions est la loi du cosinus, ^comme dans le cas de la diffusion de la lumière. C’est la seule hypothèse que ^nous ferons. Nous n’aurons pas besoin de savoir la loi de répartition

des vitesses avant un choc,ni ^{de nous} préoccuper ^{de la} grandeur de la vitesse après ^{le choc.}

Si la grandeur de la vitesse influe sur le temps de passage, elle n’influe pas ^sur la probabi-

lité de passage. En d’autres termes, ^la probabilité

^ne dépend pas de la température. ^Elle

ne dépend pas ^non plus ^{de la} pression, puisque, le nombre des chocs entre molécules étant

négligeable, le chemin suivi par ^une molécule n’est pas affecté par la présence ^{des autres}

molécules.

Une particule entre dans le tube. On ne sait pas ^sa direction, ni le point de la section d’entrée par lequel ^elle entre, mais la théorie cinétique ^{fait connaître la} probabilité ^des

différentes façons d’entrer.La particule subit des chocs contre la paroi ^{du tube et nous avons}

fait ^une hypothèse ^{sur la} probabilité ^des différentes directions après chaque ^choc. Quelle

est alors la probabilité a pour que les chocs successifs fassent passer la particule ^{d’un réci-} pient ^à l’autre ? C’est là un simple problème ^de probabilité géométrique ^{et la} probabilité

cherchée ne dépend que des dimensions du tube capillaire.

Cette façon de poser le problème ^de l’écoulement moléculaire permet ^{d’obtenir Immédia-}

tement la forme de la loi de Knudsen et même de la généraliser.

Généralisation de la loi de Knudsen. - Dans le récipient ^A (fig. i), ^la pression ^est

p, ^la température ^absolue T, il y ^{a n} molécules par cm3 et la vitesse quadratique moyenne est C. Les mêmes grandeurs pour le récipient B seront notées p’, ^11/,

^{n’ et Cr. Cela ne} complique pas la théorie de supposer que la température ^n’est pas la même des deux côtés.

Les récipients ^{A et B lancent,} dans le tube capillaire, respectivement :

S =- xr2 est la section du tube et ~6 ~. ^un coefficient numérique obtenue par la théorie

cinétique.

D’où, d’après la formule (2) :

-

’

n

La théorie cinétique fournit la relation :

Pour calculer C, écrivons la loi des gaz pour ^une molécule-gramme :

Les relations (4) ^et (5) permettent de transformer (3) :

Comme S x ne dépend que des dimensions ^{du tube} capillaires, ^{on voit} qu’un ^raisonne-

ment simple donne la variation du débit en fonction des pressions, ^des températures ^{et de}

347 la masse moléculaire. Si les températures ^sont les mêmes des deux côtés, ^on retombe sur

la loi de variation exprimée par la formule (1). ^{Le débit est nul si}

On retrouve la loi de l’e f fusion thermique : si les deux récipients ^sont maintenus à des températures différentes, ^les pressions s’établissent de telle sorte que la formule (7) ^soit

satisfaite.

Enfin, ^{si l’on a affaire à un} mélange de gaz : ^-.

Pi et p’; représentent ^{alors les} pressions partielles des gaz de ^masses moléculaires JIi ^et 1ll‘i.

Remarque. - Si dans la formule (6) ^{on fait} ;x == 1, ^on retrouve naturellement la formule donnant le débit dans le cas de l’écoulement à travers une ouverture de surface S

percée ^{dans une} paroi ^{mince. Le débit d’un tube} capillaire ^{est donc} égal ^au débit d’une ouverture pratiquée ^{en mince} paroi, multiplié par la probabilité de passage.

Probabilité de passage. - Le rayon du tube capillaire ^est

^{et sa} longueur ^{1. Consi-}

dérons un tube honiothétique de rayon ~C

et de longueur ^{k 1. La} probabilité de passage ^a reste la même. La seule différence est qu’il faudra k fois plus ^de temps ^{à une} molécule pour

suivre l’itinéaire homothétique. ^Cette remarque permet ^{d’écrire :}

Maintenant, ^{si nous} admettons que la chute de pression ^{a lieu} proportionnellement ^{à la} longueur (nous allons revenir sur ce point), x ^doit être inversement proportionnel ^{à 1 et}

La comparaison des deux dernières équations montre que ^a est proportionnel ^{à r :}

et la formule (6) ^{devient :}

Le débit est proportionnel ^{au cube du} diamètre, ^car le nombre de molécules qui ^entrent

de chaque côté du tube est proportionnel ^à la section S = z r2 et la probabilité pour chacune d’elles de passer ^d’un récipient ^{à l’autre est} proportionnelle ^au rayon

Nous avons admis que la chute de pression ^le long ^du tube,s’effectue proportionnelle-

ment à la longueur. ^{Il est} préférable ^{de se} passer de cette hypothèse. D’ailleurs, il nyest _pas certain que les molécules traversent les différentes sections du tube ^ou rencontrent les éléments de paroi ^{en suivant} rigoureusement ^{la loi de} répartition de Maxwell et cette restriction complique la notion de pression.

Nous examinerons d’abord le problème ^{suivant : Une molécule} ayant ^{un cl2oc en un}

point déterminé du tube, quelle ^{est la} probabilité pour qu’elle ^{sorte d’un côté ou}

Supposons ^{un choc au} point ^c, d’abscisse z (fig. 1) ^et appelons f (z) ^la probabilité pour que la molécule ^{sorte en a.} Considérons deux sections d et f ~ la distance ^u de part ^et

d’autre de la section c. La molécule possède ^{une chance sur} deux de traverser d avant de traverser f et, symétriquement, ^{une chance sur deux de traverser} f avant ^{de traverser d.}

Fig. 4 .

L’abscisse de la section d est (z

u). ^{Comme il} s’agit d’ün tube de petit diamètre, ^{la molé-} cule, traversant la section d, ^aura tout de suite après ^un choc contre la paroi. Appelons ^la

distance moyenne, comptée parallèlement ^à Oz, ^{entre la section d et le} point ^{ou s’effectue}

le choc ; l’abscisse moyenne de ^ce point ^{est :}

Subissant un choc aux environs de l’abscisse jz

v) ^{la molécule} possédera ^sensible-

ment la probabilité f (z

v) ^{de sortir en} a (’ ). ^Par conséquent, après ^{un choc en} c, la molé- cule possède ^la probabilité 1/2 f (z

v) ^de traverser d avant de traverser f ^{et de sortir}

ultérieurement en a. De mème, ^elle possède ^la probabilité 1/2 f (z + v) ^{de traverser} f avant

d et de sortir ultérieurement en a. D’où l’équation fonctionnelle :

v est quelconque (quoique plus petit que z ^ou que 1

^{et on résout} immédiatement l’équa-

tion précédente ^en dérivant les deux membres par rapport ^{à v. On trouve} que f (z) ^est

linéaire par rapport ^{à z :}

Pour déterminer A ^{et ~3 nous} referons le raisonnement précédent ^en remplaçant ^les

sections d et f par les sections a et 9 (voir fig. 1). ^La molécule subissant un choc en

possède ^la probabilité 1,/2 ^{de sortir} en a sans trayerser g ^et sensiblement la probabilité 1./2 f (2 z) ^{de sortir en a} après avoir traversé la section y (un ^nombre pair ^de fois), ^{d’où :}

En remplaçant ^{dans cette} équation la fonction f par ^son expression (9), ^{on trouve :}

Enfin, ^{au moment} où la molécule subit un choc au milieu du tube ( abscisse - ) _{B J} ^elle

possède autant de chances’de sortir d’un côté ou de l’autre, d’où :

(1) ^Dans

raisonnement,

négligeons

expression de l’ordre de £2 f’ (z - v), par rapport ^à

(z

v); la distance e est petite, sensiblement égale ^{à la} moitié du rayon du tube capillaire.

349 Le résultat est donc le suivant :

Quand ^une ,nolécule subit un choc

_c, elle possède ^la probabilité :

de en a, ^et la probabiLité:

de soî-tir en b.

Nous pouvons maintenant démontrer facilement la formule (9). Une molécule entrant dans le tube par la section a, d’abscisse 0, possède ^la probabilité a (z), ^{de traverser au}

moins une fois la section d’abscisse z et la probabilité

(/) ^{de sortir en b.}

Comme nous l’avons expliqué plus ^haut, si la molécule traverse la section z, elle subira

un choc au voisinage et, d’après la formule (11 6is), ^sa probabilité de sortir en b sera alors sensiblement z. Dans ces condition, le théorème des probabilités composées permet

d’écrire :

Comme N est quelconque, ^{z. i} (z) ^{est une constante et}

(z) ^est inversement propor-

.

tionnel à ^z. Ce résultat, en combinaison avec la formule (8), donne la formule (9) que ^nous voulions établir.

Dans les raisonnements précédents, ^{nous avons été} obligés ^{de nous} placer ^{dans le cas}

où le diamètre est petit par rapport ^{à la} longueur, mais la loi de Knudsen n’est rigoureuse qu’à ^{cette condition.}

Nous avons pu établir, ^{à une constante} près, ^{la formule} (9) ^{donnant la} probabilité ^de

passage x, ^en supposant seiiienient un choc la ocolécule possède ^une

bilité d’être lancée à gauche ^ou à droite. En d’autres termes, ^on peut obtenir la formule de

Knudsen, à la constante près, ^sans préciser autrement la loi de répartition des directions

après le choc. Pour aller plus ^{loin, nous} utiliserons la loi du cosinus

Direction d’une molécule après ^un choc. - La loi du cosinus s’exprime ^{de la} façon ^{suivante 1}

La probabilité ^pour qu’un ^{choc contre la} paroi renvoie la nlolécule clans l’angle

solide d Û faisant ^un angle

^avec la nOl’male est :

Considérons une molécule rencontrant l’élément due paroi Quelle ^{est la} probabilité

pour que le choc suivant ait lieu ^contre l’élément dS~ (fig. 2)"1 La droite AB qui joint ^les

deux éléments ne rencontre ^aucun obstacle. Les normales à et dS, ^{font avec AB les} angles ^{7.1 et a2 et} AB - o.

Du point ~~, ^{on voit} dS2 ^sous l’angle ^{solide :}

La probabilité cherchée est :

De la même façon, ^la probabilité pour qu’un choc contre dS, renvoie la molécule sur dS1,

est :

Fig.2.

Remarque. - Supposons que l’élément ^au lieu d’appartenir ^{à la} paroi, ^{soit un}

élément de surface traversé par des molécules,. ^La répartition ^en direction des molécules

qui sortent de par exemple du côté de ds2, ^obéit à la loi du cosinus. Une molécule traversant dsi ^la probabilité pour qu’elle ^soit dirigée ^sur ds~ ^est encore/*t 2 ^{d82. L’élé-}

ment dS1 ^sera _par exemple ^un élément de la section d’entrée du tube capillaire ^{et un}

élément de paroi ^{de ce tube.}

Tubes d’itinéraires.

Nous avons démontré la formule (7), concernant l’effusion

thermique ^{dans le cas de deux} récipients réunis par ^un tube capillaire cylindrique. ^Les expériences d’effusion thermique s’exécutent généralement ^{avec des} bouchons poreux ^ou des parois poreuses. La formule (13) ^{va nous} permettre de démontrer que la ^formule (7) ^est

tout à fait générale ; ^{en même} temps, ^nous établirons un résultat qui ^{sera utile} plus ^loin.

Considérons un système capillaire quelconque, réunissant les deux récipients ^{A et B.}

La surface effective d’entrée est S du côté A et S’ du côté B. Soit une molécule entrant du côté A; quelle ^{est sa} probabilité a de sortir du côté B?

Calculons la probabilité d’un itinéraire déterminé, faisant passer la molécule de A ^en

B, ^ou plutôt ^la probabilité ^{d’un ensemble} d’itinéraires infiniment voisins, définis par ^un élément dsi ^de la surface S, les éléments de paroi ds , ds,..., dsn-1, ^contre lesquels ^s’effec-

tuent les chocs successifs, ^{et un élément} dsn ^de la surface de sortie S’. Cet ensemble d’iti- néraires constitue ce que ^nous appellerons ^{un tube} d’itinéraires. Calculons donc la proba-

bilité dx d’un tube d’itinéraires ds1, ds2, ds3..., dsn _ 1, as,l. En appliquant la formule (13) ^et

le théorème des probabilités composées, ^{on obtient :}

Soit maintenant une molécule entrant du côté B ; ^nous noterons a’ sa probabilité ^de

sortir du côté A. La probabilité da’ pour qu’elle suive le tube d’itinéraires précédent, ^en

sens inverse naturellement, ^{est :}

Puisque f

fkt, ^{on voit que :}

351 En écrivant cette relation pour tous les tubes d’itinéraires reliant A ^et B, ^on trouver, par sommation :

Cette formule nous sera très utile, ^elle peut ^{encore s’écrire :}

Une rnolécule entrant d’un côté, ^sa probabilité de sortir de l’autre à la de sortie.

,tG m

Du côté A, ^{il entre} 2013r: ^molécules par seconde ^et du côté B, ^{il en entre} 2 S’. En

B/67C

généralisant ^un raisonnement précédent, ^{on trouve} que le débit résultant de A vers B est :

Ou, ^en vertu de la relation

Cette dernière formule est identique à la formule (3), ^{à ceci} près que le facteur géomé- trique ^Sa possède ^une définition plus générale. ^{Il en} résulte que les formules ~6) ^et (7) ^sont valables, même dans le cas d’un réseau compliqué ^{de canaux} capillaires.

Constante de la loi de Knudsen. - Revenons ^{au cas} d’un simple ^tube capillaire ^et

proposons ^nous de calculer la constante de la loi de Kundsen en étendant les raisonnements de probabilités exposés plus haut. Plusieurs étapes ^sont nécessaires :

1° Une molécule entrant dans le tube capillaire, quelle ^{est la} probabilité pour

qu’elle ^{ait un choc en un} point déterminé de la paroi ^{du tube?}

Soit une molécule entrant par la section a, d’abscisse 0 (fig. 3). ^Nous appelle-

rons o (z) ^{dz la} probabilité pour qu’elle ^{subisse un choc contre} la tranche _c, située entre les abscisses z et (z + ^dz).

Fig. 3.

Considérons tous les itinéraires que la molécule peut suivre pour aller de

à c. Quand

une molécule subit un choc en c, les mêmes itinéraires, parcourus ^{en sens} inverse, per-

mettent, évidemment à la molécule de sortir en a. Or, la formule (11) ^nous faisant connaître

1 probabilité f (z) ^{de cette dernière} éventualité, ^nous pouvons, grâce à la formule (i4)

obtenir immédiatement la probabilité J (z) ^{dz.’La formule} (14) s’écrit ici :

d’où

Parnti les Inolécules qui ^er2trerzt dans le tube par ^{une r7cême} extréJllité, le raonabre de celles

qui vieruzellt chaque ^seconde frapper ^ucz éléntent déterminé de paroi ^est proportionnel ^{à la}

distance de cet élément à l’autre extréntité du tube.

Nous avions déjà appliqué la formule (14) ^en étudiant l’effusion thermique ^{à travers un}

bouchon poreux; d’une façon générale, cette formule permet ^{d’établir un lien entre des} problèmes réciproques.

2° Quelle ^{est la} probabilité pour qu’un ^{choc en un} point ^{de la} paroi ^{renvoie la}

molécule à travers une section déterminée du ^tube capillaire ’?

Soit un choc au point ^{A de la} paroi (fig. 4); quelle ^{est la} probabilité pour que la molé- cule soit renvoyée à travers la section (S).

Fig.4.

Cette probabilité dépend ^{de la distance A0 = u du} point ^{A à la section} S ; nous l’appel-

lerons (b (u).

La formule (13) permet de calculer la probabilité dd) pour que la molécule soit ^ren-

voyée ^{à travers un} élément dx dy ^{situé au} point

D’où la probabilité :

3° Expression ^{de la} probabilité de passage x (1).

Soit une molécule entrant en a et considérons une section (S) quelconque, ^{située en c à}

353 l’abscisse z (fig. i). La molécule peut passer à travers cette section dans le ^sens ab (passage

et dans le sens ba (passage négatif).

Nous appellerons ii , la probabilité ^d’un premier ^passage positif ^et ~3, ^la probabilité ^d’un premier passage négatif, lequel suppose naturellement ^un passage positif antérieur. La

probabilité de sortir en b après ^un seul passage à travers ^c est

De même, ^nous appellerons ^{a2 la} probabilité d’au moins deux passages positifs et pi

la probabilité ^{d’au moins} deux passages négatifs. ^La probabilité ^{de sortir en b} après ^deux

passages seulement à travers c est (a2

~2).

Au total, ^la probabilité ^{de sortir en b est} égale ^{à :}

xt représente l’espérance mathématique correspondant ^aux passages positifs ^{à travers}

la section (S), c’est-à-dire le nombre moyen de passages positifs ^{à travers} (S). Or, ^nous

pouvons calculer cette somme sans calculer séparément les termes qui ^la composent. ^Au

lieu de classer les passages suivant leur numéro d’ordre, ^{nous les} classerons suivant la distance u à la section (S) ^du dernier choc précédant le passage à travers cette section.

A la distance u correspond l’abscisse (z

u) et, d’après ^{la formule} (i5), ^la probabilité

d’un choc entre u et (u + du) ^est

Ce choc ayant lieu, ^la probabilité de traverser (S) ^{avant un autre choc estt)} (u). D’après

le théorème des probabilités composées, le nombre moyen de passages positifs ^{à travers} (S)

est :

Le même raisonnement donne :

Par conséquent

et, ^en remplaçant (P (u) par ^sa valeur (~.6) :

4° Calculs.

La formule

permet d’intégrer par rapport ^{à u : -.}

D’où:

On intègre facilement en passant ^aux coordonnées polaires s ^{et M} (fig. 5) ^{et en inté-} grant ^d’abord par rapport ^à s ; pour chaque ^{valeur de} w, s varie entre 0 et 2

cos w. On trouve :

et, ^en portant ^cette expression dans la formule (6), ^{on trouve} (D = 2r,

Fig. 5.

’

Problèmes de probabilités. - ^En poursuivant les raisonnements précédents ^{et en} appliquant le théorème de Bayes ^{sur la} probabilité des causes, ^on peut ^{calculer le nombre}

moyen de chocs quand ^une molécule passe du récipient ^{A au} récipient ^{B ou} quand ^elle

revient dans le récipient ^{A. On trouve} dans les deux cas : -.

Si la température ^est uniforme, ^on peut ^calculer l’intervalle de temps moyen entre deux chocs, ^{il est} égal ^à

Connaissant le nombre moyen de chocs et l’intervalle de temps moyen entre deux

chocs, ^on calcule immédiatement le temps moyen pendant lequel la molécule séjourne ^dans

le tube capillaire.

Une partie ^{de la théorie} précédente ^est analogue ^{à un} calcul que m’avait indiqué

M. Langevin. ^{Admettant une} chute linéaire de pression, Langevin obtient le débit en

calculant le nombre de molécules envoyées directement après ^{un choc à travers une}

section quelconque, soit dans le sens positif, soit dans le sens négatif. ^Je remercie vivement M. Langevin de s’être intéressé aux considérations qui précédent ^et de m’avoir commu-

niqué ^{ses calculs,}

Manuscrit reçu le 10 mai 1932.