Influence de la recombinaison en surface sur la loi de décroissance des porteurs minoritaires en excès dans un semiconducteur

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Submitted on 1 Jan 1962

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Influence de la recombinaison en surface sur la loi de décroissance des porteurs minoritaires en excès dans un

semiconducteur

André Fortini

To cite this version:

André Fortini. Influence de la recombinaison en surface sur la loi de décroissance des porteurs minori-

taires en excès dans un semiconducteur. J. Phys. Radium, 1962, 23 (5), pp.273-276. �10.1051/jphys-

rad:01962002305027300�. �jpa-00236625�

19

LE JOURNAL DE PHYSIQUE

ET

LE RADIUM

INFLUENCE DE LA RECOMBINAISON EN SURFACE

SUR LA LOI DE DÉCROISSANCE DES PORTEURS MINORITAIRES EN EXCÈS DANS UN SEMICONDUCTEUR

Par ANDRÉ FORTINI,

Institut d’Études Nucléaires de l’Université d’Alger.

Résumé. 2014 L’auteur calcule le nombre total de porteurs minoritaires en excès à l’instant t

successivement dans les deux cas suivants : excitation optique d’un cristal unidimensionnel ^« semi infini » et excitation optique, supposée uniforme à l’instant initial, d’un cristal unidimensionnel de dimension finie. Il étudie aussi les cas particuliers ^où la loi de décroissance est exponentielle.

Abstract.

The author computes the total number of excess minority carriers, ^at time t,

successively in both the following ^{cases :} first, optical excitation of a semi-infinite one dimensional

crystal, secondly, optical excitation supposed uniform at initial time, ^{of a} finite-one-dimensional

crystal. He studies also particular ^cases where the process is exponential.

Tome 23 No 5 MAI 1962

I. Introduction.

La loi de décroissance _expo- nentielle des porteurs minoritaires dans un semi- conducteur est altérée par l’effet de la recombi- naison en surface. Le problème ^{a été traité en cher-}

chant le développement ^{de la solution de} l’équation

de conservation sur un ensemble de fonctions ortho-

gonales [1], [2].

Dans le présent article, ^{nous calculons le nombre}

total de porteurs minoritaires en excès à l’instant t,

à partir ^de l’équation ^de conservation à une dimen- sion dans laquelle ^les conditions aux limites ont été

incorporées. ^Nous envisageons ^{deux cas : excitation} optique ^d’un cristal unidimensionnel ^« semi-infini _{» ;}

,

excitation optique, supposée ^{uniforme à l’instant} initial, ^{d’un cristal} unidimensionnel de dimension finie.

II. Cristal «Semi-infinli».

Nous supposons le cristal excité optiquement, pendant ^un temps ^très court, ^{sur la face x}

0, ^{en lumière monochro-} matique ^de coefficient d’absorption ^{a. Nous} faisons,

en outre les hypothèses suivantes : la recombi- naison en volume s’effectue uniquement par les

pièges ^{avec la constante de} temps ^{Tv ;} les états de surface sont rapides par rapport ^{à ’t’v et} peuvent

être décrits _par un seul paramètre : la vitesse ^de recombinaison s. L’effet de la recombinaison en sur-

face est d’introduire une distorsion dans la distri- bution p(x, t) ^des porteurs ^{à l’instant t. La} figure ¹

FIG. 1.

1

donne en a) ^cette distribution lorsque s

^{0 et en} b)

son allure, lorsque s # ^0.

La fonction p(x, t) ^est nécessairement symétrique

en x puisqu’elle ^est évidemment solution _{du pro-} blème obtenu en effectuant une symétrie par rap-

port ^au plan x

^{0. Nous sommes ainsi conduits à}

rechercher une solution symétrique ^{en x de} l’équa-

tion de conservation :

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01962002305027300

274

D est le coefficient de diffusion des porteurs ^minori- taires ; ^{aI e-alxl est la} répartition ^des porteurs ^hors d’équilibre à l’instant t

0 ; 8(x) ^et 8(t) ^{sont les}

fonctions de Dirac de x et de t.

Dans le cas présent :

L’équation (1) s’écrit donc :

Nous allons effectuer sur p(x, t) ^{une transfor-}

mation de Fourrier _par rapport ^{à x et une trans-}

formation de Laplace par rapport ^au temps ^t.

Soient X et w les variables conjuguées ^{de x et de t} respectivement ^{dans ces deux} transformations ; Q(Ã, ce) l’image ^de p(x, t) :

Q(A, W) ^est solution d’une équation intégrale qui

se déduit immédiatement de (3) :

Posons :

En divisant les deux membres de (4) par

m + 1/’t’v + ^{47t2 D X2 et en} intégrant ^{en x}

de

oo à + oo, ^on obtient une équation ^du premier degré en f ’ ’ ^{Q( À, co) d x; d’où :}

Les intégrales figurant ^{au second membre sont}

élémentaires. On trouve :

Portant cette expression ^dans (4), ^{on en déduit}

la valeur de Q(X, co). ^{Nous nous} intéressons plus particulièrement ^au nombre total de porteurs ^mino-

ritaires en excès à l’instant t (photoconductivité)

dont la transformée ^de Laplace ^{est :}

En revenant à l’original ^{on obtient} la fonction cherchée :

APPLICATIONS. CAS PARTICULIERS.

Il est inté- ressant d’introduire les grandeurs ^sans dimension :

d est alors la fonction de 0 donnée _{par :}

w

Si, par exemple, ^{on veut} déterminer la limite

supérieure de s pour que P(t) ^diffère peu de l’expo-

nentielle e-o, ^on cherchera la condition _{pour que} la fonction f( 0) ^telle que :

soit nettement inférieure à 1 pour 0 ~ ^{1. Le résul-}

tat peut ^{être mis sous une forme} simple ^{dans les}

deux cas suivants :

a) ^{a » 1} (excitation peu absorbée). ^{En déve-} loppant (6) ^par rapport ^à 1 joc et g :

L’effet de la surface est négligeable ^{si :}

b) ^{oc « 1} (excitation ^fortement absorbée). ^On développe (6) par rapport ^{à a} et j3 :

Cette fois l’effet de la surface est négligeable ^{si :}

I I I. Cas d’un cristal de dimension finie

La même méthode s’applique ^{au cas où la dimension du cris-}

tal selon ox est finie. Nous conservons les notations

précédentes ^{et nous} appelons ^W l’abscisse de la deuxième face du cristal.

Considérons le milieu périodique, ^de période ^W,

tel que dans chaque intervalle [nW, (n + 1)W]

(n ^entier quelconque), ^les propriétés soient iden-

tiques ^à celle du cristal considéré dans l’inter- valle (0, W). La densité des porteurs ^en excès, p(x, t), ^{en un} point quelconque ^d’un tel milieu est

une fonction périodique ^{de x. Dans} l’intervalle

(0, W), c’est la solution cherchée. Elle satisfait à

l’équation ^de conservation :

où nous avons supposé que la densité ^en excès I à l’instant 0 est uniforme _{et que la} vitesse de recom-

binaison s est la même sur les deux faces.

De façon analogue ^{au cas} précédent, ^{nous cher-}

chons la transformée de Laplace en t, q(n) (w), ^des

o efficients de Fourrier de la fonction p(x, t)

Compte ^{tenu des} relations évidentes :

on trouve aisément que q(n)( Cù) ^{satisfait à} l’équa-

tion :

Les symboles ^{de Kroneker} 80n ^sont les compo- santes de Fourrier de la fonction constante égale

à 1. De cette dernière équation, ^on tire, ^en posant

or :

d’où :

La transformée de Laplace ^{du nombre total de} porteurs :

n’est autre que W q(o)(w), soit, d’après (8) :

Pour plus ^de simplicité ^nous introduisons la va-

riable

avec les paramètres

Nous sommes ramenés à rechercher l’original ^de

la fonction de Z :

On peut ^démontrer facilement _{que les} zéros de la fonction de Z

sont les nombres où

Le théorème de Heaviside s’applique ^{et donne}

pour l’original ^de Q(O)(Z) :

Il s’ensuit _{que :}

FORMULES APPROCHÉES. CAS PARTICULIERS.

Les nombres v0, v1,

vk

sont croissants car

Les f onctions de _y

deviennent rapidement négligeables lorsque ^l’indice

croit zig. 2). ^La première ^{d’entre elles reste voisine}

FIG. 2.

de 1 jusqu’à y - 5. Sauf peut ^{être au} voisinage ^de

t

0. le phénomène ^{est donc décrit avec une}

bonne précision ^{par :}

276

C’est une fonction exponentielle ^{de constante de} temps ^{T telle} que :

Dans le cas plus particulier ^où y « ¹ c’est-à-dire S « 2D/W ^{on a} approximativement :

et la relation (12) ^se simplifie ^{en :}

relation valable dès _que W est ^assez faible. Nous retrouvons un résultat connu que l’on peut ^obtenir directement en intégrant l’équation ^{de conser-}

vation de 0 à W.

Cas où s ^est grand.

^Si y - ^o0

et

Le second terme de la série devient inférieur à la

fraction X % ^du premier ^à partir ^de l’instant tz : A cette approximation l’équation (8) ^{s’écrit :}

Conclusion.

Nous avons calculé la photo ^ré-

ponse dans ^un cristal semi-conducteur, ^{dans le cas}

d’une excitation impulsionnelle, ^{en tenant compte}

de la vitesse de recombinaison sur les faces de l’échantillon. Les deux cas envisagés ^{sont ceux} qui

se présentent ^le plus couramment. Le choix entre les deux est déterminé _{par la} source dont on dispose

et la sensibilité du dispositif ^{de mesure.} L’approxi-

mation unidimensionnelle n’est _pas une restriction grave puisqu’on peut toujours ^s’en rapprocher ^suf-

fisamment pour qu’aucune ^erreur importante ^ne

soit introduite dans la mesure. Par contre, ^elle per- met de formuler une solution rigoureuse du pro- blème.

Manuscrit reçu le ¹³ janvier ^1962.

BIBLIOGRAPHIE [1] ^MCKELNEY (J. P.) ^{et LONGINI} (R.), ^J. Appl. Physics

1954, 25, ^634.

[2] ^STEVENSON (D. T.) ^{et KEYES} (R. J.), ^J. Appl. Physics

1955, 26, 190.