Polarisation de la lumière due à une excitation optique par echelons

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Polarisation de la lumière due à une excitation optique

par echelons

Paul Soleillet

To cite this version:

POLARISATION DE

LA

LUMIÈRE

DUE A UNE EXCITATION

_OPTIQUE

PAR

ECHELONS

Par PAUL SOLEILLET.

Institut de

_{Physique, Strasbourg.}

Sommaire. - La polarisation de la lumière émise par un atome à la suite d’une excitation optique

par échelons a été étudiée en fonction de la polarisation des radiations excitatrices.

Si l’atome est _placé dans un _{champ magnétique} nul, du fait de la _symétrie, il ne s’introduit dans

l’expression des lois que 11 constantes indépendantes, qu’il est facile de calculer à partir des _{probabilités} de passage. Ces lois se retrouvent à l’aide d’une _{hypothèse, généralisation} de celle faite à propos de la

résonance optique sur la cohérence des vibrations émises et une modification intuitive de cette hypothèse dans le cas où le champ cesse d’être nul permet

_{de trouver}

une expression de l’influence du champ magnétique. Une _application en a été faite au cas de rémission par échelons.

i. Introduction. - Dans un

précédent

mémoire

(1)

nous nous sommes

_occupés

de la

_polarisation

de la, lumière due à une excitation

_{optique unique,}

résonance

ou résonance

_{généralisée.}

Nous avons _{montré que l’on}

pouvait

retrouver les résultats calculables dans le cas

d’un

_champ

_magnétique

nul en se servant d’une

hypo-thèse sur la cohérence des diverses vibrations émises.

Rappelons

brièvement cette

_hypothèse.

Un

_champ

nul

pouvant

être considéré comme un

_champ

évanouissant

de direction

arbitraire,

nous

_{distinguerons}

_pour un

niveau

_{atomique hyperfin,}

ses divers niveaux de

décomposition

magnétique. A

tout _passage de l’un des niveaux de

_départ

à l’un des niveaux d’arrivée en

pas-sant _{par l’un} des niveaux excités nous faisons

corres-pondre

une vibration émise

_t,

La

_phase

de cette vibration

_est,

à une

_quantité

_a’f

_près,

la même que celle

de l’une des

_composantes

de la vibration excitatrice un

instant -c

_auparavant.

En

_supposant

_que ces

quan-tités varient au hasard au cours du

_temps,

avec la seule condition de rester

_égales

pour les diverses vibrations

_{correspondant}

au

_départ

d’un même niveau pour une arrivée à un même niveau

_(vibrations

de même

_départ

et

_arrivée),

on retrouve exactement les résultats

_prévus

_{pour la}

_polarisation

dans un

_champ

nul. Nous avons

_imaginé

en outre _que

_chaque

vibra-tion subit dans un

_{champ magnétique}

II une modifica-tion de

_phase

_égale

à

’hl, m

étant le nombre

quantique

magnétique

du niveau excité

_{correspondant}

à ~, g

son facteur de

_{Landé, ~}

le

_magnéton

de

Bohr,

et

que

d’autre

_part

r,

_{correspondant}

à la durée de vie à

l’état

excité,

avait une

_probabilité

d’avoir une valeur

_comprise

entre T et -c

₊

dT. Cela nous a

permis

de trouver les lois de la

_polarisation

dans un

champ

quelconque faible.

Nous allons

_appliquer

ces

considérations au cas _{d’une excitation par échelons.}

Après

avoir obtenu les lois de la

_polarisation

de la (1) Journal de _1936, t. 7, p. 7~. Dans la suite ce

mémoire sera désigné par (II), la _{désignation (I)} étant réservée à

un inémoirc antérieur., Annales de _Physique, ~I~?9, 12, 23.

lumière émise dans un

_{champ magnétique}

_nul,

nous

montrerons _que ces lois

_peuvent

se retrouver à l’aide d’une

_hypothèse

_{généralisant}

exactement la

_première

partie

de

_{l’hypothèse développée plus}

haut. De

_plus

la

généralisation

de sa deuxième

_partie

nous

_permettra,

dans le cas d’un

_champ

non

_nul,

d’obtenir

_{l’expression}

des lois de la

_polarisation

en fonction du

_champ.

Fig. 1.

Nous

n’étudierons,

bien

entendu,

que le cas le

_plus

simple

de l’excitation

_optique

_par

_échelons,

celui où deux radiations seulement sont excitatrices. Voici la

description

précise

du

_phénomèno

_(fig.

_1).

L’absorp-tion d’un

_{premier quantum}

de

_{fréquence ’)}

_{fait passer} l’atome du niveau initial a à un

_premier

niveau excité b.

L’absorption

d’un second

_quantum

de

_fréquence

v’ le fait passer de ce

_premier

niveau excité b à un second niveau excité c. L’émission d’un

_quantum

de

fré-quence v"

le fait _{enfin passer de} ce second niveau excité

au niveau final d. Les niveaux en

_{question ri, b, c, d}

sont des niveaux

_hyperfins,

c’est-à-dire

proviennent

de la

_{décomposition}

de niveaux fins par le

spin

nucléaire. Le nombre

_quantique

_f

_{correspondant}

à chacun d’entre

eux sera

_désigné

_par

_f,

f’,

Dans un

_champ

magnétique

le niveau (i se

_décompose

1

ni-veaux a _{caractérisés par} un nombre ni et _que nous

désignerons

chacun par a

(rn),

de même b

_{en 2f’+ 1}

niveaux ~

(m’),

et c

_{en 2f"}

_{+ 1}

niveaux _j’

_(ni")

et d en

+

1 niveaux

_1(»1"’).

_{On voit que} nous ne

119

TABLEAU 1.

rons _{ici que l’émission d’une raie}

_{hypenine après}

excitation successive par deux raies

hyperfines.

~~ Lois de la

_{polarisation.}

- Si le

champ

n’est

pas

nul,

nous

_prendrons

_pour axe 0~ la direction du

champ

et,

si celui-ci est

_nul,

nous

_prendrons

arbitrai-rement 0:: en

_spécifiant

que cette direction est celle du

champ

évanouissant. Les trois

_types

de vibrations fondamentales seront _{fixés par}

_rapport

à cet axe

_aprés

le choix des axes

_0?/

et 0/ nous _{pourrons défini la}

première

vibration excitatrice par trois nombres

121

La seconde vibration excitatrice sera définie par trois nombres

_{analogues f’E~ (t).}

La vibration émise sera

éga-lement définie par les trois nombres

F., (t).

D’après

ce

_qui

a été dit dans

_(I)

et

_(II),

il est naturel de supposer que les

quantités caractéristiques

1 et V de la lumière émise ne

_peuvent

_dépendre

_{que des}

quan-tités

_{caractéristiques}

u, v et

_{u’, v’}

des deux radiations excitatrices et cela d’une

_façon

linéaire. Dans ce

_qui

suivra,

il sera intéressant d’utiliser pour

_U,

_V,

V~ une

notation à deux indices

J

Dans ces formules les w seront tels que la densité

d d f ’ , Av

du

_rayonnement

de

_{fréquence comprise}

entre v

- "2

2 soit uo étant défini par ,

De même les w’ seront _{tels que la densité du} rayon-nement de

_fréquence

_comprise

entre

soit

U ’ 0

-~/,

étant défini

lDk 1 k

=

U ,

~- u’2 2 -r-

u 3’

Enfin la quan tité

_WZ

se

_rapportera

à

_l’énergie

émise par l’ensemble des atomes éclairés

_pendant

l’unité de

_temps.

D’après

ce _que nous avons dit

_plus

haut,

les W doi-vent être des fonctions linéaires et

_homogènes

des 1/)

et le’.

Le cas

_général

introduit donc à

priori

93 == i 29 coef-licîeats. Ces

coefficients,

qui

sont en

_général

imagi-naires,

doivent vérifier les conditions

Considérons le cas d’un

_champ

nul. Les valeurs due 7

ne

_peuvent

_dépendre

du choix des axes, car le milieu soumis à la lumière

_possède

une

_{symétrie sphérique.}

Or,

pour un

_{changement d’axes,}

les

_quantités

’il.’, w’ subissent une certaine transformation linéaire. Les T

doivent être tels que les

JJ7,

calculés à

_partir

des w et u·’ en se servant des formules

_(2),

subis sent la même

transformation linéaire. Cela ne

_peut

se

_produire

_que

si les T obéissent à certaines relations.

Nous avons obtenu ces _{relations par des} calculs

élé-mentaires mais assez

_long·,

en

_passant

_par

l’intermé-diaire des

_quantités

_L,

C, AS’

de

_(I).

Le résultat est contenu _{dans le tableau 1. Nous y voyons que}

beau-coup des

quantités

7’sont

_nulles,

les autres sont

_égales

à l’une des 44

_{quantités Iii.}

Mais ces

_quantités

ne sont pas

indépendantes.

On

_{peut exprimer}

toutes ces

quan-tités à l’aide des 9l 1

_premières

_{par des}

_expressions

linéaires dont les coefficients sont _{fournis par le}

ta-bleau II.

3. Calcul des

_quantités

k,.

- Nous allons

voir que l’on

_peut

calculer facilement les valeurs des 14 pre-miers

ki

en se servant des

_{probabilités}

_{de passage. Les} formules du tableau Il

_permettent

alors de calculer les 30 autres.

Considérons le cas où une seule des

_quantités

u, t1,, est différente de

_zéro,

les v étant alors nécessairement nuls et où de même une seule des

_{quantités u’,}

est différente de zéro. Si nous ne nous _{occupons que de la}

composante

de

_{type r,}

de la vibration

_émise,

nous

voyons

qu’à

chacun des niveaux a

_{(iii) correspondra}

un _processus

_{complet :}

Passage

de

_{a {m)}

avec

_{ni,’ - ni = 1 , 0 , -}

1 selon

que E = 1, 2,

3,

c’est-à-dire avec

Ensuite passage

au

_{niveau (7u")}

avec ln"-ln"!

=1, 0,

-1 selon que

’ =1,

2,

3,

c’est-à-dire avec m" =m’-E’ Enfin passage au niveau 1

_(i7i)

avec

_{=1, 0,}

-1 selon

_{2, 3,}

c’est-à-dire avec

-~-m-~,-~~~’~-i-~.

Soit fi le nombre d’atomes dans chacun des états

_{a (i7e) ,}

n étant, bien entendu,

_indépendant

t de

_le

nombre de de ces _{processus par unité} de

_temps

_pourra être calculé à l’aide des

_{quantité Cf;}

_{{ f,}

₁₁₁₎

_{fournies par le tableau}

ci-après.

’

La

_{signification}

de ces

quantités

(f,

_m)

est la

sui-vante. Soit un niveau

_supérieur

_hyperfin

a1 de nombre

quantique

fi

et un niveau inférieur a,, de nombre

f2,

p

a2)’

la

probabilité

par unité de

temps

pour un

atome _{de passer de} ai à ~2? la

probabilité

par unité de

temps

pour un atome _{de passer du niveau} ai

_(lii)

au

niveau -X2 est

où

selon que

TABLEAU III donnant les vuleurs cle

_(r,

nr ).

On

_peut

d’ailleurs vérifier que

Ce passage de ai

_(ml)

à a2

(mz) s’accompagne

de l’émission d’un

_quantum

de

_fréquence

vo et de

_type

de

polarisation y.

Inversement en

_présence

d’un

rayonnement

de fré-quence ,>o, de

type

de

_{polarisation j,}

dont la densité d’ én

r-. A

gie

dans l’intervalle

probabilité

pour un atome

_{de passer}

de a~

(nl2)

à al

_(mi)

est

_égale

à

Ceci étant

_posé,

il en résulte que par unité de

temps

le nombre d’atomes

_passant

de a

_(ml

_(m’)

est

_égal

à

en

désignant par

_(pe

_(m’)

la

quantité

_cul

Si 1)

est la

_probabilité

_{totale par unité de}

_temps

de

déparL

d’un des

_{niveaux y,}

le nombre des atomes

_qui,

à un instant

_{donné, après}

avoir effectué _{le passage}

a

--~- 3

(m’)

sont encore à

_{l’état p (m’),}

est le suivant :

Parmi ces

atomes,

le nombre de ceux

_qui

_{par unité}

de

temps passent

à y

(ni’)

est

en en

_désignant

_deslgnant

par _{par 9s’}

p’,

(»i")

_(Hl)

la la

_quantlte

_9£’

_{(f". »i").}

1.

(.

’lU

_).

Si

_pliest

la

_probabilité

_{totale par unité de}

_temps

de

_dépa.rt

d’un des niveaux _;, le nombre des atomes

qui,

à un instant

_{donné, après}

avoir effectué les

pas-sages a

_{(nt) - fi (ni’ )}

~

sont

encore à

est le suivant :

et par suite le nombre des atomes

qui

par unité de

temps

passent

y

(ni") à 1 (m’‘’) après

avoir effectué les

passages a

_(n1)

_{- p}

_(rn’)

- _y est

en

_désignant

_par

_1>"1;

_(fit")

la

_quantité

_9("’-("+2

_{( f", nc").}

r

A chacun de ces _passages

_correspond

l’émission d’un

quantum

d’énergie hv",

par suite

l’énergie

émise par unité de

_temps

est

avec

Si l’on effectue le même raisonnement pour chacun des niveaux a

_(ni)

et si l’on admet que l’on

peut

alors additionner les

intensités,

on _{voit que dans} ces condi-tions d’excitation

_l’énergie

émise sous forme de

vibra-tion de

_{ty-pe %}

es t

Par suite

Nous avons ainsi

_{l’expression}

des

_quatorze

pre-miers k;

et _{par suite} nous _{pouvons calculer} tous les

_k;.

Posons

~Z =

Q2 titre

_d’exemple,

nous

_appliquerons

cette méthode au calcul des c~l dans deux cas

particu-liers.

123

représentant

par des

points

sur

_quatre

_lignes

relatives

à chacun des niveaux a,

b,

c,

d,

les divers niveaux de

décomposition magnétique

de ces

_niveaux,

les colonnes

correspondant

à ceux dont le nombre ni

_possèdent

la

même valeur. On écrira aussi sur la

_portion

de droite

Fig. 2,

verticale ou inclinée

_{qui joint}

deux niveaux entre

les-quels

les passages sont

_permis

la

_quantité

_{o relative à}

ces _{passages, tout} en

_pouvant

mettre à

_part

un facteur

commun aux divers passages entre deux

_lignes.

A

chaque

ensemble de valeurs E,

E’,

r

correspond

un

parcours

généralement

en

_zigzag

_comportant

des

_lignes

verticales et

_obliques

et le dessin due ce _parcours est

caractéristique

de l’ensemble

_e,

’1). Ainsi

est

/

caractéristique

e’=="2=i.

Fig. 3.

Nous obtiendrons la

quantité

úJ telle que

en effectuant le carré de tous les

_produits

des trois

valetirs z,

que l’on rencontre à

_partir

de

_chaque

niveau

x

_(ni)

en

_traçant

ces _parcours en

_zigzag

sur la

_figure

et

en additionnant les résultats. Nous

_opérerons

ainsi dans le cas où

_{(cas 1)}

et où

_(cas

₂₎

Par

_exemple

_{pour w9, tel que}

nous _pourrons écrire 1 en

_désignant

_par

pour

chaque

valeur de

_(ni)

la

_quantité

_pi

_(in’).

(m")

~1

(m~~),

la sommation étant étendue à toutes les valeurs de m.

Dans cas

_1,

dans cas

_2,

Le tableau suivant

_(tableau

donne les valeurs des c~~ dans chacun des deux cas. Les

_quatorze

pre-miers fi); ont été calculés directement par ce

_procédé,

les autres _{par les relations du tableau 2.} On

_peut

d’ail-leurs vérifier les trois relations

_prévues

_{entre les} qua-torze

_premiers

des c~;,

Mais ces résultats

_peuvent

se retrouver d’une

_façon

toute

_différente,

chacun des w;

pouvant

être calculé directement à l’aide de

_{l’hypothèse}

suivante à

_partir

des _9.

4.

_Hypothèse

fondamentale. - A

_chaque

pro-cessus

_complet

constitué _{par les trois passages}

succes-sifs

faisons

_correspondre

l’émission d’une

_{vibration ~}

dé

type -ri

et caractérisée à l’instant t par le nombre

ima-ginaire

-r et -,’ étant des retard s variables avec

_{le temps,}

corres-pondant

aux durées de vie dans

l’état ~

ou _y et

obéis-sant d’une

façon

indépendante

à des lois de

_{probabilité.}

T a une

_{probalité p}

d’avoir une valeur

_comprise

entre T et

_~-~-d:,

i/ une

_{probabilitép’}

e-P’T’ dit d’avoir

une valeur

_comprise

entre ’t’ et

_hj

est un

dépha-sage, variable avec le

_temps,

tel que

_~1

et

_’~2

étant deux vibrations

_{correspondant}

la

_première

aux _{passages successifs}

la seconde aux _passages

, cl x

d

8.~,

-

e ~2

a une

_probabilité

com-TABLEAU

donnant dans cas

_1,

1,~6;

dans cas

_fi,

w X 27.

prise

entre 2 et x

₊

d a sauf si in

tous les deux

_{nuls, auquel}

cas -

e~2

= 0.

C’est la

_{généralisation}

immédiate de

_{l’hypothèse}

faite dans le cas de la résonance. Comme dans ce cas nous

dirons de tout

_couple

de vibrations telles que m, - m~ et

_m~

-

ne, ,,,

sont tous deux nuls

_qu’il

est constitué ,

de vibrations de même

_départ

et arrivée.

5. Calcul

_{des ki}

à

_partir

de cette

_hypothèse

Pour l’ensemble des vibrations émises nous aurons

en étendant la sommation à toutes les

vibrations )i

de

type

-11 et toutes les vibrations de

type

~2.

¡

Désignons

par i.)’

£:2 "fi (»i)

la

quantité

avec

Nous aurons

la somation 1 étant étendue à toutes les valeurs pos-sibles de

Pour les termes de cette

sommation,

deux cas

peu-vent se

_produire

ou bien

et

sont

_inégaux

et _{le fait que}

_0’11

-

puisse prendre

uni-formément toutes les valeur entraîne la nullité du

terme

_{correspondant}

,,, ,,,

ou bien

_m1

=

ne, ; c’est ce

_qui

se

_produira

si

alors

_moy.

_...

_1,

se réduit à

_we’

_o.

, E

C i

Nous avons donc

la sommation l’ étant étendue à tous les niveaux m et à tous les ensembles de

valeurs r: 1,

E2, ~’~,

qui

véri-fient

_(18).

125

si cette relation

(18)

est vérifiée et

si elle ne l’est pas.

6. La vérification de

_{l’hypothèse. -}

En ce

_qui

concerne les 7’ de la forme 7

_:~I::

nous _{voyons que} ces

résultats concordent avec ceux du

_paragraphe

3. En ce

qui

concerne _{les autres remarquons d’abord que les}

ter-mes

_nuls,

_{ceux pour}

_lesquels

_ri

-

’f¡2

-=1= =1

-

E2

₊

F-11

-

E’ 2

sont

_{précisément}

ceux

_qui

sont t nuls dans le tableau I. Pour rendre ce fait

_plus

_évident,

les 9

_lignes

et 9 colonnes de chacun des tableaux donnant W ont été

_groupés

_{en 5 groupes}

_{respectivement}

de

_{~1, 2,}

_ai,

_~,1

éléments. Dans chacun de ces

_rectangles

ou carrés ainsi

_découpés

dans les tableaux les termes

_possèdent

une valeur commune _{pour Et} 2013 ~ et r’1 1 -

F-’2. Or,

les ensembles de termes non _{nuls forment des groupes}

disposés parallèlement

à la

_diagonale

non

_principale

de chacun des tableaux. Ils

_{correspondent}

bien à

Mais nous _{n’avons pas montré dans le} cas

_général

qu’entre

les termes non nuls existaient les relations du

tableau II. Nous nous sommes contentés de vérifier

dans

_quelques

cas

_particuliers

que ces conditions sont

effectivement

_remplies.

Ainsi dans les cas 1 et 2 étu-diés au

_paragraphe

3 nous avions calculé pour le

tableau IV tous _{les wi à}

_partir

des 11

_premiers,

nous

pouvons maintenant les calculer directement à

partir

de leur

_expression

Par

exemple

calculons c~2~

qui d’après

le tableau 1 est

égal à

Dan s cas 1

Dans cas 2

Ces valeurs concordent avec celles du tableau IV.

7. Cas d’un

champ magnétique

non nul.

-Généralisant

_{l’hypothèse}

faite dans le cas de la

réso-nance

_optique

sous la forme

_précisée

au

_{paragraphe 1}

de ce

_mémoire,

nous

_prendrons

_pour

_F,

_{l’expression}

suivante :

g

et g’ étant

les facteurs de Landé relatifs aux

_niveaux

et y.

Nous aurons alors

la sommation 1 étant étendue à tous les ensembles de valeurs de ni, ¿1J

~’1,

E2,

Si la relation ri - = _c1 -

~2

+

E’i

-

E.’2

n’est pas

vérifiée,

le terme

_{correspondant}

dans la sommation

est nul. Si elle est vérifiée le terme devient

En se servant des formules donnant les

_{probabilités}

de T et T’ cette

_expression

devient :

ou

en

_posant

Or

On _{voit donc que dans le} cas où le

_champ

magné-tique

cesse d’être nul

_chaque

terme

l’e",""2

doit être

multiplié

par

L’expression générale

de la

_polarisation

de la lumière due à une excitation par échelons est donc la suivante :

8. Conclusion. - Comme nous l’avions

annoncé,

nous avons

_{généralisé}

au cas _{de l’excitation par}

échelons

_{l’hypothèse}

qui

nous avait

_permis

de rendre

compte

de la

_polarisation

dans la résonance

_optique.

D’autres

_problèmes

_pourraient

être traités. Nous

cite-rons seulement un cas

_qui

_pourrait

se

_prêter

peut-être facilement à des vérifications

_{expérimentales.}

Fig. 4.

,C’est le

_phénomène,

voisin de _{celui de l’excitation par}

échelons,

que nous

_appellerons

_{émission par échelons.}

Une excitation _{fait passer} un atome d’un niveau à un

niveau

_{excité b,}

_{l’atome passe} ensuite à un niveau

inféri,p,ur c,

puis

de là à un autre niveau

_plus

bas d

{fig.

4.).

l,a

_polaiisation

de la lumière émise dans le

passage de c à /

_dépend

de celle de la lumière

_qui

a

servi à l’excitation de a à b. Sans vouloir entrer dans le

détail,

tout se _passe comme s’il

_s’agissait

d’une excitation par

échelons,

la deuxième excitation étant

isotrope.

Les _{formules pour le}

_champ

nul sont nécessairement

analogues

à celles du cas de la résonance. On

_peut

d’ailleurs verifier que

Mais l’influence du

champ

magnétique

est alors toute différente

Le

_système

de vibrations émises subit

successive-ment

_pendant

un

_{temps T}

une rotation avec une vitesse

angulaire égale à g

fois celle de la rotation normale de Larmor et

_pendant

un

_temps

TI une rotation avec une