Polarisation des vibrations atomiques dans les cristaux

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Submitted on 1 Jan 1962

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Polarisation des vibrations atomiques dans les cristaux

N. Boccara

To cite this version:

N. Boccara. Polarisation des vibrations atomiques dans les cristaux. J. Phys. Radium, 1962, 23 (11),

pp.921-924. �10.1051/jphysrad:019620023011092100�. �jpa-00236719�

POLARISATION DES VIBRATIONS ATOMIQUES ^{DANS LES CRISTAUX} Par N. BOCCARA,

Laboratoire de Physique Théorique, Collège ^de France, ^Paris.

Résumé.

Une étude de l’influence de la symétrie du milieu cristallin sur sa dynamique permet

de construire

tableau faisant connaître la polarisation ^des oscillations atomiques qui ^sont pilotées par

vecteur d’onde donné. Les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un ^vecteur

d’onde parallèle ^à

direction donnée pilote, quel que soit

module, des oscillations rectilignes longitudinales pures

transversales pures ^sont ensuite établies dans le

général d’un cristal dont la maille élémentaire renferme plusieurs ^atomes.

Abstraet.

Thermal vibrations in crystals ^are generally ^neither longitudinal

transverse.

The purpose of this paper is first ^to present in tabular form the polarization of the atomic vibra- tions corresponding ^to

given ^wave vector and then to discuss,

the general

^of polyatomic crystals, the existence of pure longitudinal and pure transverse modes.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM TOME 23, ^NOVEMBRE 1962,

Définitions et notations.

Dans un cristal la

position ^{d’un atome} peut ^être repérée par trois translations : m + j + um. ^{La première m est une}

translation du réseau cristallin, ^la seconde j ^est

inscrite dans la maille ^et la troisième um exprime ^le déplacement de l’atome à partir ^{de sa} position

moyenne ^m + j. ^Pour simplifier ^on appellera

atome mj, l’atome dont la position moyenne. ^se trouve à l’extrémité du vecteur m + j.

En accomplissant ^un déplacement ul ^à partir ^de

sa position ^{moyenne, un atome} pk exerce sur un

atome m ayant lui même effectué ^un déplace-

ment ur, ^{une force de} rappel ^{dont les} composantes,

à l’approximation ^de Hooke, ^{sont :}

Les constantes de rappel ci§" ainsi définies forment un tenseur d’ordre 2, ^{covariant et} symé- trique ^{en oc et} P. ^{Si on} pose

La force globale appliquée ^{sur l’atome} mj ^a pour

expression

Si _g est le nombre d’atomes par maille élémen- . taire et n le nombre de mailles élémentaires _que

comporte ^le cristal, celui-ci constitue un système dynamique ^à 3ng degrés ^{de liberté dont les} équa-

tions sont :

’

(LI est la masse d’un ^atome de type j.

Pour obtenir des solutions sous forme d’ondes

harmoniques planes, posons :

(f = p# exp , 12 pi ^{est la} composante ^contra- variante sur l’axe

du vecteur caractérisant l’oscillation accomplie par ^{un atome} j, q ^est le vecteur d’onde. En portant (2) ^dans (1) ^{on obtient :}

où

et

Les termes yj ^sont les éléments d’une matrice hermitienne et définie positive ^d’ordre 3g ^X 3g,

dite

matrice de Fourier _», dont les valeurs caracté-

ristiques ^sont égales ^aux carrés des pulsations ^des

oscillations atomiques pilotées par ^{un vecteur} d’onde _q. Chaque ^{vecteur d’onde} pilote 3g ^oscil-

lations harmoniques. ^{Le nombre de vecteurs d’onde} indépendants ^{est donc} égal à n ; ^{ceux de} plus petit

module sont inscriptibles ^{dans une} première ^zone

de Brillouin.

Influenee de la symétrie ^{du milieu} cristallin.

Le cristal n’est rigoureusement périodique que si les atomes occupent ^leurs positions moyennes. Les coefficients cif, ^{fonction de ces positions}

moyennes, sont donc soumis à la symétrie ^du

milieu cristallin. Lorsque ^{le vecteur} d’onde n’a pas une direction absolument quelconque, ^il est souvent

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019620023011092100

922

possible ^{d’obtenir une} expression réduite de la matrice de Fourier.

Une opération ^de symétrie ^S transporte ^la posi-

tion moyenne d’un ^atome mj ^{sur la} position

moyenne d’un autre atome m’ j’, identique (à ^l’iso- topie près), ^{les deux atomes} devant avoir le même environnement avec la même orientation. L’opéra-

tion de symétrie S ^la plus générale ^se décompose ^en

une translation suivie d’une rotation directe ou

inverse représentée, lorsqu’on ^a fait choix d’un

système d’axes, par ^{une matrice} orthogonale. ^La

méthode généralement adoptée pour réduire une

matrice ^{consiste à} identifier deux expressions ^de

cette matrice se déduisant l’une de l’autre par

l’application ^d’une opération ^de symétrie ^{du milieu}

cristallin. Si on désigne par m’ j’ ^et p’k’ ^{les trans-}

formés par l’opération ^de symétrie S ^{des atomes} mj

et pk, ^{on a}

Pour pouvoir identifier y(à ^et y ^{il est néces-}

saire que j’ - j ^{et k’}

^k. Donc, les seules opéra-

tions de symétrie qui ^sont intéressantes à consi- dérer sont celles qui ^{a un} point occupant ^une posi-

tion donnée dans la maille élémentaire font corres-

pondre ^un point occupant ^{la même} position ^dans

une autre maille élémentaire. Autrement dit, ^{il faut}

se limiter aux seules opérations ^de symétrie ponc-

tuelle, ^le point ^{fixe de} la transformation pouvant

être situé sur n’importe quel ^atome. Ainsi par

exemple si le milieu cristallin possède ^{un centre de} symétrie ^nous n’utiliserons cet élément que si

chaque ^{atome est centre de} symétrie. Notons cepen- dant que les sous-matrices y ^{relatives à l’inter-}

action entre deux atomes en même position ^{dans la}

maille élémentaire peuvent ^{avoir une forme} plus

réduite que les sous-matrices y ^{relatives à deux}

atomes en position différente dans la maille élémen- taire. Cela provient ^du fait que le réseau constitué par ^tous les atomes d’un même type peut ^{avoir une} symétrie supérieure ^{à celle de la} structure. Consi- dérons donc l’opération ^de symétrie ponctuelle S qui ^{amène les atomes} mj ^et pk ^en position m’ j ^et p’k.

En notation matricielle on a

et

S désignant ^{la matrice} transposée ^de S, ^d’où

Applieations.

Utilisons les résultats précé-

dents afin de préciser ^{l’état de} polarisation ^des

oscillations des atomes d’un cristal possédant ^cer-

tains éléments de symétrie, ^{le vecteur d’onde} q étant dirigé ^{suivant une direction donnée de l’es-}

pace réciproque. ^Les repères ^dans l’espace ^{direct et}

dans l’espace réciproque ^sont orthonormés, ^leurs origines coïncident et la direction du vecteur d’onde est toujours ^{choisie comme axe des x.}

1. CHAQUE ATOME EST CENTRE DE SYMÉTRIE.

Dans ce cas :

et

La matrice de Fourier est donc réelle, ^{il en est de}

même de ses vecteurs propres, ^toutes les oscil- lations atomiques ^sont rectilignes quelle que soit la direction du vecteur d’onde. C’est toujours ^{le cas}

pour ^un cristal monoatomique.

2. LE VECTEUR D’ONDE EST DIRIGÉ SUIVANT UN AXE DE SYMÉTRIE DIRECTE D’ORDRE n.

L’opéra-

tion de symétrie ^ne modifiant pas la valeur de

l’argument ^de l’exponentielle, ^{la réduction de la}

matrice de Fourier est donc, la même que celle d’un tenseur d’ordre 2, ^{on trouve :}

Donc si n est supérieur ^{à 2 on a des} oscillations

rectilignes qui sont, ^soit longitudinales pures, soit transversales pures, ^ces dernières étant dégénérées.

Si n

2, seules les vibrations longitudinales pures sont rectilignes, ^{les autres sont en} général ellip- tiques, ^le plan ^de l’ellipse ^{étant toutefois} perpen- diculaire au vecteur d’onde.

En considérant ainsi tous les éléments de symé-

trie possibles ^{et leurs} combinaisons, ^on peut ^déter-

miner dans tous les cas la polarisation ^{des oscil-}

lations atomiques. Les résultats sont rassemblés dans le tableau et les notations sont les suivantes : C : désigne ^{un centre de} symétrie.

M : désigne ^{un miroir.}

A. désigne ^{un axe de} symétrie directe d’ordre n.

Â. _désigne ^{un axe de} _symétrie inverse d’ordre n.

R : désigne ^une oscillation rectiligne.

E : désigne une oscillation elliptique.

L : désigne ^une oscillation longitudinale.

T : désigne ^une oscillation transversale.

nL : désigne ^une oscillation qui n’est pas longitu-

dinale.

nT : désigne ^une oscillation qui ^n’est pas ^trans- versale.

RT, == RT2 : signifie que les vibrations transver- sales sont rectilignes ^et dégénérées.

A titre d’exemple, ^{utilisons ce} qui précède pour

déterminer la polarisation ^des oscillations des

TABLEAU

POLARISATION

ATOMIQUES

DANS LES CRISTAUX

CONTENANT

ÉLÉMENTAIRE

atomes d’un cristal du type ^{diamant. Le réseau}

est cf c et la maille élémentaire comporte ^deux

atomes identiques. ^Cette structure est classée dans l’holoédrie cubique (m3m). ^{Or, on a vu que seules}

sont à considérer les opérations ^de symétrie qui

font correspondre ^{entre eux des} points occupant ^la

même position dans la maille élémentaire. Donc,

tout se passe ^comme si les deux atomes de la maille élémentaire n’étaient pas identiques ^{et la réduction}

de la matrice de Fourier ^est semblable à celle d’un cristal du type blende classé dans l’hémiédrie ^té-

traédique (4 3m). ^En particulier, chaque ^atome

n’étant pas ^centre de symétrie, les oscillations seront en général elliptiques. ^{Si q est} parallèle ^soit

à la direction 100 soit à la direction 111 on a des ondes RL et RT dégénérées, ^si q est dans le

plan ¹¹⁰ (miroir diagonal ^{il existe une vibration}

transversale rectiligne perpendiculaire ^{au miroir.}

Notons que si q ^est parallèle ^à la direction 110 on

n’a pas de vibration longitudinale rectiligne.

Propriétés réciproques.

^{Dans le cas} général

d’un cristal dont la maille élémentaire renferme

plusieurs ^atomes, nous avons trouvé que lorsque ^le

vecteur d’onde _{q est} dirigé suivant certains élé- ments de symétrie, les oscillations atomiques ^sont longitudinales ^ou transversales. Il nous faut exa-

miner maintenant quelles ^sont les conditions néces- saires et suffisantes pour qu’il ^en soit ainsi.

CAS,DES OSCILLATIONS LONGITUDINALES. - COM- mençons par établir le lemme suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour que le

vecteur d’onde _q, dirigé ^{suivant l’axe des x,} pilote quel que soit ^son module, ^les oscillations longitu-

dinales _pures, est que, pour ^tous les couples il possibles ^{l’on ait :}

La sommation portant . uniquement ^{sur des}

termes tels que le module ^et la composante ^sur

l’axe des x de b + j

^{k soient constants.}

La condition (6) ^est évidemment suffisante car

elle entraîne que quel que soit le module de _q tous les termes en xy ^{et tous} les termes en xz de la matrice de Fourier sont nuls.

La condition (6) ^est nécessaire _{car, pour que} tous les termes en xy ^{et en xz} de la matrice de Fourier soient nuls quels que soit le module de _q, il faut que l’on ait :

les sommations portant ^{sur des termes} tels que la

composante ^sur l’axe des x de b -)- j ^{- k soit cons-} tante. ^{Or ces} relations seraient purement ^fortuites (valables par exemple seulement à une tempé-

rature donnée) si elles n’étaient pas conséquence ^de

relations analogues, ^mais portant ^{sur des termes}

pour lesquels le module de b -)- j ^{- k} serait, ^lui

aussi constant.

Les C2k ^et Cg ^{ne pouvant pas être tous nuls, les}

sommations portent nécessairement sur plus ^d’un

terme.

924

Le module de b + j

^k étant constant pour tous les termes d’une même somme, les rela- tions (6) ^{ne sont} que la traduction d’une propriété géométrique ^{de la structure} cristalline. Il est pos- sible de mettre en évidence le caractère purement géométrique ^{de cette} propriété ^{en faisant corres-} pondre ^de façon biunivoque ^à chaque ^tenseur symé- trique Clk,, ^{le tenseur ( b} + k),,, (b + k)g ^pro-

duit des composantes ^{sur l’axe}

^{et sur} l’axe p ^du

vecteur b + j

^{k. Les atomes bk sur} lesquels

s’effectuent la sommation dans (6) ^{étant tous situés}

dans un même plan x

Cte, ^{aux relations} {6) ^cor- respondent, après simplification les relations :

la sommation portant ^sur les mêmes translations b que précédemment. D’où le corollaire :

La condition nécessaire et suffisante pour qu’un

vecteur d’onde _q dirigé ^{suivant une direction} donnée, pilote quelque ^{soit son} module, les oscil- lations rectilignes longitudinales, ^est que la pro-

jection ^{sur un} plan perpendiculaire ^{à la direction}

de _q de la somme des vecteurs b + j

k, joignant

un atome origine 0 j ^{aux atomes} bk, équidistants ^de l’origine ^et situés dans un même plan perpendi-

culaire à la direction de q, soit nulle.

Les extrémités des vecteurs b + j ^{- k} tels que

(b + i

k).,

^{Cte sont} les noeuds d’un réseau de Bravais à deux dimensions. Or si dans un tel réseau

on considère l’ensemble des vecteurs issus d’une

origine quelconque ^et dont les extrémités tombent

sur un même cercle centré sur l’origine (chaque

cercle devant passer par ^au moins 2 noeuds) ^la

somme de tels vecteurs ne peut ^être nulle que si

l’origine ^{est sur un axe de} symétrie ^d’ordre 2, 3, ⁴

ou 6 du réseau plan. Ces conditions devant être réalisées- _pour tous les cercles de tous les plans per-

pendiculaire à q, ^et l’origine 0 j pouvant être choisie

sur un atome quelconque, ^{il est} donc nécessaire que q soit porté par ^{un axe} de symétrie ^d’ordre 2, 3,

4 ou 6.

Ces résultats semblent laisser de côté les ^axes inverses. Il n’en est rien, ^{car les axes inverses}

d’ordre 3, 4 ^ou 6 ^{sont aussi} des axes directs respec- tivement d’ordre 3, ^{2 et 3 on énoncera donc :}

THÉORÈME 1 : Si on considère ^un cristal dont la

maille élémentaire renferme plusieurs atomes, ^{la con-} dition nécessaire et suffisante pour qu’un ^vecteur

d’onde q, pilote, quel que soit ^son module des oscil- lations atomiques rectilignes longitudinales pures, ^est

qu’il ^soit dirigé ^{suivant un axe de} symétrie ^d’ordre 2,

3, 4, 6, 3, 4 ou 6.

CAS DES OSCILLATIONS TRANSYERSALES.

Il est possible ^de procéder ^de façon analogue. ^Le

vecteur d’onde _{q étant} toujours dirigé suivant l’axe des _x, pour qu’il pilote des oscillations atomiques

transversales _pures dirigées, par exemple, ^suivant

l’axe des y, il faut ^et il suffit que ^tous les termes

en yx ^{et en} yz de la matrice de Fourier soient nuls. Ceci entraine que l’on ait :

La sommation sur h devant s’effectuer comme

précédemment ^{sur toutes} les translations du réseau cristallin telles _{que la} composante ^{sur l’axe des x}

et le module de b + j ^{- k soient} constants. Géomé-

triquement les conditions (8) ^sont équivalentes ^aux

conditions :

et

La première ^{condition est une des} conditions de l’étude précédente, ^elle peut ^{donc être satisfaite} quand ^{l’axe des x est un axe de} symétrie ; ^{mais elle} peut aussi être satisfaite si le plan ^{xoz est un miroir}

La deuxième condition devant être satisfaite simul- tanément on est conduit à éliminer les axes de

symétrie ^{d’ordre 2 et 4. On} peut donc énoncer : THÉORÈME 2 : Si on considère un cristal dont la maille élémentaire renferme plusieurs atomes, ^{la con-} dition nécessaire et suffisante pour qu’un ^vecteur

d’onde q pilote, quel que soit son module, ^{des oscil-}

lations atomiques rectilignes transversales pures ^est

qu’il soit ^{dirigé suivant un axe de symétrie d’ordre 3}

4, 6, 3, ^{6 ou contenu dans un miroir.}

Manuscrit reçu le ¹³ juin ^1962.