Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee 2011-2012 Licence 3`eme ann´ee : LM339 Examen du 20 juin 2012 - 2`eme Session
Le sujet est pr´evu pour 2h. Tout document est interdit. Veillez `a la clart´e de votre r´edaction ainsi qu’`a justifer soigneusement chacune de vos affirmations.
Exercice 1 (6 points).
1. D´efinir l’enveloppe conique et l’enveloppe convexe, not´ees respectivement cˆone(S) et conv(S), d’un sous-ensemble quelconqueSdeRn.Dans le cas particulier du sous-ensemble S de R2 form´e par l’union des trois points (1,0), (0,1) et (1,1), repr´esenter l’enveloppe convexe et l’enveloppe conique de S sur deux graphiques s´epar´es.
2. Que peut-on dire avec certitude d’un probl`eme d’optimisation lin´eaire sous forme canon- ique dont le probl`eme dual poss`ede au moins une solution r´ealisable ? Pour quelle raison ? Exercice 2 (7 points).
1. Rappeler l’´enonc´e du th´eor`eme des ´ecarts compl´ementaires.
2. Pour le probl`eme d’optimisation lin´eaire sous forme canonique ci-dessous, tester l’opti- malit´e de la solution x∗ propos´ee en utilisant la m´ethode des ´ecarts compl´ementaires.
max(−9x1+ 8x2+ 12x3+ 4x4+ 11x5)
4x1+ 5x2 −6x3+ 2x4+ 3x5 6 22
−6x1+ 4x2+ 8x3+ 2x4+ 6x5 6 2 7x1+x2 + 3x3−2x4+x5 6 1 x1, x2, x3, x4, x5 > 0
x∗ =
2 0 0 7 0
(1)
Exercice 3 (7 points).
R´esoudre le probl`eme d’optimisation lin´eaire suivant par l’algorithme du simplexe (crit`ere de votre choix), en veillant `a d´ecrire pr´ecis´ement et `a justifier chaque ´etape de votre d´emarche.
maxf =x1−x2+x3
2x1−3x2+x3 6 −5 2x1−x2+ 2x3 6 4
−x1 +x2−2x3 6 −1 x1, x2, x3 > 0
1
