TS2 : devoir sur table n
o2 bis (4 heures)
Les calculatrices sont autorisées
Exercice I
On considére deux urnesU1etU2.
L’urneU1contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher.
L’urneU2contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher.
On réalise des tirages en procédant de la manière suivante :
étape 1 : On tire au hasard une boule dansU1, on note sa couleur et on la remet dansU1. étapen(nÊ2) :
• Si la boule tirée à l’étape (n−1) est blanche, on tire au hasard une boule dansU1, on note sa couleur et on la remet dansU1.
• Si la boule tirée à l’étape (n−1) est noire, on tire au hasard une boule dansU2, on note sa couleur et on la remet dansU2.
On note Anl’événement « le tirage a lieu dans l’urneU1à l’étapen» etpnsa probabilité. On a doncp1=1.
1. Calculerp2.
2. Montrer que pour toutnentier naturel non nul,pn+1=0, 8pn+0, 05.
On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
3. Calculerp3.
4. (a) Démontrer par récurrence que pour tout entiernentier naturel non nul,pn>0, 25.
(b) Démontrer que la suite¡ pn¢
est décroissante.
(c) En Déduire que la suite¡ pn
¢est convergente vers un réel notéℓ. (d) On admet queℓvérifie l’équation :ℓ=0, 8ℓ+0, 05.
En déduire la valeur deℓ.
Exercice II
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé³ O; −→
i ;→− j ;−→
k´
, on considère le tétraèdre ABCD dont les sommets ont pour coordonnées :
A
³ 1 ;−p
3 ; 0
´
; B
³ 1 ;p
3 ; 0
´
; C(−2 ; 0 ; 0) ; D
³
0 ; 0 ; 2p 2
´ . 1. Démontrer que le plan (ABD) a pour équation cartésienne 4x+zp
2=4.
2. On noteDla droite dont une représentation paramétrique est
x = t y = 0 z = tp
2
,t∈R
(a) Démontrer queDest la droite qui est parallèle à (CD) et passe par O.
(b) Déterminer les coordonnées du point G, intersection de la droiteDet du plan (ABD).
3. (a) On note L le milieu du segment [AC].
Démontrer que la droite (BL) passe par le point O et est orthogonale à la droite (AC).
(b) Prouver que le triangle ABC est équilatéral et déterminer le centre de son cercle circonscrit.
4. Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier c’est-à-dire un tétraèdre dont les six arêtes ont la même longueur.
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10 décembre 2016
Exercice III
On considère la suite (un)n∈Ndéfinie par :
u0=5 et, pour tout entier nÊ1,un= µ
1+2 n
¶
un−1+6 n. 1. (a) Calculeru1.
(b) Les valeurs deu2, u3, u4, u5,u6,u7,u8,u9,u10,u11sont respectivement égales à :
45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621. A partir de ces données conjecturer la nature de la suite (dn)n∈Ndéfinie pardn=un+1−un.
2. On considère la suite arithmétique (vn)n∈Nde raison 8 et de premier termev0=16.
Justifier que la somme desnpremiers termes de cette suite est égale à 4n2+12n.
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturelnon a : un=4n2+12n+5.
4. Valider la conjecture émise à la question1. b..
Exercice IV
Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.
PARTIE A : On définit :
– la suite (un) par :u0=13 et, pour tout entier natureln,un+1=1 5un+4
5. – la suite (Sn) par : pour tout entier natureln, Sn=
n
X
k=0
uk=u0+u1+u2+ · · · +un. 1. Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln,un=1+12
5n. En déduire la limite de la suite (un).
2. (a) Déterminer le sens de variation de la suite (Sn).
(b) CalculerSnen fonction den.
(c) Déterminer la limite de la suite (Sn).
PARTIE B :
Etant donné une suite (xn), de nombres réels, définie pour tout entier natureln, on considère la suite (Sn) définie parSn=
n
X
k=0
xk.
Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse.
Justifier dans chaque cas.
Proposition 1 : si la suite (xn) est convergente, alors la suite (Sn) l’est aussi.
Proposition 2 : les suites (xn) et (Sn) ont le même sens de variation.
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10 décembre 2016
