Faculté polydisciplinaire de Safi Dépt. MaThs & InFo
Filière SMA– Semestre
–
Module :
Analyse
Fonctionnelle
Mohammed Hassani
Table des matières
1 Théorèmes : Hahn-Banach et Baire 5
1.1 Théorème de Hahn-Banach . . . 5
1.1.1 Théorème de Hahn-Banach, forme analytique . . . 5
1.1.2 Théorème de Hahn-Banach, formes géométriques . . . 8
1.2 Espaces de Baire . . . 11
1.2.1 Théorème de Baire . . . 11
1.2.2 Corollaires . . . 12
2 Espaces vectoriels topologiques 15 2.1 Espaces vectoriels topologiques . . . 15
2.1.1 Quelques notions et notations algébriques . . . 15
2.1.2 Quelques notions et notations topologiques . . . 17
2.1.3 Espaces vectoriels topologiques . . . 17
2.1.4 Applications linéaires continues . . . 19
2.2 EVT localement convexe . . . 22
2.3 Espaces de Fréchet . . . 27
3 Théorèmes classiques 30 3.1 Banach-Steinhaus . . . 30
3.2 Application ouverte . . . 34
3.3 Graphe fermé . . . 36
4 Topologies faibles-Espaces réflexifs 38 4.1 Topologie faible . . . 38
4.2 Topologie faible étoile . . . 42
4.3 Espaces réflexifs . . . 44
3
Préface
Ce polycopie d’analyse fonctionnelle est destiné aux étudiants de licence en mathématiques et applications SMA. Il est rédigé à ma façon toute en gardant le livre de H. Brezis : « Analyse fonctionnelle, Théorie et applications. » à la portée de ma main.
Le but de ce cours est de donner des notions et des théorèmes topologiques et algébriques abstraits qui consti- tuent des outils mathématiques essentiels pour entamer les cycles d’études supérieurs. La partie la plus im- portante à mon égard est la construction de la topologie à partir d’une famille de semi normes, je conseille le lecteur de se focaliser sur ce point.
Bibliographie
X H. Brézis : Analyse fonctionnelle théorie et applications Masson fr Paris 1983 Collection Mathématiques Appliquées pour la Maîtrise.
X Hervé Queffélec, Josette Charles, Mostafa Mbekhta : Analyse fonctionnelle et théorie des opérateurs Rappels de cours et exercices corrigés. Collection : Sciences Sup, Dunod.
X Yves Sonntag : Topologie et analyse fonctionnelle : Cours de Licence avec 240 exercices et problèmes corrigés 1998.
X J. Dieudonné : Éléments d’analyse. T. I -fondements de l’analyse moderne Gauthier-Villars fr Paris 1968.
X F. Riesz, B. Nagy : Leçons d’analyse fonctionnelle, Akademiai Kiadohu Budapest 1955 Acadmie des Sciences de Hongrie.
X S. Banach : Théorie des opérations linéaires, Chealsea publishing company.
X S. Lang : Analysis II Addison-Wesley publishing company us Massachusetts 1969 Addison-Wesley se- ries in mathematics.
X W. Rudin : Analyse réelle et complexe, édition Masson, 1975 (le monument).
Encore je le dis, la littérature est très riche sur ce sujet. Il suffit de faire une recherche sur le net pour avoir gratuitement des polycopiés (de cours et d’exercices) de différents auteurs répondant à tous les goûts.
Pré-requis
La théorie des ensembles (la théorie ZFC, pour les courageux), la topologie générale (définition de topologie, continuité, convergences, compacité...), algèbre (espaces vectoriels, base algébrique, dimension) ... sont très sollicités ans ce cours.
! Avertissements
Je tiens à préciser que ce document contient probablement des erreurs de frappes (ce n’est pas grave !) et des erreurs de mathématiques (par contre çà c’est grave !) qui ont échappé à ma vigilance. Ne l’utilisez qu’avec un œil critique et n’hésitez pas à me signaler ces problèmes :m.hassani@uca.ma.
Théorèmes : Hahn-Banach et Baire
Chapitre
1
1.1 Théorème de Hahn-Banach 1.2 Espaces de Baire
Sommaire
1.1 Théorème de Hahn-Banach
1.1.1 Théorème de Hahn-Banach, forme analytique
Théorème 1.1.1 (Le théorème de Hahn-Banach, forme analytique) SoientEunR-espace vectoriel,p:E→Rtelle que
∀t >0,∀x∈E, p(tx) =tp(x) et ∀x,y∈E, p(x+y)6p(x) +p(y), Gun sous-espace vectoriel deEetgune forme linéaire surGsatisfaisant
g(x)≤p(x),∀x∈G.
Alors il existe une forme linéairef surEqui prolongeget qui satisfait f(x)≤p(x),∀x∈E.
La démonstration de ce théorème fait appel au célèbre lemme deZORN(ce dernier est équivalent à l’axiome du choix) dont nous rappelons l’énoncé. Nous avons besoin de quelque définitions
Définition1.1.2
SoitAun ensemble muni d’une relation d’ordre (pas nécessairement totale) notée≤.On dit qu’un sous-ensembleB⊂Aest totalement ordonné si pour tout couplea, bdeBon a soita≤boub≤A.
SoitB⊂A; on dit qu’un élémentc∈Aest majorant deBsi pour touta∈Aon a :a≤c.
On dit quem∈Aest un élément maximal deAsi pour toutx∈Atel quem≤x⇒x=m.
On dit queAest inductif si tout sous-ensemble totalement ordonné deAadmet un majorant.
Lemme 1.1.3 (ZORN)
Tout ensemble ordonné, inductif, non vide, admet un élément maximal.
Remarque 1.1.4.
!
Le lemme de Zorn ou ses équivalents (l’axiome du choix en particulier) admet des belles consé- quences parfois qui échappent à notre intuition et donne même des paradoxes : pardoxe de Banach-Tarski. Je renvoi le lecteur au fascicule d’exercices corrigés de ce module pour plus de détails sur les conséquences de ce lemme.5
1.1. THÉORÈME DE HAHN-BANACH
Preuve (du théorème 1.1.1). Désignons parV l’ensemble des couples(M,ϕ),oùMest un sous-espace vectoriel de EcontenantG,ϕune forme linéaire surMvérifiantϕ(x)≤p(x),∀x∈Metϕ|G=g.
On munitV de l’ordre≤défini par
(M,ϕ)≤(N ,ψ)⇔M⊂N et ψ|M=ϕ.
On montre d’abord queV est inductif pour≤non vide : D’abord,(g,G)∈V. Soit(Mi,ϕi)i∈I une famille totalement ordonnée. Si on pose M=∪i∈IMi,il est facile de vérifier queM est un sous-espace vectoriel deE, qu’il existe une fonctionϕ:M→Rqui prolonge chacune desϕi et queϕest linéaire. De plus, pour toutx∈M, il existe uni∈I tel quex∈Mi,ϕ|G=g et on aϕ(x) =ϕi(x)≤p(x). Donc(M,ϕ)appartient àV et est dansV la borne supérieure de la famille(Mi,ϕi)i∈I.
D’après le lemme de Zorn,(V ,≤)admet un élément maximal (M,f). Il suffit donc de démontrer que cet élément maximal satisfaitM=Epour finir la démonstration. Supposons donc par l’absurde qu’il existe una∈E\M. On va construire alors un élément(N ,ϕ)deV qui majore strictement(M,f). On pose pour celaN =M⊕R.a, on choisit α∈Ret on définit la forme linéaireϕsurN parϕ(x+ta) =f(x) +tα.Il suffit donc de montrer qu’on peut choisirα de sorte que l’on aitf(x) +tα≤p(x+ta),pour toutxdeMet toutt∈R(ainsi(N ,ϕ)∈V).
La condition précédente est satisfaite pourt= 0et quel que soitx∈M.Pourt >0cette condition est équivalente à la conditionf(x
t) +α≤p(x
t +a),et puisque x
t ∈M,équivalente àα≤p(y+a)−f(y)pour touty∈M.
Enfin, pourt <0,la condition précédente est équivalente àf(−x
t)−α≤p(−x
t −a),autrementα≥ −p(y−a) +f(y) pour touty∈Mpuisque−x
t ∈M.On choisit doncαtel que : sup
y∈M
f(y)−p(y−a)≤α≤ inf
x∈Mp(x+a)−f(x), ce qui est possible si, pour toutx,y∈M,on a :
f(y)−p(y−a)≤p(x+a)−f(x).
Or pourx, y∈Mon a :
f(x) +f(y) =f(x+y)≤p(x+y)≤p(x+a) +p(y−a).
On obtient
sup
y∈M
f(y)−p(y−a)≤ inf
x∈Mp(x+a)−f(x).
Ce qui prouve l’existence deα.
Ainsi(N ,ϕ)∈V et(M,f)<(N ,ϕ), ce qui contredit que(M,f)est maximale. D’oùM=E. ut Applications du théorème de Hahn-Banach (forme analytique)
Dans ce qui suit, on désigne parE0le dual (topologique) de l’espace vectoriel norméE,i. e.l’espace des formes linéaires continues surE;E0 est muni de la norme duale
kfkE0:= sup
kxk≤1
|f(x)|= sup
kxk≤1
f(x).
Lorsquef ∈E0 etx∈Eon notera parfoishf ,xiau lieu def(x) ; on dit queh,iest le produit scalaire dans la dualitéE0, E.
Corollaire 1.1.5
SoitGun sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel normé (E,k · k) et soitg:G→Rune application linéaire et continue de norme
kgkG0:= sup
kxk≤1
|g(x)|. Alors il existef ∈E0qui prolongeget tel que :
kfkE0=kgkG0.
1.1. THÉORÈME DE HAHN-BANACH
Preuve . Il suffit d’appliquer le théorème précédent avecp(x) :=kgkG0.kxk. ut
Corollaire 1.1.6
Pour toutx0∈Eil existef0∈E0tel que
kf0k=kx0kethf0,x0i=kx0k2.
Preuve . Il suffit d’appliquer le corollaire précédent avecG=Rxetg(tx0) =tkx0k2de sorte quekgkG0=kx0k. ut
Corollaire 1.1.7 Pour toutx∈E\ {0}, on a :
kxkE= sup
kfkE0≤1
|hf ,xi|= max
kfkE0≤1
|hf ,xi|= max
kfkE0=1
hf ,xi.
Preuve . Il est clair que
sup
kfkE0≤1
|hf ,xi| ≤ kxk.
D’après le corollaire précédent, on sait qu’il existef0∈E0tel quekf0k=kxkethf0,xi=kxk2.On posef1=kxk−1f0de
sorte quekf1k= 1ethf1,xi=kxk. ut
Corollaire 1.1.8
Supposons queEestC-espace vectoriel normé.
Pour toutx∈E\ {0}, on a :
sup
kfkE0≤1
|f(x)|6kxkE6
√ 2 sup
kfkE0≤1
|f(x)|.
Preuve . On a toujours
sup
kfkE0≤1
|hf ,xi| ≤ kxk. PosonsG=Cx,g:G→R, tx7→ √1
2||x|| <t, p:E→R+, z7→ √1
2||z||. On agestR-linéaire,
||g||G0
def= 1
√ 2 sup
||tx||E=1
|<(t||x||)|= 1
√ 2 (et donc∀z∈G, g(z)6p(z)).
D’après le théorème de Hahn-Banach il existe une applicationR-linéaireh:E→Rtelle queh(x) = √1
2||x||,h(ix) = 0 et∀z∈E, h(z)6√12||z||et donc||h||E0=√1
2. Posons
f: E −→ C
z 7−→ h(z)−ih(iz).
On af est applicationClinéaire,||x||=
√
2f(x)et∀z∈E,
|f(z)|= q
h(z)2+h(iz)26||z||.
En particulierf ∈E0 et||fE061. ut
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1.1. THÉORÈME DE HAHN-BANACH
1.1.2 Théorème de Hahn-Banach, formes géométriques
Définition1.1.9
On appelle hyperplan tout sous ensemble deEde la forme : H:={x∈E :f(x) =α}
oùf est une forme linéaire surE,non identiquement nulle etα∈R.On dit queHest l’hyperplan d’équation [f =α].
Définition1.1.10 SoitA, B∈ P(E).
— On dit que l’hyperplanH= [f =α] sépareAetBau sens large si∀a∈A,∀b∈B f(a)6α6f(b).
— On dit que l’hyperplanH= [f =α] sépareAetBau sens strict si il existeε >0 tel que∀a∈A,
∀b∈B
f(a) +ε6α6f(b)−ε.
Proposition 1.1.11
SEest un espace vectoriel normé, alors
l’hyperplan d’équation [f =α] est fermé si et seulement sif est continue.
Preuve . Sif est continue alorsH=f−1({α})est fermé.
Réciproquement, supposons que H est fermé. Le complémentaireCH deH dansE est ouvert et non vide (puisque f ,0E0). Soitx0∈CHet supposons sans perdre de généralité quef(x0)< α. Soitr >0tel que
B(x0,r) :={x∈E :kx−x0k< r} ⊂CH. On a
f(x)< α,∀x∈B(x0,r).
Supposons qu’il existex1∈B(x0,r)tel quef(x1)> α.La boule étant convexe, donc
∀t∈[0,1] : (1−t)x0+tx1∈B(x0,r),
par suitef((1−t)x0+tx1),α,∀t∈[0,1].Ce qui est faut puisque pourt1,2= f(x1)−α
f(x1)−f(x0),on a :f((1−t1,2)x0+ t1,2x1) =α.Par suite,
f(x0+rz)< α,∀z∈B(0,1).
Ce qui prouve quekfk ≤1
r(α−f(x0))et doncf est continue. ut
Théorème 1.1.12 (Théorème De Hahn-Banach, première forme géométrique)
SoitA,Bdeux sous ensembles convexes deE, non vides et disjoints. SiAest ouvert alors il existe un hyperplan fermé qui sépareAetBau sens large.
La démonstration de ce théorème est basée sur le lemme suivant :
1.1. THÉORÈME DE HAHN-BANACH
Lemme 1.1.13
SoitC ⊂E un convexe ouvert non vide et soitx0 ∈E avecx0 <C.Alors il existe f ∈ E0 tel que f(x)< f(x0),∀x∈C.En particulier l’hyperplan d’équation [f =f(x0)] sépare{x0}etCau sens large.
Preuve . Par translation, on peut toujours supposer que0E∈Cet considéré la jauge deCqu’on note parpCdéfinie par
PC: E −→ R+∪ {+∞}
x 7−→ inf{t >0 ; 1tx∈C} avec inf∅= +∞. On montre (en exercice !) que
∀t >0,∀x∈E, pC(tx)6tpC(x)<∞,∀x,y∈E, pC(x+y)6pC(x) +pC(y)etC={x∈E|C(x)<1}. On poseG:=vect(x0) =R.x0et on considère la forme linéairegsurGdéfinie par pour toutt∈R:
g(tx0) :=t.
On a g(x)≤ pC(x),∀x ∈ G (il suffit de distinguer les cas t > 0 et t ≤0). Grâce au théorème de Hahn-Banach, forme analytique, il existe f une forme linéaire sur E, prolongeant g telle que f(x)≤pC(x),∀x∈E,f(x0) = 1et
f(x)<1,∀x∈C. ut
Preuve (du théorème 1.1.12). On poseC=A−B.Cun convexe (facile),Cest ouvert (C=∪y∈B(A−y)) et0<C (carA∩B=∅). D’après le lemme 1.1.13 il existef ∈E0tel que :f(z)<0,∀z∈C, autrement
f(x)< f(y),∀x∈A,∀y∈B.
On fixeα∈Ravec
sup
x∈A
f(x)≤α≤inf
y∈Bf(y),
ce qui montre que l’hyperplan d’équation[f =α]sépare au sens largeAetB. ut
Théorème 1.1.14 (Théorème De Hahn-Banach, deuxième forme géométrique)
SoitA,Bdeux sous ensembles convexes deE, non vides et disjoints. SiAest fermé etBest compact alors il existe un hyperplan fermé qui sépareAetBau sens strict.
Preuve . Pourε >0tel que les sous ensembles convexes, ouverts et non videsAε:=A+B(0,ε)etBε=B+B(0,ε)soient disjoints (cetεexiste sinon, il existera des suites(εn)n∈N→0,(xn)n∈N∈Aet(yn)n∈N∈Btelles quekxn−ynk<2εn;ce qui nous donnera une suite extraite(yϕ(n))n∈Nqui converge vers un élémenty∈A∩B.D’après le théorème précédent, il existe un hyperplan fermé d’équation[f =α]séparantAεetBεau sens large. Ce qui se traduit par :
f(x+εz)≤α≤f(y+εz),∀(x,y)∈A×B, z∈B(0,1).
Il en résulte que :
f(x) +εkfk ≤α≤f(y)−εkfk,∀(x,y)∈A×B.
De là, on tire que l’hyperplan[f =α]sépare au sens strictAetB. ut
Dans l’exercice suivant, on montre que les hypothèses des théorèmes de Hahn-Banach (forme géométrique 1 et 2) sont optimales.
E”x´eˇr`cˇi`c´e1.1.15
SoitE=R[X] l’espace des polynômes surR,muni de la norme sup sur [0,1].Soit R[X]+:={P ∈E :P(X) =
n
X
i=1
aiXi, avec an>0} et
R[X]−:={P ∈E :P(X) =
n
X
i=1
aiXi, avec an<0}.
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1.1. THÉORÈME DE HAHN-BANACH
1. Montrer queR[X]+etR[X]−sont convexes et disjoints.
2. Montrer qu’il n’existe pas d’hyperplan qui sépareR[X]+etR[X]−.
Corollaire 1.1.16
SoitF⊂Eun sous-espace vectoriel tel queF,E.Alors il existef ∈E0\ {0E0}tel que : hf ,xi= 0,∀x∈F.
Preuve . Soitx0∈E, x0<F.On applique le théorème précédent avecA:=F etB:={x0}.Il existef ∈E0\ {0E0}tel que l’hyperplan[f =α]sépare au sens strictFet{x0}.On a :
hf ,xi< α <hf ,x0i,∀x∈F.
Ce qui implique quehf ,xi= 0,∀x∈F,puisqueλhf ,xi< α,∀λ∈R. ut Remarque 1.1.17. D’après ce corollaire, on conclut qu’un sous-espace vectorielF deEest dense si∀f ∈E0 :f |F= 0⇒f = 0E0.
Remarque 1.1.18. D’après le théorème de Hahn-Banach, on a : siEest un espace norméE,{0E}alorsE0 ,{0E0}, grâce aux corollaires 1.1.6 et 1.1.7.
Dans cet exemple, par un exemple classique, on montrer que siEn’est pas un espace normé (n’est pas un evtlc !) cette affirmation n’est plus vraie.
Exemple1.1.19
SiE=Lp([0,1]),0< p <1,muni de la distance : d(f ,g) =
Z1 0
|f(t)−g(t)|pdt, alorsEest un espace métrique complet,E,{0E}par contreE0={0E0}. Soitϕ∈E0.Alorsϕ:Lp([0,1])→Rest linéaire et continue.
Supposons queϕ,0.
On a doncIm(ϕ) =R.Par suite, il existe unf0∈Etelle que|ϕ(f0)| ≥1.
SoitFla fonction continue définie par :F(x) =Rx
0|f0(t)|pdt.Puisque1
2F(1)∈[0,F(1)],par le théorème des valeurs intermédiaires, il existex0∈[0,1] tel queF(x0) =1
2F(1) autrement Z x0
0
|f0(t)|pdt=1 2
Z 1 0
|f0(t)|pdt >0.
Soitg1=f0χ[0,x0]etg2=f0χ]x0,1].Alorsg1+g2=f0et|f0|p=|g1|p+|g2|p,et de plus on a : Z1
0
|g1(t)|pdt= Zx0
0
|f0(t)|pdt=1 2
Z1 0
|f0(t)|pdt et donc
Z1 0
|g2(t)|pdt=1 2
Z 1 0
|f0(t)|pdt.
Puisque|ϕ(f0)| ≥1 alors|ϕ(g1)| ≥ 1
2ou|ϕ(g2)| ≥ 1 2 En effet : Si|ϕ(g1)|<1
2 et|ϕ(g2)|<1 2 alors
1≤ |ϕ(f0)|=|ϕ(g1) +ϕ(g2)| ≤ |ϕ(g1)|+|ϕ(g2)|<1 2+1
2= 1
1.2. ESPACES DE BAIRE
ce qui absurde.
Supposons|ϕ(g1)| ≥ 1
2et posonsf1= 2g1.On a|ϕ(f1)| ≥1 et Z1
0
|f1(t)|pdt= 2p Z 1
0
|g1(t)|pdt= 2p−1 Z1
0
|f(t)|pdt.
De la même façon, par itération, on conclutfn∈Etelle que
|ϕ(fn)| ≥1et d(fn,0) = Z1
0
|fn(t)|pdt= (2p−1)n Z1
0
|f0(t)|pdt.
Commep <1 on aura 2p−1<1.D’où
nlim→+∞d(fn,0) = 0.
Commeϕest continue, on obtient que :
nlim→+∞ϕ(fn) = 0 ce qui absurde puisque|ϕ(fn)| ≥1.
Doncϕ= 0.Par conséquent (Lp([0,1]))0={0}.
1.2 Espaces de Baire
1.2.1 Théorème de Baire
Définition1.2.1
Un espace topologique (E,T) est dit de Baire si pour toute suite d’ouverts (Θn)ndense dansE,T
nΘn est dense dansEi.e.
∀(Θn)n∈ TN,
∀n∈N,Θn=E
=⇒ \
n
Θn=E.
Remarque 1.2.2. (E,T)est de Baire si et seulement sipour toute suite de fermés(Fn)n telle que∀n,
◦
Fn=∅, on a int(S
nFn) =∅.
Proposition 1.2.3
Soit (E,T) un espace de Baire et (Fn)n∈Nune suite de fermés tels que∪n∈
NFn=E. AlorsΩ=∪n∈
N
◦
Fn est un ouvert dense dansE.
Preuve . SoitGle ferméE\(∪n∈
N
◦
Fn). Il s’agit de montrer queGest d’intérieur vide.
Pour toutn∈N,le ferméG∩Fnest d’intérieur vide carint(G∩Fn)⊂G∩
◦
Fn=∅, et comme(E,T)est un espace de Baire,
∪n∈
N(G∩Fn) =G∩[∪n∈
NFn] =G∩E=G
est d’intérieur vide. ut
Remarque 1.2.4. Si(E,T)est un espace de Baire non vide, alorsEne peut pas être réunion dénombrable de fermés d’intérieurs vides.
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1.2. ESPACES DE BAIRE
Théorème 1.2.5 (théorème de Baire)
1. Tout ouvert d’un espace de Baire est de Baire.
2. Tout espace métrique complet est de Baire (théorème de Baire).
3. Tout espace localement compact est de Baire.
Preuve .
1. Soit(E,T)un espace de Baire, soitA∈ T (ouvert deE). Soit(θn)nune suites d’ouverts de(A,TA=A∩ T)denses dansA(c-à-dθn∈ T etθn⊂A⊂θn). Posonsθ=∩nθn(⊂A). Il suffit de montrer queA⊂θ(la fermeture dansE).
PosonsWn=θn∪Ac, on aWn∈ T et
E⊂A∪ Ac
⊂θn∪ Ac
⊂Wn⊂E.
Puisque(E,T)est de Baire,
E=∩nWn=θ∪Ac=θ∪ Ac
, donc
A= A∩θ
∪
A∩ Ac
| {z }
=∅,carA⊂A
=A∩θ. AinsiA⊂θ.
2. Soit(E,d)un espace métrique complet. Soit(θn)n∈N∗ une suite d’ouverts denses dans(E,d). Notonsθ=∩nΘn et montrons queθ=Ece qui est équivalent à montrer que toute boule ouverte non vide rencontreθ.
SoitB(x0,r0)une boule ouverte de centrex0∈Eet de rayonr0>0. On aB(x0,r0)∩θ1 est un ouvert non vide (car θ1 est dense) donc il existex1 ∈E etr1 ∈]0,1[tels que la boule fermée Bf(x1,r1)⊂B(x0,r0)∩θ1. Supposons que (x1,r1)· · ·(xn,rn)donnés dansE×]0,+∞[tels queri∈]0,1n[etBf(xi,ri)⊂B(xi−1,ri−1)∩θi. Puisqueθn+1est dense dans Ealors il existexn+1∈Eetrn+1∈]0,n+11 [tels que
Bf(xn+1,rn+1)⊂B(xn,rn)∩θn+1.
On a ainsi construit par récurrence la suite(xn,rn))ndansE×]0,+∞[telle que pour toutn∈N∗, rn<1n etBf(xn,rn)⊂ B(xn−1,rn−1)∩θn.
En particulier, la suite(Bf(xn,rn)))n∈N∗ est une suite décroissante de fermés de diamètres qui converge vers0dans l’espace complet(E,d). Donc
\
n∈N∗
Bf(xn,rn),∅ par conséquentθ∩B(x0,r0)P∅.
3. Soit(E,T)un espace localement compact. Soit(θn)n∈N∗ une suite d’ouverts denses dans(E,T). Notonsθ=∩nΘn et montrons queθ=Ece qui est équivalent à montrer que tout ouvertV deEnon vide rencontreθ.
En utilisant la densité des θn et que(E,T)est localement compact, nous construisons ar récurrence une suite de compacts d’intérieurs non vides(Kn)n∈N∗ deEtelle que∀n >1, Kn ⊂
◦
Kn−1∩θnetK1⊂V∩θ1. Ainsi(Kn)n∈N∗ est une suite de compacts non vides décroissante, doncT
nKn,∅. Par conséquent,θ∩V ,∅. ut
1.2.2 Corollaires
Corollaire 1.2.6
Rn’est pas dénombrable.
Preuve . SinonR=S
x∈R{x}est une réunion dénombrable des fermés pour la topologie usuelle associée à la distance usuelled(x,y) =|x−y|, mais(R,d)est complet donc il est de Baire. Ceci donne en particulier queR=
◦
R=∅puisque
∀x∈R,
◦
{x}=∅. Absurde. ut
1.2. ESPACES DE BAIRE
Corollaire 1.2.7
Tout espace de Banach à base dénombrable est de dimension finie, par exemple on n’a pas de norme surR[X] qui le rend complet.
Preuve . Supposons qu’il existe un espace de Banach à base dénombrable est de dimension infinie.
Soit donc(en)n∈N∗une base deE.Pour tout entier natureln,on pose Fn:=vect(e1, e2,· · ·, en)
Pour toutn∈N∗,le sous-espaceFnest de dimension finie donc fermé ; de plus Pour toutn∈N∗, le sous-espaceFnest d’intérieur vide car si une boule ouverteB(x0,r)est inclue dansFn (avecr >0), alorsx0∈Fnetx0+2||ern+1||en+1∈Fn
par suiteen+1∈Fn, ce qui est absurde.
D’après le théorème de Baire,∪n≥1Fnest d’intérieur vide dansEce qui est absurde car∪n≥1Fn=E. ut
Définition1.2.8
1. On dit queAest résiduel si elle contient une intersection dénombrable d’ouverts denses dans E.
2. On dit queAest maigre si elle est contenue dans une réunion dénombrable de fermés deE d’intérieurs vides.
Corollaire 1.2.9
Soient (E,T) un espace de Baire et (F,d) un espace métrique. On considère une suite (fn)n∈Nd’ap- plications continues de E dans F, convergeant simplement vers une application f de E dans F.
Alors
f est continue sur une partie dense deE.
C-à-d l’ensemble des points oùf sont continues est un résiduel.
Preuve . Pourn,k∈N, on pose
Fk,n:= \
p,q>n
{x∈E:d(fq(x),fp(x))6 1 2k}.
On aFk,nest un fermé deEcar l’intersection des fermés est un fermé et l’image réciproque d’un fermé par une fonction continue est fermé. On a aussi, puisquefnconverge simplement versf,
∀k∈N, E=[
n∈N
Fk,n.
D’après la proposition 1.2.3
Ωkdef= [
n∈N
◦
Fk,n est un ouvert dense dansE.
PosonsΩdef= T
k≥∈NΩk. On aΩest dense dans(E,T)puisque ce dernier est de Baire. Montrons quef est continue surΩ, pour cela soitx0∈Ωet soitε >0. Considérons un entierk0tel que k1
0< ε3 etn0un entier tel quex0∈
◦
Fk0,n0. Soitx∈
◦
Fk0,n0⊂Fk0,n0, on a∀p>n0,
d(fp(x),fp(x0))6d(fp(x),fn0(x0)) +d(fn0(x),fn0(x0)) +d(fn0(x0),fp(x0))6 2 k0
+d(fn0(x),fn0(x0)).
En tendantp→ ∞, on obtient
∀x∈
◦
Fk0,n0, d(f(x),f(x0))6 2
k0+d(fn0(x),fn0(x0)).
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1.2. ESPACES DE BAIRE
D’autre part, la continuité defn0enx0implique l’existence d’un ouvertW deEcontenantx0tel que
∀x∈W , d(fn0(x),fn0(x0))< 1 k0
. Ainsi,
∀x∈W∩
◦
Fk0,n0, d(f(x),f(x0))6 3 k0 < ε.
ut
E”x´eˇr`cˇi`c´e1.2.10
1. Montrer que 1Qn’est pas limite simple d’une suite de fonction continues deRdansR.
2. Calculer lim
p→+∞ lim
n→+∞(cosπp!x)2n.
Corollaire 1.2.11
Soit f :R→Rune fonction dérivable surR. Alors la fonction dérivéef0 est continue sur un en- semble dense deR.
Preuve . Il suffit de considérer la suite des fonctions fn: R −→ R
x 7−→ n
f(x+1n)−f(x)
qui est une suite de fonctions continues qui converge vers f0 et puisque Rest de Baire et métrique, on d’après le corollaire précédent que la fonction dérivéef0est continue sur un ensemble dense deR. ut
Espaces vectoriels topologiques
Chapitre
2
2.1 Espaces vectoriels topologiques 2.2 EVT localement convexe 2.3 Espaces de Fréchet
Sommaire
2.1 Espaces vectoriels topologiques
Dans la suiteKest un corps commutatif (souvent l’un des deux corpsCouRet parfoisQ. (E,+,·) désignera un K-espace vectoriel etT une topologie surE. On prendre aussi comme notationD={t∈K ; |t|61}(Dpour disque).
2.1.1 Quelques notions et notations algébriques
SoitAetBdeux partie desE,a∈A,t∈KetΛ⊂K.
Notation 2.1.1.
a+B={a+b;b∈B},A+B={a+b;a∈Aetb∈B},tA={ta;a∈A}etΛA={ta;t∈Λeta∈A}.
Définition2.1.2 On dit queA
1. est un sous espace vectoriel deEsiAhérité des lois de compositions deEest un espace vectoriel ce qui équivalent à dire queA,∅et vérifie∀t∈K,∀x,y∈A, on atx+y∈A.
2. est un sous espace affine deEs’il existea∈Atel queA−aest un sous espace vectoriel deE.
3. est convexe si∀x,y∈A, [x,y]def= {tx+ (1−t)y;t∈[0,1]} ⊂A.
4. est équilibrée si∀t∈D,∀x∈A, on atx∈A, i.e.DA=A.
5. absolument convexe s’il est à la fois convexe et équilibrée.
6. absorbeBs’il existeα >0 tel que∀λ∈K,|λ|>α =⇒ B⊂λA.
7. absorbant si∀x∈E,Aabsorbe{x}.
Remarque 2.1.3.
Tout sous espaces affines est convexe.
La propriété suivante est fondamentale malgré sa simplicité soit en son énoncé soit en sa démonstration. On la rencontre en topologie, en intégration et maintenant en analyse fonctionnelle (en algèbre en réalité). Elle est vraie pour pas mal de familles (topologies, tribus, sous groupes ...)
Proposition 2.1.4
L’intersection quelconque de sous espaces vectoriels (resp. sous espaces affines, resp. de parties convexes, resp. de parties équilibrées, resp. de parties absolument convexes) deEest un sous espace vectoriel (resp. un sous espaces affine, resp. une partie convexe, resp. une partie équilibrée, resp.
une partie absolument convexe).
Preuve . Évidentes. ut
15
2.1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES
Remarque 2.1.5. DAest la plus petite partie équilibrée deEcontenantA.
La proposition précédente justifie l’existence de « le plus petit truc » contenant une partieAdeEet est dit le truc engendré parAavec truc l’une des phrases « sous espace vectoriel », « sous espace affine », « convexe »,
« équilibré » ou « absolument convexe ». C’est l’intersection (qui est non vide, contientE) des tous « trucs » qui contientA.
Définition2.1.6 (et notations)
1. Le sous espace vectoriel engendré parAest dit l’enveloppe linéaire deA, il est notéV ectK(A) ou SpanK(A) ou simplementV ect(A), si on ne craint pas la confusion.
2. Le convexe engendré parAest dit l’enveloppe convexe deA, il est notéco(A).
3. L’ensemble absolument convexe engendré parAest dit l’enveloppe absolument convexe deA, il est notéaco(A).
4. Le sous espace affine engendré parAest dit l’enveloppe affine deA, il est notéAffK(A) ou sim- plementAff(A), si on ne craint pas la confusion.
Proposition 2.1.7
co(A)⊂aco(A)⊂Aff(A) =a+V ect(A−a)⊂V ect(A) =Aff(A∪ {0}) aveca∈A.
Preuve . En exercice. ut
Théorème 2.1.8 Soitx∈E
x∈V ect(A) ⇐⇒ ∃n∈N∗, ∃t1,t2,· ·,tn∈K, ∃x1,x2,· ·,xn∈Atel quex=t1x1+· ·+tnxn. x∈aco(A) ⇐⇒ ∃n∈N∗, ∃t1,t2,· ·,tn∈K, ∃x1,x2,· ·,xn∈Atel que
x=t1x1+· ·+tnxn
|t1|+· ·+|tn|61.
x∈co(A) ⇐⇒ ∃n∈N∗, ∃t1,t2,· ·,tn∈[0,1], ∃x1,x2,· ·,xn∈Atel que
x=t1x1+· ·+tnxn
t1+· ·+tn= 1.
Preuve . Facile et par une méthode maintenant standard (méthode qu’on a vu en intégration ...). Posons F={x∈ E | ∃n∈N∗, ∃t1,t2,· ·,tn ∈K, ∃x1,x2,· ·,xn ∈Atel quex=t1x1+· ·+tnxn}puis on montreF est un sous espace vectoriel contenantAce qui donne queV ect(A)⊂F, l’autre inclusion est triviale.
Faites la même chose pour les autres implications. ut
Définition2.1.9
Une applicationp:E−→[0,+∞[ est une semi norme si
i)∀t∈K, ∀x∈E, p(tx) =|t|p(x) ii)∀x,y∈E, p(x+y)6p(x) +p(y).
Elle est une norme si de plus elle vérifieiii)p(x) = 0 ⇐⇒ x= 0.
2.1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES
E”x´eˇr`cˇi`c´e2.1.10
Soitpune semi norme surE, montrer queB0
def= {x∈E ; p(x)<1}etBf
def= {x∈E ; p(x)61}sont deux parties absorbantes et absolument convexes (équilibrées et convexes).
Définition2.1.11 (jauge ou fonction de Minkowski)
Soit Aune partie deE telle que {t >0 | x∈tA},∅ (e.g.Aabsorbante). On appelle fonction de Minkowski ou la jauge de la partieAdansEla fonctionpAdéfinie par
pA: E −→ [0,+∞[
x 7−→ inf{t >0 | x∈tA}
Théorème 2.1.12
SiAest une partie absorbante et absolument convexe alors sa jaugepAest une semi norme telle que Bodef= {x∈E ; p(x)<1} ⊂A⊂Bf def= {x∈E ; p(x)61}
Preuve . Voir TD. ut
2.1.2 Quelques notions et notations topologiques
Pour cette sous section je renvoi le lecteur au cours de la topologie générale du semestreS5. Cependant je vous rappelle que la fermeture ou l’adhérence de Anoté Aest le plus petit fermé de l’espace topologique (E,T) contenantAc’est l’intersection de tous les fermé contenantA. L’intérieur deA,noté
◦
AouintE(A), est le complémentaire dansEde la fermeture du complémentaire deAi.e.
◦
A=E\ E\A
c’est le plus grand ouvert inclut dansA.
Dans ce module on utilisera les notions (topologiques) de compacité, d’homéomorphisme, de topologie métri- sable ... une révision du cours de topologie est fort utile.
2.1.3 Espaces vectoriels topologiques
Définition2.1.13
On dit que (E,+,·,T) ou simplement (E,T) est un espace vectoriel topologique (evt pour écrire simple) si les deux fonctions
ψ: E×E −→ E (x,y) 7−→ x+y
et φ: K×E −→ E (t,y) 7−→ t·y=ty
sont continues en prenant les topologies produits sur les ensembles de départs et en prenant la topologie usuelle surR.
Proposition 2.1.14 1. Soit (t,e)∈K∗×E, alors
h: E −→ E x 7−→ tx+e est un homéomorphisme.
2.∀x∈E,VE(x) ={x+V ; V ∈ VE(0)}avecVE(x) est l’ensemble des voisinages dex.
UniversitySurf 17/50 Analyse Fonctionnelle
2.1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES
3. SoitV ⊂E,
V ∈ VE(0) ⇐⇒ ∀t∈K∗, tV ∈ VE(0) ⇐⇒ ∃t∈K∗, tv∈ VE(0).
4. SoitA⊂E,
A= \
V∈VE(0)
(A+V).
5. (E,T) est séparé si et seulement si{0}est fermé.
Preuve . En exercice ut
Théorème 2.1.15 Soit (E,T) un evt.
1.∀V ∈ VE(0), V est absorbant.
2.∀V∈ VE(0),∀t∈K,∃W∈ VE(0) tel queV est un ouvert équilibré etW+tW ⊂V (t= 1 est le cas le plus important).
Preuve . 1. Soitx∈E, on aφest continue en(0,x)donc il exister >0etW∈ VE(x)tels querDW=φ(rD×W)⊂V, en particulier∀s>1r,{x} ⊂sV.
2. On aψ est continue en(0,0)donc il existeU ,U0 deux voisinages de0dansE tels queU+U0 =ψ(U ,U0)⊂V. D’autres part la continuité de φ en(0,0) assure l’existence d’un ouvert θ deE contenant 0 et de r >0 tels que rDθ=φ(rD×θ)⊂U∩U0. Posons
rDθ sit= 0
(rDθ)∩r
tDθ
sinon.
On trouve queW est un ouvert équilibré contenant0etW+tW ⊂V. ut
Par récurrence on a le corollaire suivant Corollaire 2.1.16
Pour tout voisinageV de 0, pour tout entiern∈N∗, il existe un ouvert équilibréθcontenant 0 tel que
θ+· ·+θ
| {z }
nfois
⊂V .
Proposition 2.1.17
Dans un evt (E,T), 0 admet une base de voisinages fermés équilibrés.
Preuve . Soitθ∈ VE(0). D’après le théorème 2.1.15 il existe un ouvert équilibréW∈ VE(0)tel queW+W⊂θdonc W=∩V∈V
E(0)(W+V)⊂W+W⊂θ.
Il reste à montrer queW est équilibré, en exercice et voir le TD. ut
E”x´eˇr`cˇi`c´e2.1.18 (Voir TD)
1. Aéquilibré =⇒ Aetco(A) sont équilibrés.
2. Aéquilibré etA∈ VE(0) =⇒
◦
Aest équilibré.
3. Aconvexe =⇒ Aet
◦
Asont convexe.
2.1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES
Définition2.1.19 Soit (E,T) un evt etA⊂E.
XAest bornée si et seulement si∀V∈ VE(0), ∃t >0, tA⊂V.
X Aest totalement bornée (ou pré-compacte) si et seulement si∀V ∈ VE(0), ∃BV ⊂Etel que BV
finie etA⊂B+V.
E”x´eˇr`cˇi`c´e2.1.20 (Voir TD)
1.Aest bornée etB⊂A =⇒ AetBsont bornées.
2.Aest pré-compacte etB⊂A =⇒ AetBsont pré-compactes.
3.Aest compacte =⇒ Aest pré-compacte =⇒ Aest bornée.
4.Aest un sous espace vectoriel deE =⇒ Aest un sous espace vectoriel deE.
5. SiAest un sous espace vectoriel deEtel que
◦
A,alorsA=E.
2.1.4 Applications linéaires continues
Proposition 2.1.21
SoitEetF deux evt etf :E→Fune application linéaire. On a
f est continue surE ⇐⇒ f est continue en 0.
Preuve .
=⇒)triviale.
⇐= )Soitx∈EetV ∈ VF(f(x))donc il existe un voisinageWde0dansF(evt) tel queV=f(x) +W d’oùf−1(V) = x+f1(W)∈ VE(x), puisquef est continue en0et doncf1(W)∈ VE(0). ut Remarque 2.1.22. SoitEetFdeux evt etf :E→Fune application linéaire continue. On a
i)SiFest séparé alors le noyau def Ker(f)def=f−1({0})est fermé dansE.
ii)SiBest une partie bornée (resp. pré-compacte) deEalorsf(A)est bornée (resp. pré-compacte) dansF.
Théorème 2.1.23
SoitEun evt et Soitf :E→Rune application telle que∀x,y∈E,∀t >0 i) f(x+y)6f(x) +f(y) et ii) f(tx) =tf(x).
Alors
1)f est continue ⇐⇒2) (f <1) est un ouvert ⇐⇒ 3) (f <1)∈ VE(0)⇐⇒ 4) (f61)∈ VE(0)
⇐⇒5)f continue en 0
⇐⇒6) il existeq:E→Rune application continue en 0 telle quef6qsur un voisinageUde 0.
Preuve . On remarque d’abord,f(0) =f(2×0) = 2f(0)doncf(0) = 0,f(y)−f(x) =f(x+ (y−x))−f(x)6f(y−x) et0 =f(x−x)6f(x) +f(−x)donc−f(x)6f(−x).
On a1) =⇒ 2) =⇒ 3) =⇒ 4)et1) =⇒ 6)sont triviales.
4) =⇒ 5) :SoitV ∈ V
R(0)donc il existeε >0tel que]−ε,ε[⊂V. On aε(f 61) = (f 6ε)∈ VE(0), soitW∈ VE(0) équilibré tel que W ⊂(f 6ε)et pour toutx∈W, on a−x∈W doncf(x)6εetf(−x)6ε. Mais0 =f(x−x)6 f(x) +f(−x), d’où−f(x)6ε. Ainsif(x)∈]−ε,ε[⊂V. Doncf est continue en0.
UniversitySurf 19/50 Analyse Fonctionnelle
