Espaces de Fréchet

Exemple2.2.18 X(N,6) est dirigé.

XL’ensemble des voisinages dexmuni de l’inclusion est dirigé.

Définition2.2.19

Soit (I,6) un ensemble dirigé etEun espace topologique.

1. Une suite généralisée (famille, net) (x_i)_i∈I à valeurs dansE est une application de I dansE : I→E, i7→x_i.

2. On dit que la suite généralisée (x_i)_i∈I à valeurs dansEconverge versx∈Esi

∀V ∈ V_E(x), ∃i0∈I, ∀i∈I, i06i =⇒ x_i∈V . On écrit dans ce cas (xi)i∈I→xdansEou lim

i∈I(xi)i∈I=xdansE.

Théorème 2.2.20

SoitEun evt, (x_i)_i∈Iune suite généralisée à valeurs dansEetx∈E.

1. (x_i)_i∈I →xdansE si et seulement si∀V ∈ V_E(0), ∃i₀∈I, ∀i∈I, i₀6i =⇒ x_i−x∈V ( c-à-d (x_i−x)_i∈I →0).

2. Si la topologie sueEest définie par une famille de semi normesP alors

(xi)i∈I →xdansE si et seulement si∀p∈ P, (p(xi−x))_i∈I→0 dansR(on revient àR!).

Preuve . En exercice. ut

Proposition 2.2.21

SoitP etQdeux familles de semi normes surE. Alors

T_E(P)⊂ T_E(Q) ⇐⇒ ∀p∈ P, pest continue pourT_E(Q).

Preuve . Il suffit d’étudier la continuité de l’application linéairef =id_E: (E,T_E(P))→(E,T_E(Q)), x7→x... ut

2.3 Espaces de Fréchet

Définition2.3.1

Soit (E,T) un espace topologique. On dit qu’il est métrisable s’il existe une distancedsurEtelle que

T =T_d={U ⊂E| ∀x∈U , ∃r >0, B_d(x,r)⊂U}. OùB_d(x,r) ={y∈E |d(y,x)< r}.

Remarque 2.3.2. Si(E,T)est un evt métrisable par une distancedsurE, alors elle est séparé et0admet une base de voisinages dénombrable :n

Bd(0,¹_n) ; n∈N^∗ o.

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2.3. ESPACES DE FRÉCHET

Théorème 2.3.3 (E,T) est un evtséparé.

(E,T) est métrisable ⇐⇒ 0 admet une base de voisinages dénombrable.

Preuve .

=⇒) :Triviale d’après la remarque précédente.

⇐=) :Admis (Mais pour les courageux voir le polycopié des exercices corrigés). ut

Théorème 2.3.4

Soit (E,T) un evtlc séparé. Alors

(E,T) est métrisable ⇐⇒ il existe une suite de semi normesP={p_n ; n∈N^∗}telle queT =T_E(P).

Dans ce cas on peut choisir une distance invariante par translation.

Preuve .

Rappelons queV={V ∈ V_E(0)|V est équilibré, convexe et fermé}est une base de voisinage de0et notonsp_V la jauge deV. On sait queT =T_E(Q), oùQ={pV ; V ∈ V }.

=⇒) :

Soitdune distance dansEtelle queT =T_E(Q) =T_d. Pourn∈N^∗, soitWn∈ V tel queWn⊂Bd(0,_n¹). Notons P=n

pW_n ; n∈N^∗ o. D’après la proposition 2.2.21 et puisqueP ⊂ Q,

T_E(P)⊂ T_E(Q) =T.

Réciproquement, Soitq∈ Q donc il existeV ∈ V telle queq =p_V. Soitn_V ∈N^∗ tel queB_d(0,_n¹

V)⊂V, on obtient W_n⊂V et par conséquent,p_V 6p_Wnc-à-d∃p∈ P telle queq6p. D’oùqest continue pourT_E(Q)ce qui donne

T =T_E(Q)⊂ T_E(P).

On conclut que

T =T_E(Q) =T_E(P).

⇐=) :Soit une suiteP={p_n ; n∈N^∗}de semi normes surEtelle queT =T_E(P). Posons d: E×E −→ [0,+∞[

(x,y) 7−→ max_n∈N

h₁

2ⁿ(p_n(y−x)∧1)i Xdest une distance surE:

i.(symétrie)∀x,y∈E, ∀n∈N, p_n(y−x) =p_n(x−y), doncd(x,y) =d(y,x)

ii.(séparante) Soit x,y ∈ E tels qued(x,y) = 0. Donc∀n∈ N, p_n(y−x) = 0 et puisque T_E(P) est séparée,P est séparante doncy=x. Réciproquement, puisque∀n, p_n(0) = 0on ad(x,x) = 0.

iii.(transitivité) Soitx,y,z∈Z, on a pour tout entiern,pn(z−x)6pn(z−y) +pn(y−x)donc 1

2ⁿ(p_n(z−x)∧1)6 1

2ⁿ(p_n(z−y)∧1) + 1

2ⁿ(p_n(y−x)∧1)6d(z,y) +d(y,x) d’oùd(z,x)6d(z,y) +d(y,x).

Remarquons qued(y,x) =d(y−x,0)c-à-ddest invariante par translation.

XT_d⊂ T : SoitU ∈ T_d, soitx∈U donc il exister >0tel queBd(x,r)⊂U. Soitm∈N^∗tel que _m¹ < r, soitn0∈Ntel que ₂¹n0 < ret posonsJ={p₀,· · ·,n₀}.

Soity∈x+_m¹T

i=0··nBp_idonc∀i= 0· ·n, pi(y−x)< _m¹, en particulier

2.3. ESPACES DE FRÉCHET

∀i= 0· ·n, 1

2ⁱ [p_i(y−x)∧1]< r.

D’autre part,∀i > n, ₂¹_i[p_i(y−x)∧1]6₂¹i <₂¹n0 < r. Ainsid(y,x)< r, c-à-dy∈B_d(x,r)⊂U. D’oùx+_m¹T

i=0··nB_pi⊂U, ce qui implique queU∈ T.

XT ⊂ T_d: SoitU∈ T, soitx∈Udonc il existem∈N^∗et il existeJ=n

pn₁,· · ·,pn_k

o∈ J_P tels quex+_m¹T

i∈JBp⊂U. Posonsα= max{n₁,· · ·,n_k}etr=_m2¹α.

Soity∈B_d(x,r), donc∀i∈N, p_i(y−x)∧1< r2ⁱ, en particulier∀j∈ {n₁,· · ·,n_k}, p_nj(y−x)∧1< r2^nj 6r2^α=_m¹ 61.

Doncy∈x+_m¹T

i∈JB_p⊂U. Ainsi

B_d(x,r)⊂U

c-à-dU∈ T_d. ut

Définition2.3.5

Soit (E,T) un evt. Soit (x_n)_n∈N une suite deE. On dit que (x_n)_n∈N est une suite de Cauchy au sens des espaces vectoriels topologiques si

∀V∈ V_E(0), ∃n₀∈N, ∀n,m>n₀, x_m−x_n∈V .

Définition2.3.6

Un evt est dit complet au sens des evt si et seulement si Toute suite de Cauchy au sens des evt converge dansE.

Définition2.3.7

Un espace de Fréchet est evtlc métrisable complet au sens de evt ce qui est équivalent à dire qu’il complet au sens métrique avec une distance qui engendre la topologie invariante par translation.

Exemple2.3.8

SoitΩun ouvert deR^d, soit (K_n)_n∈Nune suite de parties compactes deR^d telle que [

n

Kn=Ω et Kn⊂

◦

Kn+1. Soitm∈Net

p_m:C^k(Ω;R), f 7→p_m(f) = sup

|α|6k

sup

x∈K_m

||D^αf(x) avec pourα= (α₁,· · ·,αd)∈N^d,|α|=α1+· · ·+αdetD^αf(x) =_∂α1x₁^∂··^α∂^αdx_d. Posons

d(f ,g) = max

m∈N

1

2^m[p_m(f −g)∧1].

On a (E,T_d) est un espace de Fréchet.

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Théorèmes classiques

Chapitre

3

3.1 Banach-Steinhaus 3.2 Application ouverte 3.3 Graphe fermé

Sommaire

3.1 Banach-Steinhaus

Définition3.1.1

Soit (E,T) un espace topologique, on dit queA⊂Eest maigre s’il existe une suite (An)nßNde fermé telle que

A⊂[

n∈N

A_n et

◦

A_n=∅.

Remarque 3.1.2. Soit(E,T)un espace topologique.

1. Si(An)nßNest une suite de partie maigre de(E,T)alorsS

n∈NAnest maigre dans(E,T).

2. SiA⊂B⊂EetBest maigre deEalorsAest maigre.

Définition3.1.3

SoientEetFdeux espaces topologiques. Soit (T_i)_i∈I une famille d’applications deEdansF.

XOn dit que la famille (T_i)_i∈Iest équicontinue enx∈Esi

∀V∈ V_F(f(x)), \

i∈I

T_i⁻¹(V)∈ V_E(x).

X On dit que la famille (T_i)_i∈I est équicontinue (resp. surA⊂E) si elle est équicontinue en tout pointx∈E(resp.x∈A).

Proposition 3.1.4

SoientEetFdeuxevt. Soit (Ti)i∈I une famille d’applicationslinéaires deEdansF. La famille (T_i)_i∈Iest équicontinue si elle est équicontinue en 0 c-à-d

∀V ∈ V_F(0), \

i∈I

T_i⁻¹(V)∈ V_E(0).

Preuve . Facile, semblable à la démonstration de la proposition 2.1.21. ut

3.1. BANACH-STEINHAUS

Proposition 3.1.5

SoientEetF deuxevt. Soit (Ti)i∈I une famille d’applicationslinéaires deEdansFéquicontinue.

SoitBune partie deEbornée. AlorsS

i∈ITi(B) est bornée dansF.

Preuve . SoitV ∈ V_F(0). Puisque(Ti)i∈I est équicontinue en0,T

i∈IT_i⁻¹(V)∈ V_E(0). Soit donct >0tel queB⊂ tT

i∈IT_i⁻¹(V). Ainsi, grâce à la linéarité desT_i,∀i∈I,

Ti(B)⊂tV . Ce qui donneS

i∈ITi(B)⊂tV c-à-dS

i∈ITi(B)est bornée dansF. ut

Théorème 3.1.6

SoientEetFdeuxevt. Soit (T_i)_i∈I une famille d’applicationslinéaires continuesdeEdansF. Notons, pourx∈E,Γ(x) ={T_i(x) ; i∈I}etA={x∈Ek Γ(x) est bornée dansF}.

SiAn’est pas maigre dansE, alors 1. (T_i)_i∈Iest équicontinue.

2. A=E.

Preuve .

1. (T_i)_i∈I est équicontinue : SoitV ∈ V_F(0), soitU∈ V_F(0)équilibré tel que U+U+U+U⊂V .

PosonsΩ=T

i∈IT_i⁻¹ U

, puisque lesTi sont continues on aΩest un fermé deE.

Or∀x∈E

x∈A =⇒ Γ(x)est bornée dansF

=⇒ ∃t >0, Γ(x)⊂tU

=⇒ ∃nN^∗, Γ(x)⊂nU carU est équilibrée

=⇒ ∃nN^∗, ∀i∈IT_i(x)⊂nU⊂nU

=⇒ ∃nN^∗, ∀i∈Ix∈nT_i⁻¹(U) carT_iest linéaire

=⇒ x∈ [

n∈N^∗

nΩ.

DoncA⊂S

n∈N^∗ nΩet puisqueAest maigre on a∃n₀∈N^∗, int(n₀Ω),∅donc

◦

Ω,∅. Soitω∈

◦

Ω, doncW ^def=−ω+Ω∈ V_E(0).

Soitx∈Wdoncx+ω∈Ωet par suite∀i∈I, Ti(x+ω)∈Ud’oùTi(x)∈ −Ti(ω)+U, orω∈Ωdonc−Ti(ω)∈ −U=U (carU est équilibrée). Ainsi,

Ti(x)∈ −Ti(ω) +U⊂U+U⊂U+U+U+U⊂V . DoncW⊂T

i∈IT_i⁻¹(V)ce qui nous donneT

i∈IT_i⁻¹(V)∈ V_E(0).(T_i)_i∈Iest équicontinue.

2. A=E: Soitx∈E, d’après la proposition 3.1.5 on a{x}est borné doncS

i∈I T_i({x}) =Γ(x)est bornée dansFc-à-d

x∈A. ut

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3.1. BANACH-STEINHAUS

Théorème 3.1.7 (théorème de Banach-Steinhaus)

Soit (E,T) unevt de Baire(e.g. espaces de Fréchet, espaces d Banach ... ) etFun evt. Soit (T_i)_i∈Iune famille d’applicationslinéaires continuesdeEdansFtelle que

∀x∈E, {Ti(x) ; i∈I}est bornée dansF.

Alors (Ti)i∈I est équicontinue.

Preuve . Reprenons les notations du théorème 3.1.6. On aA=E qui n’est pas maigre puisqueE est un espace de

Baire. On applique donc le théorème 3.1.6 pour conclure. ut

Corollaire 3.1.8

Soit (E,T) un evt de Baire et F un evt séparé. Soit (Tn)n∈N une suite d’applications linéaires continuesdeEdansFtelle que

∀x∈E, lim

n→+∞Tn(x) existe dansF.

AlorsT :E→F, x7→limn→+∞Tn(x) est bien définie linéaire continue.

Preuve .

XOn aT est bien définie carFest séparé ce qui donne l’unicité de la limite.

XOn aT est linéaire car lesT_nle sont.

XOn aΓ(x) ={T_n(x) ; n∈N}est bornée, en effet soitV ∈ V_F(0), soitU ∈ V_F(0)équilibré tel queU+U ⊂V. Soit un entiern₀tel que∀n>n₀, T_n(x)∈l+U avecl= lim_n→+∞T_n(x). Soitβ >0tel queβl∈U, pour toutk∈ {0,· · ·,n₀}, αk>0tel queαkTk(x)∈U. Posonst^def= min{α0,· · ·,αn₀,1,β}. PuisqueUest équilibré, on a

t {T_n(x) ; n∈N} ⊂V .

XT est continue. En effet, SoitV ∈ V_F(0),U ∈ V_E(0)équilibré tel queU+U ⊂V. D’après le théorème de Banach Steinhaus 3.1.7,W=T

nT_n⁻¹(U)∈ V_E(0), soit Soitx∈W.

Soitn₀∈ Ntel que∀n>n₀, T_n(x)∈T(x) +U.U est équilibré etx∈W implique que−T_n(x)∈ U. D’oùT(x)∈ U+U ⊂V. Ce qui nous donneW ⊂T⁻¹(V)par suiteT est continue en0et donc continue puisqu’elle est linéaire

d’un evt dans un evt. ut

Corollaire 3.1.9 (théorème de Banach-Steinhaus)

SoientEetFdeux espace de Banach. Soit (T_i)_i∈Iune famille d’applications linéaires continues deE dansF.On suppose que

∀x∈E,sup

i∈I

kT_ixk_F<∞. Alors

sup

i∈I

kT_ik_L(E,F)<∞. Autrement dit,

∃c∈R:∀i∈I,kTixk_F≤ckxk_E.

Preuve . D’après le théorème de Banach-Steinhaus 3.1.7,(T_i)_i∈I est équicontinue. DoncT

i∈IT_i⁻¹(B(0,1))∈ V_E(0), ainsi il exister >0tel queB(0,r)⊂T

i∈IT_i⁻¹(B(0,1)).

Soitx∈E etε >0donc _ε+^r||x||x∈B(0,r)donc∀i∈I,||Ti(_ε+^r||x||x)||<1, on obtient∀i∈I,||Ti(x)||< ¹_r(ε+||x||). En tendantε→0⁺, on a

∀i∈I, ||Ti(x)||61 r ||x||.

ut

3.1. BANACH-STEINHAUS

Preuve (Une deuxième méthode). Pour toutn∈N^∗,on pose

X_p:={x∈E :∀i∈I,kT_ixk_F≤p}. Pour toutp∈N^∗, X_pest un fermé :

En effet :Soit(x_n)_n∈Nune suite d’éléments deX_ptelle que(x_n)_n∈Nconverge versx.

∀n∈N:kTixnk_F≤p,∀i∈I, comme∀i∈I, Ti est continue, par passage à la limite on trouve que

kT_ixk_F≤p,∀i∈I, ce qui donne quex∈X_p,∀p∈N.En plus, puisque

∀x∈E,sup

i∈I

kT_ixk_F<∞,

sip≥E(sup_i∈IkT_ixk_F) + 1,(oùE(y)désigne la partie entière dey), alorsx∈X_p et donc∪_i∈IX_p =E.On tire du lemme de Baire que∃p₀∈Ntelle que

◦

X_p0,∅. Soitx₀∈Eetr >0tels queB(x₀,r)⊂X_p0.On a :

∀i∈I,∀z∈B(0,1) :kTi(x0) +rTi(z)k ≤p0. Ainsi

∀i∈I,∀z∈B(0,1) :kT_i(z)k ≤1

r(p₀+T_i(x₀)).

D’où

sup

i∈I

kTik<∞.

ut

Corollaire 3.1.10

SoientEetFdeux espaces de Banach. Soit (T_n)_n∈Iune famille d’opérateurs linéaires continus deE dansF.On suppose que∀x∈E,la suite (T_nx)_n∈Nconverge vers une limiteT x.Alors

1.

sup

i∈I

kT_nk_L(E,F)<∞; 2. T ∈ L(E,F);

3. kTk_L(E,F)≤lim_n→+∞infkT_nk_L(E,F).

Preuve . 1. Résulte directement du théorème de Banach-Steinhaus. Il existec >0telle que :

∀n∈N,∀x∈E,kTnxk ≤ckxk. Par passage à la limite, on obtient que :kT xk ≤ckxk,∀x∈E.

2. Il est facile de vérifier queT est linéaire ; 3. On a

kT_nxk ≤ kT_nk_L(E,F)kxk,∀x∈E par passage à la limite, on trouve que :

kTk_L(E,F)≤ lim

n→+∞infkTnk_L(E,F).

ut

UniversitySurf 33/50 Analyse Fonctionnelle

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