Variables N, U N prend la valeur 0 U prend la valeur 40 Tant que U < 100
N prend la valeur N + 1 U prend la valeur 1,2 x U Fin Tant que
Afficher N
Variables : N, U, S Début
N prend la valeur 0 U prend la valeur 1 S aisir S
Tant que U > S
U prend la valeur 0,6U N prend la valeur N + 1 Fin Tant que
Afficher N Fin
AP3 : Comportement à long terme
Objectif : Introduire la notion de limite d'une suite géométrique..
Dans cet exercice, on souhaite déterminer l’effet à long terme d'une baisse ou d'une hausse à taux constant à partir de la valeur initiale 1 (on peut imaginer 1 hectare, 1 million d'euros, 1 milliard d'habitants...).
1. a)
. La quantité considérée baisse à intervalles de temps réguliers de 40 % de sa valeur.Déterminer la quantité après un intervalle de temps.
Après deux intervalles de temps.
b) À long terme, comment décrire cette quantité ?
c) Montrer que l'on peut modéliser cette évolution après n intervalles de temps par la suite de terme général Un= 0,6n.
d) Exécuter l'algorithme ci-contre pour S = 0,1, puis S = 0,05.
e) Pour S = 0,001 (respectivement S = 0,0001) l'algorithme affiche N =….. (Respectivement N = 19). Cela confirme-t-il la réponse à la question 1.b. ?
2. a) La quantité considérée augmente à chaque intervalle de temps de 30 % de sa valeur, toujours à partir de la valeur initiale 1. À long terme, comment décrire cette valeur?
b. Construire un algorithme qui permet de confirmer la réponse
Application: Manipuler la formule 1 + q + q2 + . . . + qn Mettre en œuvre un algorithme de seuil
On considère la suite (Un) géométrique de raison q =1,2 et de premier terme Uo= 40.
1- 1
a) Exprimer Un en fonction de n.
b) Déterminer la limite de la suite (Un) lorsque n tend vers l'infini.
c) En déduire que les termes de la suite dépasseront la valeur 100 à partir d'un certain rang.
d) Exécuter l'algorithme ci-contre et donner une interprétation du résultat affiché.
2- Calculer U0 + U1+ + Un. Arrondir au dixième près.
3. On pose pour n entier naturel non nul : Sn = Uo+ U1 + + Un
Comment se comporte Sn lorsque n devient très grand ?
Correction : Application: Manipuler la formule 1 + q + q2 + . . . + qn
1. a. D'après le cours, puisque (Un) est géométrique de raison q = 1,2 et de premier terme U0= 40 alors, pour tout entier n, Un .= U0 x qn = 40 x 1,2n.
b. Puisque q =1,2 > 1 alors lim 1,2n =+∞
n—>+∞
Donc lim 40 x 1,2n = lim Un = +∞ . n—>+∞ n—>+∞
c. Puisque lim Un = +∞. alors plus n grandit plus la valeur du terme u, devient n n—>+∞
grande. Il dépassera donc toute valeur aussi grande soit-elle, en particulier 100
Méthode : Lorsqu'une suite tend vers l'infini alors elle dépasse définitivement n'importe quel nombre aussi grand soit-il.
d. On exécute l'algorithme
N U U < 100
0 40 Vraie
1 48 Vraie
…….
.
………….
.
Vraie
5 99.5 Vraie
6 119.1
4
Fausse
L'algorithme affiche N = 6.
La suite dépasse la valeur 100 à partir de l'indice n = 6.
2- D'après la question 1. a., pour tout entier n on a un= 1.10X qn. Donc : Sn = U0+U1+U2+………+U19
= U0x1 + U0xq1 + U0xq²+ U0xq3+………..+ U0xq19 = U0x( 1 +q +q²+ q3 +………..+q19)
= U0x 1−𝑞20
1−𝑞 = 40x1−1,220
1−1,2
7467,53- En appliquant la même méthode qu'à la question 2., on a : Sn = U0x 1−𝑞𝑛
1−𝑞
=
40x1−1,21−1,2𝑛Comme 1,2 1 , on a lim 1,2n = +∞ . n—>+∞
En appliquant des règles de signes, on en déduit que Sn a pour limite. +∞
Lors de l'exécution d'un algorithme, si le nombre d'instructions avant qu'une condition ne soit respectée est important, il n'es t pas nécessaire de noter toutes les étapes.
