Famille d’extensions quartiques non galoisiennes et totalement imaginaires

THÉORIE DES NOMBRES BESANÇON

Années 1994/95-1995/96

F a m i l l e d ' e x t e n s i o n s q u a r t i q u e s n o n g a l o i s i e n n e s e t t o t a l e m e n t i m a g i n a i r e s

F A M I L L E D ' E X T E N S I O N S Q U A R T I Q U E S N O N

G A L O I S I E N N E S E T T O T A L E M E N T I M A G I N A I R E S

M . V é r a n t 1 9 m a r s 1 9 9 6

R é s u m é

As in a previous article, we describe the ring of integers and the group of units of two families of non-Galois quartic extensions, one is given by the first coordinate of a torsion point of an elliptic curve and the other is the maximal real field contained in its Galois closure.

R é s u m é : Comme dans un article précédent, nous décrivons l'anneau des entiers et le groupe des unités de deux familles d'extensions quartiques non galoisiennes, une étant donnée par la première coordonnée d'un point de torsion d'une courbe elliptique, et l'autre étant le sous-corps réel maximal inclus dans sa clôture galoisienne.

1 C o n s t r u c t i o n .

Considérons p o u r un n o m b r e complexe t ^ ± 8 , la courbe elliptique d ' é q u a t i o n :

(1) Y² = X ( 4 X² + t X + 4).

C e t t e courbe est p a r a m é t r é e par u n e fonction de Fueter T associée à un réseau 0 de C et u n point primitif de 4-division if) de Q et sa dérivée normalisée T\ (la fonction de Weierstrass associée à f i é t a n t notée p, la fonction T est définie p a r T ( z ) = EIÉ^ ^ ^ (voir [2] p o u r plus de détails).

Soit a G fi tel que 2 a = tp, puisque T(%j)) = 1, d'après la formule de duplication, le n o m b r e T ( a ) est racine du p o l y n ô m e symétrique:

(2) P ( X ) = X4 - AX3 - (t + 2 ) X2 - AX + 1.

R e m a r q u o n s que l ' a r i t h m é t i q u e des courbes elliptiques n'est plus utilisée dans ce qui suit.

H y p o t h è s e s : O n s u p p o s e t e n t i e r r e l a t i f , t < —12 e t A = t² — 2⁶ s a n s f a c t e u r c a r r é .

Nous allons étudier l'extension engendrée p a r u n e racine de P ( X ) , m o n t r e r qu'elle est q u a r t i q u e et t o t a l e m e n t imaginaire (ceci grâce à l'hypothèse sur t), préciser la monogénéité de son a n n e a u des entiers et vérifier que cette racine est u n e u n i t é f o n d a m e n t a l e . Nous en profitons p o u r étudier de m ê m e l'extension q u a r t i q u e réelle incluse dans sa clôture galoisienne et résoudre u n e équation de T h u e correspondant au p o l y n ô m e P ( X ) .

J e tiens à remercier Vincent Fleckinger, J e a n C o u g n a r d de leur aide précieuse et constante.

Il résulte de la proposition suivante que la famille des extensions étudiées n'est pas finie.

P r o p o s i t i o n 1 . 1 L'ensemble des entiers naturels t tels que t2 — 26 est s a n s f a c t e u r c a r r é n'est pas fini.

D é m o n s t r a t i o n : Nous raisonnons par l'absurde, en supposant qu'il existe u n entier So tel que, pour t o u t entier s, si s > s0 alors s ou s + 16 a u n f a c t e u r carré. Soit Si Ç N tel que Si > So et tel que Si — so soit un m u l t i p l e de 4. Notons E l'ensemble des entiers 5, sans f a c t e u r carré, tels que 16s⁰ < s < 16si. Si s a p p a r t i e n t à E alors s n'est pas u n multiple de 4 et s + 16 a u n f a c t e u r carré. E a donc au plus 6(si — So) éléments, ce qui s'écrit encore, p désignant la fonction de Mobius:

D ' a p r è s le t h é o r è m e 334 de [5], il existe A 6 K tel que pour t o u t B 6 N on ait:

16si (3)

S=16SQ+1

Des deux inégalités précédentes, il résulte:

(5) _ < 1 6 5 q + g ( s i _

7r ou encore

J _ J _ l £ f o A

^ ~ 16 " 96^7 + 6 ^ 1 6 ^ 7 '

c e t t e inégalité é t a n t valable quelque soit 5i, ce qui est absurde.

N o t a t i o n s : La p a r t i e réelle (resp. la p a r t i e imaginaire, le m o d u l e , le conjugué) d ' u n n o m b r e complexe z est noté 5ft(z) (resp. O^z), |z|, z).

Le p o l y n ô m e aux inverses de P ( X ) é t a n t

(7 ) P i ( X ) = X2 - A X - t - 4 = ( X - 2 - - 2 + i V ^ t ^ 8 ) , notons

(8) 5 = - t - 8, y = 2 + iy/s, u = ^ l + ^ + l (9) S = + \ ( y + 5),

O n vérifie que y2 - A = 82 et par conséquent d ' u n e p a r t on a y — x - \ — et x d ' a u t r e p a r t x est u n e racine c o m m u n e des polynômes X2 — y X + l et P { X ) . Notons enfin:

(10) k = Q ( \ / F + 8 ) , k' = Q ( V^/T^r8 ) , K = Q ( x ) . On en déduit facilement les e n c a d r e m e n t s suivants:

(11) V 2 < u < 2, | < < 2,

(12) < S ( x ) < 2yfs, |x| < 2 V T T 7 . Ld

U n e meilleure m a j o r a t i o n de / n ( | x | ) est la suivante:

L e m m e 1 . 1 On a ln(\x\) < ^ l n ( s ) + |

D é m o n s t r a t i o n : De (8) et (9) on déduit:

(13)

ou encore (14)

O n a facilement (15)

M + 1*1, V T T ^ , ' 2\x\ <

\y\ =

h = =

1 + - < 1 + - , \ / l + y < 1 + f , l n ( l + - ) < 4 s i

s s

De (14) et (15), on déduit la m a j o r a t i o n cherchée.

3 s ' s

2 E t u d e d e K e t d e s a c l ô t u r e g a l o i s i e n n e N . P r o p o s i t i o n 2 . 1 Le polynôme irréductible de x s u r Q est P ( X ) . L'extension K est quartique, totalement imaginaire, contient k et est égale à Q(<S). De plus, K n'est pas galoisienne et a p o u r clôture galoisienne N = Q(<£, 5) = Q ( x , y/t — 8) qui contient k'.

D é m o n s t r a t i o n :

1) Au cours des notations du p a r a g r a p h e précédent, nous avons vu que x est u n e racine de P ( X ) . Le n o m b r e x — 1 est racine de

(16) P ( X + 1) = X4 + s X2 + 2 s X + s

p o l y n ô m e d'Eisenstein en t o u t f a c t e u r premier de s: l'extension K est donc q u a r t i q u e et le p o l y n ô m e irréductible de x sur <Q> est P ( X ) . Le p o l y n ô m e

1 _ 1

P ( X ) , é t a n t s y m é t r i q u e , a pour racines x, —, x, —. L'élément x n ' é t a n t pas x x

réel, K est t o t a l e m e n t imaginaire.

2) P u i s q u e y = x H—, on a y € K et donc k est inclus dans K . D ' a p r è s (7), x

on a S2 = y2 — 4 = 4y + t et donc y G Q(5); d ' a p r è s (9), on en déduit que K = Q ( J ) .

3 ) L'extension K n'est pas le c o m p o s i t u m de k et k' car t o u t f a c t e u r premier

de 5 se ramifie t o t a l e m e n t dans K m a i s a pour indice de ramification 2 dans k k d o n c y/t — 8 n ' a p p a r t i e n t pas à K . P u i s q u e 85 = \ / Â , il en résulte que K n'est pas galoisienne et a pour clôture galoisienne

(17) N = Q ( x , y / t = 8 ) = Q{S,6).

P r o p o s i t i o n 2 . 2 L'extension réelle quartique K ' incluse dans N a p o u r éléments primitifs 5R(x), et \x\2. Le polynôme irréductible de \x\2 est:

(18) R ( X ) = X⁴ + (t + A)X³ + 2 (t + l l ) X² + (t + A)X + 1.

D é m o n s t r a t i o n : D ' a p r è s (1.9), 3R(5) est racine de (19) Q ( X ) = X4 + s X2 - 4s

qui est u n p o l y n ô m e d'Eisenstein en t o u t f a c t e u r p r e m i e r de s. Le p o l y n ô m e Q ( X ) est donc irréductible dans Z [ X ] et Q(<S+<£) est donc quartique. Puisque les racines de P ( X ) sont x, —, x et 3 et ont p o u r s o m m e 4, on a:

x x (20) 2 = + = » ( x ) ( l + De plus, d ' a p r è s (1.8) et (1.9) on a:

(21) 1 + ^ = » ( x ) , 2|x|2 — 2

il résulte de (20) et (21) que 3?(<î) = -r— —. Le p o l y n ô m e R ( X ) est obtenu

|x| + 1 2 X - 2 ^v à p a r t i r de Q ( X ) en s u b s t i t u a n t ^ ^ à X .

P r o p o s i t i o n 2 . 3 Le nombre i\x\ est un élément p r i m i t i f de N , son polynôme irréductible s u r K est X2 — (x — l ) X + x.

D é m o n s t r a t i o n : On obtient l'égalité suivante (22) ( t - 8 ) x² = (x² - 6 z + l ) ( x + l )²,

en considérant le p o l y n ô m e réduit de P ( X ) m o d u l o 8. On est naturellement conduit à utiliser le p o l y n ô m e X² — (x — 1 ) X + x; il a p o u r racine

(23) +

qui, c o m m e y/t — 8, est un élément de N qui n ' a p p a r t i e n t pas à K , d'après z + 1

la proposition 2.1. On a donc x = z et un calcul m o n t r e que z — 1

(24) R ( - X²) = ( X - 1

p a r conséquent z2 est u n e racine du p o l y n ô m e R ( — X ) . Le p o l y n ô m e R ( X ) a p o u r seules racines réelles \x\2 et son inverse; u n calcul (fastidieux) m o n t r e que 2 vérifie 9R(z) = 0 et ^ ( z ) > 1. On en déduit l'égalité z = î|x|; le degré de z j | sur K é t a n t 2 et celui de |a:|2 sur Q é t a n t 4, le n o m b r e i\x\ est un élément primitif de N .

Soient r la conjugaison complexe et a u n a u t o m o r p h i s m e de N tel que a(S) = —S] le s c h é m a ci-dessous récapitule les sous-corps L de N et pour chacun d ' e n t r e eux, le groupe de galois de N / L :

N

/ * | \ \ Q(<f) = K Q(S) kk' Q ( S - 5) Q ( S + £) = K '

< TtJ > < TG3 > < <72 > < T a2 > < T >

\ I / ' I N I / '

k k' ® ( y / Z )

< r a , a2 > < a > < T , a2 >

\ I / *

3 A n n e a u d e s e n t i e r s d e K e t d e N . Notons d x le discriminant de K et dw le discriminant de N . P r o p o s i t i o n 3 . 1

1) Si t ^ 1 mod 4 alors l'anneau O k des entiers de K est monogène et engendré p a r x et dK = 42(t - 8)(t + 8)3.

2) Si t = 1 mod 4 alors O k a p o u r base (25) ® =

dK = (t - 8)(t + 8)3 et de plus 2 est un diviseur commun inessentiel du d i s c r i m i n a n t (d.c.i.d.) de K .

D é m o n s t r a t i o n : Le discriminant de P ( X ) est d = 42( t — 8)(t + 8)3 et on a vu que t o u t f a c t e u r premier de s est ramifié t o t a l e m e n t et m o d é r é m e n t dans K .

1) Si t ^ 1 m o d 4 alors 2 est ramifié dans k qui a pour discriminant 4(t + 8) et on déduit que d est le discriminant de K .

2) Supposons t = 1 m o d 4. Le p o l y n ô m e irréductible de est

(26) x 2 - X - ^

le n o m b r e est donc u n entier, la base 03 est entière, a p o u r discriminant (t — 8)(t + 8)3 et elle engendre donc Ok-

M o n t r o n s que 2 est un d.c.i.d. de K et pour cela, étudions sa décomposition dans K . L'entier 2 est décomposé dans k. La décomposition en p r o d u i t de f a c t e u r s premiers du p o l y n ô m e réduit de P ( X ) dans ^rL\X\!^cïL\X\ est

(27) ( X² + X + ï )²;

par conséquent P ( X ) n ' a pas de racine dans et p a r suite les idéaux premiers divisant 2 dans k sont inertes dans K . O n utilise alors u n critère de Hasse ([4] ch.25): il y a deux idéaux premiers de K divisant 2, de degré résiduel 2 et, par ailleurs, /i désignant la fonction de Môbius,

(28)

on en déduit que 2 est u n d.c.i.d. de K .

P r o p o s i t i o n 3 . 2 L ' a n n e a u des entiers de N est O k - m o n o g è n e et engendré p a r i\x\; le discriminant de N est dw = d ^ ( t — 8)².

D é m o n s t r a t i o n : 1) Soit p u n diviseur premier de t — 8. La décomposition en p r o d u i t de facteurs premiers du p o l y n ô m e réduit de P ( X ) dans Z [ X ] / p Z [ X ] est

(29) ( X2 - 6 X + 1 ) ( X -f ï )2;

d ' a p r è s la proposition précédente, il existe donc deux idéaux premiers tyi et de K tels que

(30) p OK = y W l

de plus a p o u r degré résiduel 2 sur Z et est ramifié dans N et est inerte dans N .

2) Le discriminant d u p o l y n ô m e irréductible sur K de i\x\ est égal k x² — 6x + l d ' a p r è s la proposition 2.2; on vérifie p a r le calcul que x2 — 6x + 1 a p o u r n o r m e (t — 8)² sur Q; on a donc bien O n = 0/<-[ï|£|], et d ^ = d^2K{t — 8)² en utilisant la formule de composition des discriminants.

R e m a r q u e : Supposons t = 1 m o d u l o 4. Suivant u n e suggestion de J e a n C o u g n a r d nous avons cherché, en vain, u n e base n o r m a l e de N / k . Signalons toutefois que les éléments x\ = x — — et Z\ = i\x\ — engendrent respectivement des bases normales de K / k et de N / K ; en effet la trace de Xi sur k est 1, celle de z\ sur K est x² et de plus, d ' a p r è s les propositions 3.1 et 3.2, on a O n = Ok[z\] et O k — Ok[xi].

4 G r o u p e d e s u n i t é s d e K .

P r o p o s i t i o n 4 . 1 Le groupe des unités de K est engendré p a r x et —1 . D é m o n s t r a t i o n :

1) Le sous-corps q u a d r a t i q u e de K est Q(\/ï~+~8), l'entier t + 8 est sans facteurs carrés et t + 8 < — 3 donc le sous-groupe de torsion de A' est { ± 1 } . 2) P u i s q u e K est t o t a l e m e n t imaginaire, le r a n g d u groupe des unités est 1 et x é t a n t u n e unité, le régulateur R k de K est m a j o r é p a r 2ln(\x\). D'après les résultats de Bergé et M a r t i n e t ([1]), puisque ^ {392,605}, on a:

(31) R k > j M ^ f1) ;

D ' a p r è s la proposition précédente, on a \dx\ > -s⁴ et donc:

(32) I /ⁿ( ] ^ l ) > /ⁿ(^a) _ /ⁿ(²) . D ' a p r è s le l e m m e 1.2, (31) et (32), on déduit alors:

(33) 2.

K k

Si x n'est pas u n e u n i t é f o n d a m e n t a l e , soit v celle-ci; il existe n £ N, n > 1, tel que = |i>|ⁿ, et on a alors 2ln(\x\) = u R k , ce qui contredit (33).

A n n e a u d e s e n t i e r s d e K ' . Notons d f c le discriminant de K ' et

3 + |x|⁶) si t = 1 m o d 8,

±(1 + 2\x\2 + 2\x\4 + |z|6) s i t = 3 m o d 4,

k | ( — 3 + 4|x|2 + 4 | x |4 + |x|6) s i t = 5 m o d 8.

(34) =

P r o p o s i t i o n 5 . 1 L ' a n n e a u Ok> des entiers de K ' a p o u r base (35) & = { l , \ x \2, \ x \4, zt} ,

et p o u r discriminant dx< = A2( t + 8) si t = 1 m o d 4 et d x ' = 22A2(^ + 8) sinon.

D é m o n s t r a t i o n : Le p o l y n ô m e Q ( X ) introduit en (21) est d'Eisenstein en tous les facteurs premiers de t -f 8, donc ceux-ci se ramifient t o t a l e m e n t et m o d é r é m e n t dans K ' . Le discriminant de R ( X ) est d' = 2⁶A²( i + 8). De plus K ' contient Q ( \ / Â ) , qui a p o u r discriminant A . Donc dx1 et d' ont m ê m e valuation en t o u t f a c t e u r premier de A . On vérifie directement que zt est un entier de K ' .

P o u r t e r m i n e r la d é m o n s t r a t i o n , il suffit de vérifier que 2 est sauvagement ramifié dans K ' / Q ( y / Â ) si t = 3 m o d 4. Supposons donc qu'il existe t' £ Z tel que t = 4t' + 3. Puisque A = 1 m o d 4, l'entier 2 n'est pas ramifié dans Q ( \ / Â ) . Le polygone de Newton du p o l y n ô m e

(36) Q ( X + 1) = X4 + 4 X3 - (41' + 5 ) X2 - 2(41' + 9 ) X + 2(17 + 61') m o n t r e que par contre, 2 est ramifié dans K ' .

6 G r o u p e d e s u n i t é s d e K ' . L e m m e 6 . 1 n'appartient pas à K ' .

D é m o n s t r a t i o n : Raisonnons par l'absurde; il existe a, 6, c G Z tels que si on note:

(37) r ( X ) = X4 + a X3 + b X2 + c X + l , on ait r ( X ) r ( j X ) r ( j2X ) = R ( X3) avec j = e ? .

O n obtient le système:

;

t + 4 = a³- 3 a b + 3c,

2t + 22 = 6³ + 3a² + 3c² - 36 - Sabc, t + 4 = c3 - 36c + 3a.

Notons a ' = a — 1, c' = c — 1 et u = a' — b + c', on obtient le système:

t = a '³ + 3a'² + 3u - 3a'6, (39) (a' - c')(a'² + c'² + 3u + a'c') = 0,

a '3 - 63 + c'3 + Za'bc' = - 1 6 .

a ) S u p p o s o n s q u e : a'2 -f c'2 + 3u + a'c' = 0. Du s y s t è m e précédent on déduit:

(2a' + c')² + 3c'² = —12u,

\ u²( u - 3 ( a ' + c' + 3)) = - 1 6 . P a r conséquent u est un élément de {—1, —2, —4}.

L'équation a2 + 3/?2 = —12u a pour ensemble de solutions dans Z2: ( { ( 0 , ± 1 ) } s i u = - 1 ,

(41) l (j) si u = - 2 , l { ( 0 , ± 4 ) , ( ± 6 , ± 2 ) } s i u = - 4 .

O n en déduit alors d'après (40) u = —4, a' = —2, c' = —2 et t = —8 ce qui est absurde.

b ) S u p p o s o n s q u e : c' = a ' . Le s y s t è m e (39) devient:

, v / t = a '³ + 3a'² - 3a'6 + 6a' - 36,

\ (6 + a')2(6 — 2a') = 16,

d'où on déduit (a', 6) G {(1,3), (—5,6), (—2,0)} et t = —8, ce qui est absurde.

P r o p o s i t i o n 6 . 1 Le groupe des unités relatives de K ' / Q ( y / Â ) est engendré p a r —1 et |a:|2 et le groupe des unités de K ' est engendré p a r — l , e et \x\2 ou

le nombre e étant l'unité f o n d a m e n t a l e de Q ( \ / Â ) .

D é m o n s t r a t i o n : Notons Rk> (resp. - ^ ( y ^ ) ) I^e régulateur de K ' (resp.

Q(-\/Â))- D ' a p r è s le t h é o r è m e 5.9 de Bergé et M a r t i n e t ([1]), on a:

( 4 3 )

car l'indice de Hasse et la constante C du t h é o r è m e valent 1 et car la n o r m e du discriminant relatif de K ' / Q ( y / Â ) est 5. D ' après le l e m m e 1.2, on a:

£ (44) 4ln(\x\) < 2{ln(s) + - ) .

Soit v l ' u n i t é f o n d a m e n t a l e relative de K'/<Q>(\/Â). Il existe n G N* tel que

\x\2 = vn et il nous reste à m o n t r e r que n = 1. P o u r t > —114 on le vérifie au moyen des logiciels K a n t . Si t < —114, alors on a:

^ 2 ( l n ( s ) + ^

( 4 5 )

n est différent de 2 et 4, car ^ K ' d'après la proposition 2.2, et différent de 3 d'après le l e m m e précédent, n est donc égal à 1.

D é t e r m i n o n s m a i n t e n a n t le groupe des unités de K ' . Soit £ u n e u n i t é posi- tive de K ' . Il existe m G Z et a G { 0 , 1 } tels que = e^{2 m + a}. L ' u n i t é £2 e-2 m- ° é t a n t relative, il existe n G Z et b G { 0 , 1 } tels que £2 =

|^a.|4n+26^£27n+a ^ p^{a r s u}j t^e £ ⁼ \^x\^{2 n} e^m\ x \^b yfê^a. P o u r terminer, r e m a r q u o n s que le couple (a, 6) est différent de (0,1) car |a:| ^ K , et de (1,0) car l'extension relative K ' / Q ( \ / Â ) est ramifiée en dehors de 2.

R é f é r e n c e s

[1] A. -M. Bergé et J. M a r t i n e t , Sur les m i n o r a t i o n s g é o m é t r i q u e s des régulateurs. Séminaire de théorie des n o m b r e s de Paris 1987-1988

[2] P. Cassou-Noguès et M. J . T a y l o r : Elliptic fonctions a n d rings of integers.

Progress in M a t h n° 66. Birkhauser.

[3] V. Fleckinger et M . V é r a n t :

Familles d'extensions quartiques non galoisiennes.

J . N u m b e r T h e o r y 5 4 n² (1995), 99-273.

[4] H.Hasse :

N u m b e r Theory.

Springer-Verlag, 1980.

[5] G . H . H a r d y and E.M.Wright :

An Introduction to t h e Theory of N u m b e r s . Oxford University Press, fifth édition 1979.

M. V é r a n t

U.A. au C.N.R.S. n° 741 25030 Besançon Cedex France