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Classe : 2nde 5 Test n°5
le 07/01/2019 Note :
… / 5
Avis de l’élève Avis du professeur
Compétences évaluées Oui Non Oui Non
Développer Calculer
Justifier qu'une expression est de signe constant sur R
Justifier qu'une fonction admet un extremum sur R et préciser cet extremum.
Exercice 1 :
1. est la fonction définie sur R par = .
a) Justifier que, quel que soit le réel , on a : = .
b) Calculer .
c) Justifier que – est de signe constant sur R.
d) En déduire que la fonction admet un extremum (à préciser). En quelle valeur de est-il atteint ? 2. est la fonction définie par = - + +
a) Justifier que, quel que soit le réel , on a = - .
b) Démontrer que g admet un extremum. Préciser sa valeur et le réel en lequel il est atteint.x
f f(x)
x f(x)
f(x)
f x
g g(x)
x g(x) 1
3x2 23x 83 1 3 2x2+ 8x+ 7
2(x+ 2)2¡1 f(-2)
f(-2)
(x¡1)2+ 3
Correction du Test n°5 Exercice 1 :
1. est la fonction définie sur R par = .
a) Justifier que, quel que soit le réel , on a : = .
∀ ∈ R, A = A = A =
A = = =
b) Calculer .
= = =
c) Justifier que – est de signe constant sur R.
∀ ∈ R,
– = = =
Or > et un carré est toujours positif ou nul donc : ∀ ∈ R, – ≥
d) En déduire que la fonction admet un extremum (à préciser). En quelle valeur de est-il atteint ?
∀ ∈ R, – ≥
On en déduit : ≥ c'est-à-dire ≥
Ainsi, la fonction admet pour minimum . Ce minimum est atteint en = . 2. est la fonction définie par = - + +
a) Justifier que, quel que soit le réel , on a = - .
∀ ∈ R, A = - A = - A = -
A = - + –
A = - + – + = - + + =
b) Démontrer que g admet un extremum. Préciser sa valeur et le réel en lequel il est atteint.
= - = - =
∀ ∈ R, – = - = - Or, un carré est toujours positif ou nul mais - < . Donc : ∀ ∈ R, – ≤
On en déduit : ≤ c'est-à-dire ≤
Ainsi, la fonction admet pour maximum . Ce maximum est atteint en = . x
f f(x) 2x2+ 8x+ 7
x f(x) 2(x+ 2)2¡1
f(-2)
f(x) f(-2)
f x
g g(x) 13x2 23x 83
x g(x) 1
3(x¡1)2+ 3 x
2(x+ 2)2¡1
2(x2+ 2£x£2 + 22)¡1 2(x2+ 4x+ 4)¡1
2x2 + 8x+ 8¡1 2x2+ 8x+ 7 f(x)
f(-2) 2(-2 + 2)2¡1 2£02¡1 -1
x
f(x) f(-2) 2(x+ 2)2¡1¡(-1) 2(x+ 2)2¡1 + 1 2(x+ 2)2
2 0 x f(x) f(-2)
x f(x) f(-2)
f(x) f(-2) f(x) -1
-1 x -2
f
0
0
1 3 1 3
1
3x2 13£2x 13 1
3x2 23x 13 93 13x2 23x 83 x
(x¡1)2+ 3
(x2¡2£x£1 + 12) + 3 1
3(x2¡2x+ 1) + 3
£1 + 3
g(x)
g(1) 1
3(1¡1)2+ 3 1
3£02+ 3 3
x x g(x) g(1) 13(x¡1)2+ 3¡3 13(x¡1)2
x 0
1 3 0 g(x) g(1)
g(x) g(1) g(x) 3
g 3 1
