DS n°5 en 2nde 2 et 2nde 5 : Vecteurs

Nom :

Classe : 2^nde 5

Devoir surveillé n°5

le 01/04/2019

Note :

… / 22

Evaluation des capacités

Je sais : Non Oui

Réussir convenablement des exercices déjà travaillés en classe.

Placer des points définis par des égalités vectorielles.

Tracer un représentant d'un vecteur donné.

Justifier que des points sont alignés.

Déterminer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielle.

Déterminant l'expression d'un vecteur en fonction d'un autre.

Identifier des coordonnées de vecteurs.

Justifier qu'un point est, ou n'est pas, l'image d'un autre par une homothétie.

Déterminer si des droites sont parallèles ou non.

Déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites sécantes.

Cours / Exercices contrôlés : … / 10

1. Soient les points E( ; ), H( ; ) et K( ; ).

Montrer que les vecteurs et sont égaux. Que peut-on en déduire ? 2. On considère les points A( ; ) et B( ; ).

a) Quel est le rôle de la fonction ci-dessous, programmée en Python ?

b) Que doit-on taper pour l'exécuter avec A(-10 ; 11) et B(3 ; -1).

c) Ecrire une fonction, en langage Python, qui renvoie la longueur AB lorsque les coordonnées des points A et B sont saisies en paramètres.

3. On se place dans un repère orthonormé (O; , ). Soient A( ; ), B( ; ), C( ; ) et D( ; ).

Déterminer la nature complète du quadrilatère ABCD.

4. Les quadrilatères ABDC, FACE, FADC et ABCE sont des parallélogrammes.

Remplacer chacune des sommes vectorielles suivantes par un vecteur unique. Justifier les réponses.

a) + b) + c) + + 5. On donne A(-1;3), B(7;-1), C(5;0), D(5;2) et E(0;4).

Les droites (AB) et (DE) sont elles parallèles ? Justifier.

6. On considère les points A(1;3), B(10;-3) et C(-2;-9).

On note D et E les images respectives de B et C par l'homothétie de centre A et de rapport . On note F et G les symétriques respectifs de D et E par rapport à A.

a) Que peut-on dire des droites (BC) et (DE) ? Démontrer votre réponse.

b) Justifier par une égalité vectorielle que les droites (DE) et (FG) sont parallèles.

2 5 0 1 1 3

¡!EK ¡!KH

x_A y_A x_B y_B

~i ~j -4 2 1 2 5 -1 0 -1

¡!DA ¡!AE ¡!DB ¡!AE ¡!DA ¡!BC ¡!DB

1 3

Exercice 2 : On donne la figure ci-dessous. … / 3 1. Placer le point D tel que = .

2. Placer le point E tel que = . 3. Compléter : = … .

4. Placer le point F tel que = .

5. Tracer en rouge un représentant du vecteur + .

Exercice 3 : On se place dans un repère orthonormé (O; , ). … / 4 On considère les points R(-3;2) et S(2;0).

1. Construire le point T tel que = . 2. Justifier que les points R, S et T sont alignés.

3. Déterminer les coordonnées du point T.

4. Déterminer le réel tel que = .

Exercice 4 : On se place dans un repère orthonormé (O; , ). … / 5 On considère les points A(1;2), B(-1;4) et C(2;5). De plus, les points D et E sont définis par :

= et : = .

1. Placer les points dans le repère ci-dessous.

2. a) Donner, sans les calculer, les coordonnées des vecteurs et . b) Déterminer, s'il existe, le réel tel que = .

3. On admet que D est l'image de B par l'homothétie de centre A et de rapport . Le point E est-il l'image du point C par une homothétie de centre A? Justifier.

4. Les droites (BC) et (ED) sont elles parallèles ? Justifier.

5. On admet que (BC) est la droite d'équation = tandis que (ED) a pour équation = . Déterminer les coordonnées du point d'intersection M de (BC) et (ED).

¡!AD ¡!

1BC

¡! 2 CE 3~u

¡!BC ~u

¡!AF 2¡!AB¡~u 3 2

¡!AB ¹₂~u

~i ~j

k ¡!SR k¡!TS

¡!RT ¹₄¡!RS

~i ~j

¡!AD 4~i¡4~j ¡!AE -2~i¡5~j

¡!AD

¡!AB

¡!AD

¸ ¸¡!AB

-x+ 3y 13 x¡6y 17

¸

Correction du DS n°5 Cours / Exercices contrôlés : Cf. le cours du chapitre #7 sur les vecteurs.

Exercice 2 :

1. Placer le point D tel que = . 2. Placer le point E tel que = .

3. Compléter : .

4. Placer le point F tel que = .

5. Tracer en rouge un représentant du vecteur + .

Exercice 3 : On se place dans un repère orthonormé (O; , ).

On considère les points R(-3;2) et S(2;0).

1. Construire le point T tel que = .

On place T sur le segment [RS] de sorte que RT = RS.

2. Justifier que les points R, S et T sont alignés.

= donc et sont colinéaires.

On en déduit que les points R, S et T sont alignés.

3. Déterminer les coordonnées du point T.

=

On en déduit que les coordonnées de T sont solutions du système suivant :

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

4. Déterminer le réel tel que = .

et :

= = = et : = = Donc : =

Autre méthode : On sait que =

En utilisant la relation de Chasles, on en déduit : = .

Donc : – = Donc : = Donc : = Donc : =

¡!AD ¹ 2

¡!BC

¡!CE 3~u

~u

¡!AF 2¡!

AB¡~u 3 2

¡!AB ¹₂~u

~i ~j

¡!RT ¹₄¡!RS

1 4

¡!RT ¹₄¡!RS ¡!RT ¡!RS

k ¡!SR k¡!TS

¡!RT ¹₄¡!

RS ½

xT ¡xR = ¹₄(xS¡xR) yT ¡yR= ¹₄(yS¡yR)

½ xT + 3 = ¹₄(2 + 3) yT ¡2 = ¹₄(0¡2)

½ xT + 3 = ⁵₄ yT ¡2 = ^-2₄

½ xT = ⁵₄ ¡3 yT = ^-2₄ + 2

½ xT = ⁵₄ ¡ ¹²4

yT = ^-1₂ + ⁴₂

½ xT = ^-7₄ yT = ³₂

¡!SR

µx_R¡x_S y_R¡y_S

¶ ¡!SR

µ-3¡2 2¡0

¶ ¡!SR µ-5

2

¶ ¡!TS ¡!TS ¡!TS µx_S ¡x_T

y_S ¡y_T

¶ µ

2 +⁷₄ 0¡ ³2

¶ µ₁₅

-34 2

¶

-5

15 4

4

-5£15 ^-20₁₅ ^-4₃ ^-32

2

-4

2£^-2₃ 3 ¡!SR ^-4₃ ¡!TS

¡!RT ¹₄ ¡!

RS

1 4

¡!RS

¡!RS +¡!ST

¡!RS ¹₄ ¡!

RS ¡!

3 RS -¡! 4

ST ¡!

TS ¡!

RS ¡!

4 TS 3

¡!TS

¡!SR ^-4₃

Exercice 4 : On se place dans un repère orthonormé (O; , ).

On considère les points A(1;2), B(-1;4) et C(2;5). De plus, les points D et E sont définis par :

= et : = .

1. Placer les points dans le repère ci-dessous.

2. a) Donner, sans les calculer, les coordonnées des vecteurs et .

b) Déterminer, s'il existe, le réel tel que = . =

3. On admet que D est l'image de B par l'homothétie de centre A et de rapport . Le point E est-il l'image du point C par une homothétie de centre A ? Justifier.

Det( , ) = = = = ≠

et ne sont pas colinéaires donc les points A, E et C ne sont pas alignés.

On en déduit que E ne peut pas être l'image de C par une homothétie de centre A.

4. Les droites (BC) et (ED) sont elles parallèles ? Justifier.

Det( , ) = = = = ≠

et ne sont pas colinéaires donc les droites (BC) et (ED) ne sont pas parallèles.

5. On admet que (BC) est la droite d'équation = tandis que (ED) a pour équation = . Déterminer les coordonnées du point d'intersection M de (BC) et (ED).

⇔ ⇔ ⇔

⇔ ⇔ ⇔

Le point d'intersection de (BC) et (ED) est M( ; ).

~i ~j

¡!AD 4~i¡4~j ¡!AE -2~i¡5~j

¡!AB ¡!AD

¸ ¡!AD ¸¡!AB

¸

-x+ 3y 13 x¡6y 17

¡!AB ¡!AD µ-2

2

¶ µ

4 -4

¶

¡!AD -2¡!AB

¡!AE ¡!AC µ1

3

¶

¡!AC 0

¡!AE

¡!AE ¡!

AC

0

¡!BC ¡!ED

¡!BC ¡!ED µ3

1

¶ µ

6 1

¶

¯¯

¯¯3 6 1 1

¯¯

¯¯ 3£1¡1£6 3¡6 -3

¡!BC ¡!ED

½ -x+ 3y = 13 x¡6y= 17

½ x= 3y¡13 x¡6y= 17

½ x= 3y¡13 3y¡13¡6y= 17

½ x = 3y¡13 -3y= 17 + 13

½ x= 3y¡13 -3y= 30

½ x= 3y¡13 y= -10

½ x = 3£(-10)¡13 y = -10

½ x= -43 y= -10 -43 -10

µ-2 -5

¶

¯¯

¯¯-2 1 -5 3

¯¯

¯¯ -2£3 + 5£1 -6 + 5 -1