CONFIGURATIONS DU PLAN

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2nde_confplan_2008_cours.odt

CONFIGURATIONS DU PLAN

I.TRANSFORMATIONS

1.Définitions

Un point invariant est un point qui se transforme en lui-même.

Translation de vecteur

→u

Tout point M a pour image M' tel que :

=

Points invariants : aucun si ≠

Symétrie de centre I

I

Tout point M a pour image M' tel que :

= − Points invariants : I Réflexion d'axe d

d

Tout point M distinct de d a pour image M' tel que :

d soit la médiatrice de [MM']

Points invariants : les points de d

Rotation de centre I et d'angle 90°

dans le sens direct

I

+

Tout point M distinct de I a pour image M' tel que :

Points invariants : I

2.Théorèmes :

Soient A, B, C et D quatre points et A', B', C' et D' leurs images respectives par une transformation du plan.

Les 4 transformations ci-dessus conservent :

• Les distances : A'B' = AB

• Les angles géométriques : ^A ' B ' C' = ^ABC

• Le parallélisme : si (AB) // (CD) alors (A'B') // (C'D')

• L'alignement : si A, B et C sont alignés alors A', B' et C' sont alignés

• Les aires.

(2)

Images usuelles

•L'image d'une droite est une droite

►avec une translation ou une symétrie centrale, les 2 droites sont parallèles

►avec une rotation d'angle α, les deux droites forment un angle α

•L'image d'un cercle de centre O et de rayon r est le cercle de centre O' (image de O) et de rayon r

•L'image du milieu d'un segment est le milieu du segment image

•L'image de l'intersection est l'intersection des images

3.Dans les exercices

• Pour trouver l'image d'un point, on peut chercher si ce point est l'intersection de droites ou de cercles dont on connaît les images

• Pour montrer que des points sont alignés, on peut chercher si ces points sont les images de points alignés

• Pour déterminer un angle, on peut chercher s'il est l'image d'un angle connu

• Pour prouver une égalité ont cherche une transformation.

II.ANGLES :

angles opposés par le sommet

deux angles opposés par le sommet ont même mesure

angles correspondants

les droites d1 et d2 sont parallèles si et seulement si les angles correspondants et sont égaux

angles alternes internes

les droites d1 et d2 sont parallèles si et seulement si les angles alternes internes et sont égaux

Droites parallèles

Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Droites perpendiculaires

Si deux droites sont perpendiculaire à une même droite, alors elles sont parallèles.

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tangente

la tangente au cercle C de centre O

passant par A est la droite perpendiculaire au rayon [OA] passant par A.

cercle et triangle rectangle

le point C appartient au cercle de diamètre [AB], privé des points A et B si et seulement si

le triangle ABC est rectangle en C

angle au centre et angle inscrit

l’ angle au centre a pour mesure le double de celle de l’ angle inscrit ; et sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc AB , ils ont même mesure

III.THÉORÈMES :

Théorème de Pythagore généralisé :

le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si BA² + AC² = BC² Théorème de Thalès généralisé :

Soient A, B, D alignés et A, C, E alignés dans le même ordre.

la droite (DE) est parallèle à la droite (BC) si et seulement si ^AD

AB = ^AE AC Si l'une de ces conditions est réalisée, alors AD

AB = AE

AC = DE BC Théorème des milieux :

Soit ABC un triangle, I le milieu de [AB] et J un point de [AC].

J est le milieu de [BC] si et seulement si les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.

Si l'une de ces conditions est réalisée, (BC) est appelée droite des milieux Propriétés sur les droites d’un triangle :

Les médiatrices d’un triangles sont concourantes en un point : centre du cercle circonscrit.

Les médianes d’un triangles sont concourantes en un point : centre de gravité.

Les hauteurs d’un triangles sont concourantes en un point : orthocentre.

Les bissectrices d’un triangles sont concourantes en un point : centre du cercle inscrit.